Mitä Gödel todella sanoi?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Vasta nyt, vuosia asian lukemisen jälkeen, luulen tajunneeni Gödelin epätäydellisyyslauseen merkityksen ja valtavuuden. Voin kuitenkin olla väärässä. Jos näin on, toivon että joku fiksumpi ihminen sanoisi, missä kohtaa ajattelen väärin.

Olkoot M1 ja M2 lukuteorian malleja. Merkitään lauseen totuutta mallissa merkillä #, ja lauseen A negaatiota \A.

Gödel-lause G ei ole todistuva. Kaikki (universaalisti) todet lauseet ovat kuitenkin todistuvia, joten täytyy olla olemassa sellaiset lukuteorian mallit, että
M1 # G
M2 # \G.

Triviaalisti on voimassa
G -> ((0=1) tai \(0=1)),
mistä seuraa, että
(G -> (0=1)) tai (\G -> (0=1)).
Yhdistämällä tämä edelliseen saadaan
M1 # (0=1) tai M2 # (0=1).

Tämähän on hirvittävä paradoksi. Voiko se olla edes oikeinkaan? Miten tuo malli, jossa 0=1 on totta, voi edes olla lukuteorian malli? Nähdäkseni tällaisen mallin olemassaolo voi merkitä vain kahta asiaa. Joko lukuteoria on hölynpölyä, joka ei tarkoita mitään, tai sitten on olemassa puhdasta kaaosta, maailmoja joissa alkeislogiikan lait eivät päde.

Voi helvetin helvetin helvetti. [Anteeksi epäasiallinen kielenkäyttö, mutta myöntänette, että asiaan liittyy suuri emotionaalinen lataus.]

Sivut

Kommentit (57)

Vierailija

Myönnän etten ymmärtänyt tuosta todistuksesta tai sen merkityksestä yhtään mitään ja siksi minullekin syntyi emotionaalinen data, jonka minä tunnistan tunteidenkäsittelyohjelman kautta vitutukseksi. Tämä ei ole miellyttävää - olen ½kuollut...AARGH!

Vierailija
Weird'Os
Myönnän etten ymmärtänyt tuosta todistuksesta tai sen merkityksestä yhtään mitään ja siksi minullekin syntyi emotionaalinen data, jonka minä tunnistan tunteidenkäsittelyohjelman kautta vitutukseksi. Tämä ei ole miellyttävää - olen ½kuollut...AARGH!



Jospa joku muu ymmärtäisi. Kaikki muuhan tässä on alkeislogiikkaa, jonka voi tarkistaa totuustauluilla, paitsi tieto siitä, että on olemassa Gödel-lauseita ja että kaikki (universaalisti) todet lauseet ovat todistuvia.

Lauseen merkitystä luotaa tuo viimeinen kappale. Joko minä muistan jotakin väärin, tai sitten Gödelin epätäydellisyyslause ravistelee koko matematiikan perustuksia.

Ueberweg
Seuraa 
Viestejä1167
Liittynyt12.9.2008
Student

(G -> (0=1)) tai (\G -> (0=1)).
Yhdistämällä tämä edelliseen saadaan
M1 # (0=1) tai M2 # (0=1).



Virhe on tässä.

Korvaa G millä tahansa kontingentilla propositiolla p, niin on tietysti olemassa
M1# p
ja
M2 # \p

Koska ((p -> (0=1)) tai (\p -> (0=1))), näyttäisi siltä, että
M1 # (0=1) tai M2 # (0=1).

planetisti
Seuraa 
Viestejä463
Liittynyt22.9.2008
Student

Gödel-lause G ei ole todistuva. Kaikki (universaalisti) todet lauseet ovat kuitenkin todistuvia, joten täytyy olla olemassa sellaiset lukuteorian mallit, että
M1 # G
M2 # \G.

Tätä en kyllä ymmärrä.

Vierailija

The brain is a computing machine connected with a spirit. (6.1.19)

Consciousness is connected with one unity. A machine is composed of parts. (6.1.21)

Don’t collect data. If you know everything about yourself, you know everything. There is no use burdening yourself with a lot of data. Once you understand yourself, you understand human nature and then the rest follows. (9.2.6)

Sanoipa tuo paljon muutakin, mutta sanathan ovat "vain" symbolisia kaavoja.

Vierailija
Ueberweg

Virhe on tässä.

Korvaa G millä tahansa kontingentilla propositiolla p, niin on tietysti olemassa
M1# p
ja
M2 # \p




Onko näin? Eikö kontingentti propositio tarkoita, että siinä on vapaita muuttujia, joista lauseen totuus ja todistuvuus riippuu? Siis että on olemassa x1 ja x2, jotka kuuluvat malliin M1, ja joille on voimassa
M1 # p(x1)
M1 # \p(x2) ?

Sensijaan Gödel-lauseen erityispiirre on käsittääkseni
M1 # G kaikilla x
M2 # \G kaikilla x.

Vai onko?

Vierailija
planetisti
Student

Gödel-lause G ei ole todistuva. Kaikki (universaalisti) todet lauseet ovat kuitenkin todistuvia, joten täytyy olla olemassa sellaiset lukuteorian mallit, että
M1 # G
M2 # \G.

