Miksi algebrassa_

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

_ sin^2 x + cos^2 x = 1

Kysytään nyt vielä tämäkin, vaikka kysymys ei ilmeisesti kovin laajaa kiinnostusta tällä foorumilla herätäkään.

Entä mitä on:

asin^2 x + acos^2 x

Ja miksi yleisesti on:

itseisarvo(reaalinen potenssiin jokin kompleksiarvo) on niinikään yksi.

jk: kauan sitten tutkin Newtonin prosessia 2 vuotta, mutta en vielä silloinkaan ymmärtänyt kokonaan prosessin peruspilareita.

Opin kyllä soveltamaan sitä, mutta en ymmärtämään. Onko prosessiin ylipäätään olemassa tyhjentävää selitystä yli reaalisissa kunnissa.

Sivut

Kommentit (16)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
_jone_
_ sin^2 x + cos^2 x = 1

Kysytään nyt vielä tämäkin, vaikka kysymys ei ilmeisesti kovin laajaa kiinnostusta tällä foorumilla herätäkään.

Entä mitä on:

asin^2 x + acos^2 x




Tuohan on sovellus pythagoraan lauseesta. Jos piirrät yksikköympyrään viivan origosta ympyrän kehälle, ja sitten pirrät sinin ja cosinin määritelmät, niin voit pythagoraan lauseella todeta tuon ensimmäisen. Oliko tämä jokin kompa?

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

Jos taas haluaa pörittelemällä ratkaisun niin sin(x)^2 = -1/4 e^(-2 i x)-1/4 e^(2 i x)+1/2 ja cos(x)^2 = 1/4 e^(-2 i x)+1/4 e^(2 i x)+1/2, näiden summa on selvästikin 1.

Edelleen a*sin(x)^2+a*cos(x)^2 on tietenkin a*1=a

a^(iy), missä a ja y reaalisia.

a=e^(lna)

a^(iy) = e^(i ylna) = e^(ix), missä x = ylna reaaliluku.

e^(ix) = cos(x) + i sin(x), eli e^(ix) kiertää kompleksitason yksikköympyrää ja x määrää kulman (radiaaneina). Siis e^(i*0) = e^(i*2pi) = 0. e^(i*pi/2) = i. Itseisarvohan antaa kompleksitason osoitinvektorin pituuden jolloin |a^(iy)| = |e^(ix)| = 1 aina kun a ja y reaalisia.

Mitä tarkoitat Newtonin prosessilla, Newtonin menetelmää?

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
EemeIi
Edelleen a*sin(x)^2+a*cos(x)^2 on tietenkin a*1=a

Arvaisin _jone_:n tarkoittaneen arcsiniä ja arccosinia. Silloin kuvaaja on ainakin epämääräisen näköinen käppyrä.

Vierailija
EemeIi
Mitä tarkoitat Newtonin prosessilla, Newtonin menetelmää?

Juuri sitä. Tutkin muutaman vuoden siihen liittyvää kaaosta kompleksitasossa, jossa vähän eri alkuarvolla prosessi suppeneekin eri juureen. Miksi. Kun ne värikoodaa, kaaoksesta paljastuukin numeroiden kauneus:

x=x-(x^4+1)/(4*x^3) kuvaaja on:

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
_jone_
Juuri sitä. Tutkin muutaman vuoden siihen liittyvää kaaosta kompleksitasossa, jossa vähän eri alkuarvolla prosessi suppeneekin eri juureen. Miksi. Kun ne värikoodaa, kaaoksesta paljastuukin numeroiden kauneus:

x=x-(x^4+1)/(4*x^3) kuvaaja on:


Paljon en siitä ymmärrä mutta kuva on tosi hieno.

Vierailija

Hmm. Reaaliluvuilla Newtonin menetelmä on ainakin simppeli.

x_{n+1} on siis aina piste jossa kohdassa x_n piirretty tangentti saa arvon nolla. Jos alkuarvaus x_0 (tai mikä tahansa x_n) sattuu olemaan lähellä derivaatan nollakohtaa niin x_1:n (x_{n+1}:n) vaihteluhan on suurta, jolloin saatetaan päätyä eri nollakohtiin.

Newtonin menetelmä kompleksitasossa on minulle ihan uutta, mutta voisin ainakin kuvitella, että sama ilmiö olisi kyseessä.

Vierailija

Melko lailla tuollaista hain. Yhden tangentin estimaattia, mihin juureen takaisinkytkentä johtaa. Jos ja kun sellainen olisi olemassa, esimerkiksi OpenGL:llä voisi tehdä reaaliaikaisen Newtonin prosessin animaation, jossa voisi liikkua mielensä mukaan hiirellä.

Newtonin prosessista saa näyttäviä zoomauksia, mutta vaatii raskasta laskentaa. Ylipäätään kaikissa fraktaaleissa joutuu laskemaan hartiavoimin, jos mielii loihtia esiin niiden harmoniaa.

Täydellinen yhden operaation estimaatti pitää kuitenkin olla olemassa, koska logiikka ei koskaan heitä härän persettä. Kenties se löytyy viiden vuoden sisällä tai vuosikymmenen etsinnän tuloksena. Mene ja tiedä, mutta numerot ovat ihmeellisiä.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
_jone_
Onko prosessiin ylipäätään olemassa tyhjentävää selitystä yli reaalisissa kunnissa.

En nyt tiedä, vastaanko oikeaan kysymykseen, mutta Wikipedia tietää kertoa, että Newtonin menetelmän voi ainakin yleistää Banach-avaruuksiin (täydelliset normiavaruudet). Avuksi pitää kaivella Fréchet-derivaatta, joka on ihan tavallisen R^n derivaatan yleistys. R^n ja C^n (tavalliset, euklidiset, n-ulotteiset reaaliset ja kompleksiset avaruudet) ovat tietenkin kaikki Banach-avaruuksia, mutta joukkoon mahtuu myös kaiken maailman "mukavia" funktioavaruuksia, jos sellaisista tykkää.

We're all mad here.

Vierailija

Mukavista avaruuksista on sen verran kokemusta, että perseestä ovat, koska niihin ei sisälly fraktaalirakennetta ja harvemmissa on olemassa kaikki viisi alkeisoperaatiota (plus, miinus, kerto, jako ja itseisarvo).

Pitäisi olla se oikea konkreettinen 3D-kompleksiavaruus. Jotta se voi olla, sille on ensin luotava konkreettinen tarve. Plus ja miinuslaskun oheen vielä risuaitaoperaatio, jossa sitten i^2 on miinus 1, ja j^2 on risuaita 1. Jos vielä algebran aksioomatkin pitäisi paikkansa, 3D-fraktaalien kauneus ja harmonia pitäisi olla jotain häikäisevää.

jKr: 2^n:ssä ilmentyvä kompleksipläjäys on sekin syvältä perseestä, koska 3D ei oikein meinaa mahtua 4D:hen. Tarkoittaa sitä, että varioivaa fraktaalirakennetta kyllä esiintyy jokaisella odd kontra even -akselistolla, mutta aidossa 3D:ssä ei. Perkele.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
_jone_
Mukavista avaruuksista on sen verran kokemusta, että perseestä ovat, koska niihin ei sisälly fraktaalirakennetta ja harvemmissa on olemassa kaikki viisi alkeisoperaatiota (plus, miinus, kerto, jako ja itseisarvo).

Banach-avaruuksissa on aina yhteenlasku, vähennyslasku ja itseisarvo (vektorien laskutoimitukset ja normi). Moni Banach-avaruus (myös niistä "mukavista") on kunta, jolloin siitä löytyy loputkin kaipaamasi algebralliset ominaisuudet.

We're all mad here.

Vierailija
itseisarvo(reaalinen potenssiin jokin kompleksiarvo) on niinikään yksi.



Hmm... esim. 2 on sekä realinen että kompleksinen luku, mutta

|2^2| = 4

siis ei 1.

Entä mitä on:

asin^2 x + acos^2 x




Vakio tuo ei tietenkään ole, mutta nollan ympäristössä se käyttäytyy kyllä aika vakioisesti.

Sen sijaan asin x + acos x on tietenkin vakio siellä missä se on määritelty

Vierailija
_jone_
EemeIi
Mitä tarkoitat Newtonin prosessilla, Newtonin menetelmää?

Juuri sitä. Tutkin muutaman vuoden siihen liittyvää kaaosta kompleksitasossa, jossa vähän eri alkuarvolla prosessi suppeneekin eri juureen. Miksi. Kun ne värikoodaa, kaaoksesta paljastuukin numeroiden kauneus:

x=x-(x^4+1)/(4*x^3) kuvaaja on:




Millä muuten tuollaisia voisi itse tehdä?

Vierailija
mmiikka
lecithin

Millä muuten tuollaisia voisi itse tehdä?



vaikkapa javalla.



Ai tämä vaatii koodaamista.. Ei biologi osaa

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat