Unohtanut integroinnin (pyörähdyskappaleen tilavuuden)

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Auttakaapa minua kun on tuo integroinnin jalotaito jo unohtunut.
y=f(x)=(1/145)(x^2)

<=> x=g(y)=(145y)^.5.

Sitten kyseisen funktion TILAVUUS pitää integroida y:n (ei x-akselin suhteen) välillä [0,7].

Tehtäväannossa puhutaan astiasta, joka pitää kuvitella pystyyn siten, että pohja on origossa. Astian korkeus on siis 7 cm ja pitää laskea padan tilavuus.

V=pii* S g(y) dy = pii* S 145y dy = 145*pii S (1/2)(y^2) dy =
72,5*pii((7^2)-0)) = 72,5*pii*49= 11160,50... = 11,16 litraa.

Mitä tuossa yllä laskin, koska kyseiseen paataan ei todellakaan mahdu 11 litraa nestettä???? Laskinko nyt jotain reunajuttuja vai mikä meni perseelleen? Ja miten oikea yhtälö ja tulos kuuluu?

Kommentit (6)

Vierailija

Sama tilavuus jos pyöräyttää y=(1/145)x*x x-akselin ympäri

0.083708 kuutiota

Tötterön koosta saa hyvän käsityksen kun ajattelee että tuossa vieressä on Cassini-luotaimen ilmalukko mittakaavassa 1:100

Vierailija

Jaa miksei mahtuisi 11 litraa? Kyseessähän on "pesuvati" jonka säde 7 cm korkeudella on

x=g(7)=sqrt(145*7)=31,859 (cm).

Vastaavan korkuisen ja säteisen lieriön tilavuus olisi

pi*r^2*h = pi*31,859^2 * 7 = 22300 = 22,3 litraa...

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Ei siitä niin paljoa taida tulla. Tuossa käyttämässäsi integraalissa on virhe. Jos integroit pyörähdyskappaleen tilavuutta, niin voi kuvitella summaavasi ohuiden viipaleiden pinta-alaa kerrottuna pienellä muutoksella dy. Pinta-alahan on pii*r², ja r on tässä se funktion "korkeus" akselilta, eli funktion arvo. Joten se intergraali tulee muotoon V = π∫[g(y)]²dy. Tuo potenssi on unohtunut sinulta.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
bosoni
Ei siitä niin paljoa taida tulla. Tuossa käyttämässäsi integraalissa on virhe. Jos integroit pyörähdyskappaleen tilavuutta, niin voi kuvitella summaavasi ohuiden viipaleiden pinta-alaa kerrottuna pienellä muutoksella dy. Pinta-alahan on pii*r², ja r on tässä se funktion "korkeus" akselilta, eli funktion arvo. Joten se intergraali tulee muotoon V = π∫[g(y)]²dy. Tuo potenssi on unohtunut sinulta.

Hänhän otti sen huomioon, kun tuo "^.5" on kadonnut lausekkeesta.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
petsku
Hänhän otti sen huomioon, kun tuo "^.5" on kadonnut lausekkeesta.



No niinpä onkin. Eli se virhe oli painovirhe. Ja seuraavan vaiheen merkintä vähän hämäsi myös. Laskin sitten tuon, ja samaa tulosta siitä tulee.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Heksu
Seuraa 
Viestejä5463
Liittynyt16.3.2005
Lektu-Elli
Tötterön koosta saa hyvän käsityksen kun ajattelee että tuossa vieressä on Cassini-luotaimen ilmalukko mittakaavassa 1:100



Olen suorastaan mykistynyt tämän vertauksen havainnollisuudesta, puhumattakaan siitä tiedosta, että Cassini-luotain on miehitetty

Uusimmat

Suosituimmat