Tätä en kyllä ymmärrä.



planetisti, # liittyy läheisesti Tarskin totuusmääritelmään.
M1 # A
tarkoittaa, että A voidaan tulkita niin, että sen symboleiden välisillä yhteyksillä on vastineensa M1:ssä. Ajatellaan esim verkon rakennetta koskevaa lausetta A: "solmut a ja b ovat yhteydessä toisiinsa, a~b".

Jos nyt kuitenkin vakioiden a ja b kuvilla Tul(a) ja Tul(b) ei ole faktisesti ottaen yhteyttä keskenään, on voimassa
M1 # \A.

planetisti
Seuraa 
Viestejä463
Liittynyt22.9.2008

Tuo kuulostaa järkevältä, mutta nyt tajuan, etten tajua Gödelin teoreemista mitään. Täytyypä tutustua tarkemmin, eikä epämääräisen semanttisella tasolla.

Ueberweg
Seuraa 
Viestejä1167
Liittynyt12.9.2008
Student
Eikö kontingentti propositio tarkoita, että siinä on vapaita muuttujia, joista lauseen totuus ja todistuvuus riippuu? Siis että on olemassa x1 ja x2, jotka kuuluvat malliin M1, ja joille on voimassa
M1 # p(x1)
M1 # \p(x2) ?



Kontingentti propositio, jossa on vapaita muuttujia? Muuttujia, jotka kuuluvat malliin? Nämä ovat minulle vieraita olioita ja jotenkin minusta tuntuu, että niin ne ovat sinullekin

Vierailija
Ueberweg

Kontingentti propositio, jossa on vapaita muuttujia? Muuttujia, jotka kuuluvat malliin? Nämä ovat minulle vieraita olioita ja jotenkin minusta tuntuu, että niin ne ovat sinullekin



Mitä ilmeisimmin kuitenkin vähemmän kuin sinulle Kontingentin proposition käsitteestä en ole varma, mutta luulisin, että se tarkoittaa predikaattilogiikan lausetta, jossa on vapaa muuttuja. R(x), x:lle on voimassa jotakin.

Muuttuja x on sidottu, jos se on vakio tai jos se on määrätty olemaan kaikki muuttujat, ts. jos lauseessa lukee "kaikilla x".

Yllä x on symboli, joka kuuluu formaaliin kieleen. Tulkintafunktio kuvaa sen muuttujaksi Tul(x), joka on mallin alkio. Vakiosymbolin kuva on mallin vakio, vapaan muutujan kuva voi olla mikä tahansa mallin alkio tulkintafunktiosta riippuen. Ok?

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
Student
Kaikki (universaalisti) todet lauseet ovat kuitenkin todistuvia, joten täytyy olla olemassa sellaiset lukuteorian mallit, että
M1 # G
M2 # \G.

Öh, mitäs tällä nyt tarkalleen ottaen tarkoitetaan? Tuolla universaalisti todella kaavalla tarkoitat tässä tapauksessa ilmeisesti tätä: (G tai \G). Voitko tarkemmin selittää tuon #:n, kun en sitä mistään saa Googlattua? Jos "M # G" tässä yhteydessä tarkoittaa, että "G on todistuva M:ssä", niin millä perusteella voi sanoa, että tuollaiset kaksi mallia on olemassa?

We're all mad here.

Vierailija

En tunne epätäydellisyysteoreeman yksityiskohtaista todistusta, mutta sen valtava merkitys paljastuu vasta kun oivalletaan teoreeman johtopäätösten olevan yleispäteviä kaikissa formaaleissa järjestelmissä. Ts. on järjestelmän aksioomat millaiset tahansa, niin järjestelmän sisällä on mahdollista muodostaa kolmenlaisia lauseita:
1. Lauseet, jotka voidaan todistaa
2. Lauseet, jotka voidaan osoittaa epätodeksi
3. Lauseet, joille ei voi tehdä kumpaakaan.

Vierailija
abskissa
No jaa, hmmm. Eikös propositiologiikka kuitenkin ole täydellinen systeemi? Sen ilmaisuvoima ei vaan riitä matematiikkaan.



Propositiologiikan ristiriidattomuuden ja täydellisyyden todisti ensimmäisenä Emile Post 1920.

Gödel osoitti puolestaan predikaattilogiikan täydelliseksi vuonna 1930 julkaistussa väitöskirjassaan.

http://users.jyu.fi/~juhaleh/godel.html

Jos aihe kiinnostaa, tossa "paras" suomenkielinen (kansantajuinen) tiivistelmä.

T:Puhun vain satua

Vierailija
abskissa
No jaa, hmmm. Eikös propositiologiikka kuitenkin ole täydellinen systeemi? Sen ilmaisuvoima ei vaan riitä matematiikkaan.

Tarkennetaan sen verran (näin olen itse ymmärtänyt Gödelin teoreeman, korjatkaa tietävämmät jos olen väärässä), että formaalia järjestelmää ei voi osoittaa ristiriidattomaksi sen omista aksioomistaan lähtien.

Sitä en sitten osaa sanoa, että kuinka propositiologiikka on osoitettu täydelliseksi.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat