Seuraa 
Viestejä45973

Oletetaan, että ulkona olisi yksi lämpöpiste (jatkuvalla sähköllä lämmitys), jonka lämpötila on 100C ja ympärillä on pakkasta -20C (oletetaan ulkoilmaa olevan äärettömästi, joten ilmastonmuutoksesta ei tarvitse huolehtia).

Kuinka kaukana tästä lämpöpisteestä pitää olla, jotta lämpötila olisi 0C? Eniten kiinnostaa se, kuinka tuollainen lasketaan eikä varsinainen vastaus.

Iso kiitos vastauksille - minä en lukiopohjalta tiedä eikä minua viisaammatkaan näytä tätä tietävän, joten tiedefoorumi on ainoa toivoni.

  • ylös 0
  • alas 0

Sivut

Kommentit (21)

Tehtävää ei voi ratkaista ellei tunneta "lämpöpisteen" ominaisuuksia, koko, pinnan laatu, muoto jne. Jos se on piste, niin on oltava äärettömän lähellä.

Moro,

Ensinnäkin relevantti fysiikan laki tässä tapauksessa on Stefanin ja Boltzmanin säteilylaki (katso vaikkapa Wikipediasta lisätiedot). Sen mukaan lämmönlähde säteilee intensiteetillä

s * (T1^4 - T0^4)

missä T1 = 373K (=100C) ja T0=253K (= -20C) on ulkoilman lämpötila. s = 5.67e-8 on Stefanin ja Boltzmannin vakio.

Kokonaisteho riippuu säteilylähteen koosta ja muodosta. Jos se on esim. r-säteinen pallo, kokonaisteho saadaan kertomalla intensiteetti pallon pinta-alalla:

4 * pi * r^2 * s * (T1^4 - T0^4)

Etäisyydellä R pallon keskipisteestä teho jakaantu pinnalle, jonka ala on

4 * pi * R^2.

Intensiteetiksi etäisyydella R saadaan edellisen perusteella

(r^2 / R^2) * s * (T1^4 - T0^4)

Sitten vastaanottavaan osapuoleen. Jos sen lämpötila on T2 = 273K (= 0C), se säteilee intensiteetillä

s * (T2^4 - T0^4)

Tasapainossa kaksi edellistä ovat yhtäsuuria. Ehto voidaan kirjoittaa muodossa

r^2 * (T1^4 - T0^4) = R^2 * (T2^4 - T0^4)

josta R voidaan ratkaista. Jos esim r = 1m, saadaan tulokseksi

R = 3,23 m

Edellisessä on sisällä joitain oletuksia, joita voisi miettiä ja hieroa, mutta olkoon.

Tylsä lauantai-ilta tääläpäin...

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Heksu
Seuraa 
Viestejä5463

Asetelman alkuoletuksiin sisältyy ilmaus "ulkona", jolloin voitaneen olettaa lämpöpisteen sijaitsevan epä-tyhjiössä ja maapallon vetovoiman vaikutuksen alaisena. Seurauksena kohteen ympärille muodostunee konvektiovirtaus, joka vie merkittävän osan lämpöenergiasta kohteesta ylöspäin. Näin ollen haetun lämpötilan etäisyys riippunee voimakkaasti siintä, mihin suuntaan kohteesta etäännytään.

mal
Ensinnäkin relevantti fysiikan laki tässä tapauksessa on Stefanin ja Boltzmanin säteilylaki (katso vaikkapa Wikipediasta lisätiedot).

Entäs jos otetaan myös lämmön johtuminen mukaan? Tällöinhän kyseinen nollan celsiuksen piste liikkuu aina vain kauemmaksi lämpölähteestä ajan funktiona, olettaen tietysti ettei ulkona tuule, tai lämpö karkaa konvektion mukana taivaan tuuliin. Onhan niitä muuttujia vaikka kuinka

Toisaalta, käytännössä lämpösäteily taitaa olla merkittävin lämmönsiirtäjä. Otetaan esimerkiksi nuotio talvella. Jos seisoo liian lähellä nuotiota alkaa hyvin äkkiä kasvoja kuumottamaan, mutta kun laittaa käden eteen niin, kas vain, eipä kuumota enää. Myöskään nuotion ympärillä oleva lumi ei sula kuin hieman nuotion vierestä. Ongelmana kuitenkin on että säteily ei kuitenkaan kasvata ilman lämpötilaa (ainakaan merkittävästi), sillä lämpösäteily ei juurikaan imeydy ilmaan. Elikkäs, ilman lämpötilaa(jota tässä ilmeisesti haettiin) ei voi laskea Stefanin ja Boltzmanin säteilylailla, mutta mittarin lämpötilalle se saattaa antaa hyvän arvion.

Moose
Seuraa 
Viestejä203

Jos konvektiovirtaukset otetaan huomioon niin käytännössä tilanne on niin monimutkainen, että tuollaista pitäisi lähestyä jonkin cfd (computational fluid dynamics) -ohjelman kautta. Nämä ohjelmat jakavat (tai niitä varten pitää jakaa) tilan hilakoppeihin, joissa suureita käsitellään keskiarvoistettuina.

kW MW GW - kWh MWh GWh - µ º • ø ¼ ¾ ¹ ² ³

Piste on hellkarin pieni ala. Ei siitä lähde edes säteilyä eikä ole konvektio-pinta-alaa.

+100 asteen piste on kuin joku tähtisädetikun kipinä. Ei siitä mitään tehoa lähde.

o_turunen
Seuraa 
Viestejä14900

Niin. Kyllä noita pisteitä riittää.
Vesipiste.
Bensanjakelupiste.
Tankkauspiste.
Lehtipiste.
Sokea piste.
G-piste (muistatte varmaan g-pistealoituksen, kun mailalla sohittiin).

Muistaakseni tuossa viimeisessä ei konvektio näytellyt suurtakaan osaa, tärkeintä oli kitkalämpö.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä39965

Kuten korkeasta suunsoitto/asia -suhteesta voi jo päätellä, tämä on ongelma, joka vaatii virtausdynamiikan asiantuntemusta, ja se on aika harvinainen taito. Jos oletetaan, että tuo "kuuma piste" on äärellisen kokoinen kuuma kappale, väliaineena on normaalipaineista ilmaa ja homma tapahtuu Maan gravitaatiokentässä, tärkein energian siirtymismekanismi on konvektio. Eli kappale lämmittää ilmaa ympärillään, joka aiheuttaa ilman tiheyden pienenmisen. Sen jälkeen noste aiheuttaa lämpimään ilmamassaan efektiivisen nostovoiman, ja edelleen konvektiokierron, jossa lämmenneen ilman liike kuljettaa energiaa.

Kuten joku totesi, tehtävän mallinnus on varsin monimutkainen. Käytännössä se tehdään olettamalla tietyt energiansiirto-ominaisuudet ilman ja kappleen välille ja kirjoittamalla Navierin ja Stokesin yhtälö. Sitten luodaan tietty hila, eli jaetaan ilman täyttämä avaruus tetraedreihin, ja diskretoidaan differentiaaliyhtälösysteemi asianmukaisin reunaehdoin. Lopputuloksena saadaan algebrallinen yhtälöryhmä, jonka ratkaisuna on (likimääräiset) lämpötilat ja virtausnopeudet hilapisteissä. Navierin ja Stokesin yhtälöt ovat epälineaarisia ja matemaattiesti varsin haastavia, joten tuo yhtälöryhmäkin on epälineaarinen ja varsin haastava ratkottava. Sitä varten on olemassa erilaisia kaupallisia tietokoneohjelmistoja.

Lukiotiedot eivät valitettavasti riitä pohjaksi asian perusteelliselle ymmärtämiselle tai oman ohjelmakoodin kirjoittamiselle, mutta Googlaa vaikka "Navier Stokes equations", niin näet minkälaisen matematiikan kanssa virtausdynamiikassa leikitään.

Teekkari
Seuraa 
Viestejä2347

Ensinnäkin stefan-boltzman on tässä irrelevantti laki, koska liikutaan niinkin alhaisissa lämpötiloissa kuin 100 astetta sepiä. Mutta muut lämpösiirron ja virtaustekniikan lait ovat vielä turhempia, koska lämmönlähteestä ei ole kerrottu mitään.

Jos keskustelun avaaja rajaa lämmönlähteen jotenkin, vaikkapa 100 asteiseksi oluttölkiksi, voin tenttiin harjoitellessa laskea sen tänne - jos muistan.

Everything you know, is about to change.

Juu, eli konvektiivisen lämmönsiirron osuus on kuitenkin vähintään kertaluokkaa suurempi kuin säteilyn. Siis ylös siirtyy lämpöä enemmän, kun taas sivuille ja alas vain hieman.

Enpä osannutkaan arvata, että tästä voisi tulla näin vaikeaa. Konvektiovirroista en ole ennen kuullutkaan ja epälineaariset yhtälöt vaikuttavat aika kryptisiltä.

Sen verran alkutapahtumaa muokkaisin, että oletetaan pallon säteen olevan 0.5m. Vaikka näyttääkin siltä, että laskeminen ei minulta onnistu, arvostaisin silti välivaiheita ja selityksiä eri kohdille.

Haluatko tietää pallon ympärillä olevan ilman lämpötilan vai kenties sen läheisyydessä olevan kappaleen lämpötilan ja vielä on määriteltävä suunta. Pallon yläpuolella, sivulla vai alapuolella vai jossain noiden väliltä. Pallo kuumentaa ympärillään olevaa ilmaa, joka alkaa virrata ylöspäin. Syntyy siis lämpimän ilman virtaus. Etäisyys, jolla ilman lämpötila olisi 0 C on pirullisen hankala laskettava kuten edellä on jo kerrottu.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä39965

En nyt lupaa mitään, mutta jos töissä on luppoaikaa ja muistan asian, voin panna simulaattorin laskemaan ilman lämpöjakauman ja virtauskentän. Simulaattori ei tietysti tuota kaipaamiasi välivaiheita, mutta en ole niin perehtynyt virtausdynamiikkaan ja epälineaaristen differentiaaliyhtälöiden numeeriseen laskentaan, että osaisin itsekään koodata tuollaista ohjelmaa.

Ongelma on epämääräisesti aseteltu, mutta laskennallisesti yksinkertainen tapa on olettaa pelkkä johtuminen ja tarkastella yksiulotteisesti pelkkää etäisyyttä lämpöpisteestä (suunnasta riippumaton). Lämmönjohtumista hallitseva yhtälö tuottaa tällöin lineaarisen lämpötilaprofiilin (laskeva suora, kun etäisyys kasvaa). Tällöin jos etäisyys 100'C:n pisteestä -20'C:n lämpötilaan on x, niin 0'C löytyy 5/6x:n päästä. x on määriteltävä itse, mikä vie varmaankin pointin koko hommasta.

Jos pallon tilalla olisi taso niin jakautuma olisi lineaarinen mutta ei tässä pallon tapauksessa. Mutta sen matemaattinen lauseke olisi kyllä yksinkertainen vaikka x = ∞. Ilman virtaus kuitenkin sotkee asian täydellisesti.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä39965
Edu
Ongelma on epämääräisesti aseteltu



Puolen metrin pallo normaalipaineisessa liikkumattomassa ilmassa Maan gravitaatiokentässä kaukana esteistä on hyvin määritelty tehtävä.

mutta laskennallisesti yksinkertainen tapa on olettaa pelkkä johtuminen ja tarkastella yksiulotteisesti pelkkää etäisyyttä lämpöpisteestä (suunnasta riippumaton).



Fysikaaliseen tehtävän ratkaisussa pitää tietää, mitkä ovat hallitsevia prosesseja. Esimerkiksi tässä tapauksessa lämmönsiirtoprosesseista hallitseva on, kuten jo todettu, konvektio. Johtuminen ja säteily ovat paljon vähämerkityksellisempiä. Tietenkin johtuminen on yksinkertaisempi laskea, mutta tulos on sekä kvalitatiivisesti että kvantitatiivisesti selvästi väärä.

Opetuskäytössä näkee joskus tehtäviä, joissa käsketään jättämään oleellisia tekijöitä pois. Mielestäni sellaisissa tapauksissa olisi kuitenkin parempi keksiä sellainen tehtävä, jossa haluttu malli olisi paremmin kuvaava. Esimerkiksi, jos halutaan opettaa pallosymmetristä lämmönjohtumista, voisi esimerkiksi ottaa pallonmuotoisen säiliön, joka on eristetty eristevaipalla. Se ratkeaa ihan suljetussa muodossa.

Lämmönjohtumista hallitseva yhtälö tuottaa tällöin lineaarisen lämpötilaprofiilin (laskeva suora, kun etäisyys kasvaa). Tällöin jos etäisyys 100'C:n pisteestä -20'C:n lämpötilaan on x, niin 0'C löytyy 5/6x:n päästä. x on määriteltävä itse, mikä vie varmaankin pointin koko hommasta.



Pieleen meni. Lämmönjohtuminen tuottaa kyllä lineaarisen lämpötilajakauman tietyillä geometrioilla ja reunaehdoilla, mutta ei pallosymmetrisessä tapauksessa.

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1578

Tuota tuota. Jos oletetaan, että ilma ei virtaa, on kyse varsin yksinkertaisesta vakiotilaisesta lämmönsiirto-ongelmasta, johon löytyy netistäkin vastauksia vaikka millä mitalla. Esimerkiksi tämän materiaalin sivun 11 alaosassa on otsikko "1-D radial conduction in a sphere:" ja seuraavalla sivulla valmis yhtälö, johon tarvitsee sijoittaa vain arvot eli T[size=50:34iqb9lr]s,1[/size:34iqb9lr] = 100°, T[size=50:34iqb9lr]s,2[/size:34iqb9lr] = -20°, r[size=50:34iqb9lr]1[/size:34iqb9lr] = ½ m ja r[size=50:34iqb9lr]2[/size:34iqb9lr] = ∞.

Jos nyt laskin oikein, niin säde r = 3 m, kun lämpötila on 0°.

Vanha jäärä

Neutroni
Seuraa 
Viestejä39965

No niin, tein pieniä laskutoimituksia asian suhteen.

Tässä virtauskenttä:

ja tässä lämpötilajakauma:

Konvektio muodostaa nousevan lämpimän ilmavirtauksen, joka nousee metrikaupalla. Pallon päällä nollalämpötila on ehkä muutaman kymmenen metrin korkeudessa (en jaksanut tehdä niin korkeaa simulaatiota), kun taas pallon sivulla virtaava lämmin ilmakerros on hyvin ohut. Pallosta siirtyy tehoa ilmaan muistaakseni noin 600 W teholla. Pallo säteilee noin 800 W, mutta säteily ei taida pahemmin absorboitua ilmaan. Sen sijaan se vaikuttaa kyllä pallon lähelle tuotuun absorboivaan kappaleeseen lämmittävästi.

Malli on varsin karkea, koska tein ja laskin sen pikaisesti. Virtaus oletetaan laminaariseksi, mikä saattaa alle 1 m/s nopeuksillä päteäkin. Materiaaliparametrit on Comsol Multiphysics -ohjelman materiaalikirjastosta. Laskentahila on turhan harva, mutta tuo esiin kvalitatiivisen käyttäytymisen.

Kuten jokainen voi huomata, konvektion huomioimaton yksinkertainen malli on tässä tehtävässä räävittömän huono.

Alan kirjoista löytyy kohtuullisen tarkkoja korrelaatioyhtälöitä, joilla tälläiset laskut onnistuu myös ilman cfd-laskentaa. Itellä on "Fundamentals of heat and mass transfer" Incropera et al. 2004 ja sillä on ainakin onnistunut vastaavat.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat