Integraalin ratkaisu Simpsonin menetelmällä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

On päässyt unohtumaan kyseinen tapa ratkaista integraali. Olen yrittänyt ratkaista integraalia:

(0)∫(4) [sqrt(t) * sin (pii*t) dt]

En tiedä miten merkkaisin tuon integraalirajan oikein, mutta väli on 0-4 ja integroimis väli jaetaan kuuteen osaan, joten h = 2/3

Simpsonin kaavahan on
f(x)dx = h/3 [f(a) + 4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+...+2(fx2n-2)+4f(x2n-1)+f(b)]

Eli täytyykö kyseinen integraali ratkaista ensin ja sitten sijoittaa yhtälöön x:n arvoja vai miten tuossa pitäisi edetä?

Kommentit (10)

Paul M
Seuraa 
Viestejä8560
Liittynyt16.3.2005

Missä yksikössä kulma tuossa on?

Hiirimeluexpertti. Majoneesitehtailija. Luonnontieteet: Maailman suurin uskonto. Avatar on halkaistu tykin kuula

Vierailija

Ei ole ilmoitettu mitään muuta kuin, että laskut on tehtävä kolmen desimaalin tarkkuudella. Eli yksiköllä ei ilmeisesti ole väliä (?)

Vierailija

Simpsonin kaavallahan suoritetaan numeerinen integrointi eli ei tarvitse mitään ingraalifunktioita hakea. Tulos on tarkka 3. asteen käyrille. Korkeamman asteen käyrille on sitten jakoväliä tihennettävä suuremman tarkkuuden saamiseksi. Tuossa riittänee hyvinkin 6 jakoväliä. Tuossa kulma varmasti on radiaaneina koska siellä esiintyy pii.

Vierailija

eli kaavaan tulee a:n arvoksi 0 ja sitten x1 on 2/3 ja x2 4/3 jne.
Kaavassa on tällöin f(0)+4f(2/3)+2f(4/3)...f(4). Onko laskutoimitus tällöin 0 + 4 * (2/3) + 2 * (4/3)... +4, vai olenko aivan väärässä?

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Petrified
...Kaavassa on tällöin f(0)+4f(2/3)+2f(4/3)...f(4). Onko laskutoimitus tällöin 0 + 4 * (2/3) + 2 * (4/3)... +4, vai olenko aivan väärässä?



Siis jos f(t) = sqrt(t)*sin(pii*t), niin
f(2/3) = sqrt(2/3)*sin(pii*2/3) jne.

Nyt tuosta sijoittamalla pitäisi sujua.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1557
Liittynyt12.4.2005
Paul M
Missä yksikössä kulma tuossa on?

Kulman SI-yksikkö on radiaani. Sitä käytetään, jos muuta ei kerrota.

Kannattaa muuten opetella radiaanien – ja muidenkin SI-yksiköiden – käyttö jo koulussa, varsinkin jos on aikomus tekniselle tai luonnontieteelliselle alalle.

Vanha jäärä

Vierailija
Petrified
Eli täytyykö kyseinen integraali ratkaista ensin ja sitten sijoittaa yhtälöön x:n arvoja vai miten tuossa pitäisi edetä?

Vastauksia tähän ehtikin jo tulla, mutta kommentoinpa silti. Simpsonin menetelmä on numeerinen likiarvomenetelmä, jossa integrointiväli jaetaan osaväleihin ja kullakin osavälillä integrandia approksimoidaan paraabelilla. Menetelmän ideana on siis juurikin se, ettei alkuperäistä integraalia tarvitsisi laskea, jos likiarvokin on riittävä. Sellainen numeerinen menetelmä, joka antaa (yleensä) virheellisen lopputuloksen ja jonka käyttö kuitenkin edellyttää täsmällisen ratkaisun määräämistä, kuulostaa aika turhalta.

Jollain numeerisella menetelmällä tuo integraali kyllä kannattaa laskea. Muuttujanvaihdolla ja osittaisintegroinnilla se nimittäin johtaa Fresnelin kosini-integraalifunktioon, jota ei voida esittää alkeisfunktioiden avulla suljetussa muodossa.

Paul M
Missä yksikössä kulma tuossa on?

Integraali on mielekäs ainoastaan silloin, kun käytetään radiaaneja.

---
Seuraa 
Viestejä3395
Liittynyt6.9.2006

Täällä ei puhuta Homer Simpsonista, hänen perheenjäsenistään tahi kenestäkään muustakaan Springfieldin asukkaasta, hajaantukaa!

Uusimmat

Suosituimmat