Seuraa 
Viestejä45973

Vasta nyt, vuosia asian lukemisen jälkeen, luulen tajunneeni Gödelin epätäydellisyyslauseen merkityksen ja valtavuuden. Voin kuitenkin olla väärässä. Jos näin on, toivon että joku fiksumpi ihminen sanoisi, missä kohtaa ajattelen väärin.

Olkoot M1 ja M2 lukuteorian malleja. Merkitään lauseen totuutta mallissa merkillä #, ja lauseen A negaatiota \A.

Gödel-lause G ei ole todistuva. Kaikki (universaalisti) todet lauseet ovat kuitenkin todistuvia, joten täytyy olla olemassa sellaiset lukuteorian mallit, että
M1 # G
M2 # \G.

Triviaalisti on voimassa
G -> ((0=1) tai \(0=1)),
mistä seuraa, että
(G -> (0=1)) tai (\G -> (0=1)).
Yhdistämällä tämä edelliseen saadaan
M1 # (0=1) tai M2 # (0=1).

Tämähän on hirvittävä paradoksi. Voiko se olla edes oikeinkaan? Miten tuo malli, jossa 0=1 on totta, voi edes olla lukuteorian malli? Nähdäkseni tällaisen mallin olemassaolo voi merkitä vain kahta asiaa. Joko lukuteoria on hölynpölyä, joka ei tarkoita mitään, tai sitten on olemassa puhdasta kaaosta, maailmoja joissa alkeislogiikan lait eivät päde.

Voi helvetin helvetin helvetti. [Anteeksi epäasiallinen kielenkäyttö, mutta myöntänette, että asiaan liittyy suuri emotionaalinen lataus.]

Sivut

Kommentit (57)

Myönnän etten ymmärtänyt tuosta todistuksesta tai sen merkityksestä yhtään mitään ja siksi minullekin syntyi emotionaalinen data, jonka minä tunnistan tunteidenkäsittelyohjelman kautta vitutukseksi. Tämä ei ole miellyttävää - olen ½kuollut...AARGH!

Weird'Os
Myönnän etten ymmärtänyt tuosta todistuksesta tai sen merkityksestä yhtään mitään ja siksi minullekin syntyi emotionaalinen data, jonka minä tunnistan tunteidenkäsittelyohjelman kautta vitutukseksi. Tämä ei ole miellyttävää - olen ½kuollut...AARGH!



Jospa joku muu ymmärtäisi. Kaikki muuhan tässä on alkeislogiikkaa, jonka voi tarkistaa totuustauluilla, paitsi tieto siitä, että on olemassa Gödel-lauseita ja että kaikki (universaalisti) todet lauseet ovat todistuvia.

Lauseen merkitystä luotaa tuo viimeinen kappale. Joko minä muistan jotakin väärin, tai sitten Gödelin epätäydellisyyslause ravistelee koko matematiikan perustuksia.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Ueberweg
Seuraa 
Viestejä1231
Student

(G -> (0=1)) tai (\G -> (0=1)).
Yhdistämällä tämä edelliseen saadaan
M1 # (0=1) tai M2 # (0=1).



Virhe on tässä.

Korvaa G millä tahansa kontingentilla propositiolla p, niin on tietysti olemassa
M1# p
ja
M2 # \p

Koska ((p -> (0=1)) tai (\p -> (0=1))), näyttäisi siltä, että
M1 # (0=1) tai M2 # (0=1).

planetisti
Seuraa 
Viestejä463
Student

Gödel-lause G ei ole todistuva. Kaikki (universaalisti) todet lauseet ovat kuitenkin todistuvia, joten täytyy olla olemassa sellaiset lukuteorian mallit, että
M1 # G
M2 # \G.

Tätä en kyllä ymmärrä.

The brain is a computing machine connected with a spirit. (6.1.19)

Consciousness is connected with one unity. A machine is composed of parts. (6.1.21)

Don’t collect data. If you know everything about yourself, you know everything. There is no use burdening yourself with a lot of data. Once you understand yourself, you understand human nature and then the rest follows. (9.2.6)

Sanoipa tuo paljon muutakin, mutta sanathan ovat "vain" symbolisia kaavoja.

Ueberweg

Virhe on tässä.

Korvaa G millä tahansa kontingentilla propositiolla p, niin on tietysti olemassa
M1# p
ja
M2 # \p




Onko näin? Eikö kontingentti propositio tarkoita, että siinä on vapaita muuttujia, joista lauseen totuus ja todistuvuus riippuu? Siis että on olemassa x1 ja x2, jotka kuuluvat malliin M1, ja joille on voimassa
M1 # p(x1)
M1 # \p(x2) ?

Sensijaan Gödel-lauseen erityispiirre on käsittääkseni
M1 # G kaikilla x
M2 # \G kaikilla x.

Vai onko?

planetisti
Student

Gödel-lause G ei ole todistuva. Kaikki (universaalisti) todet lauseet ovat kuitenkin todistuvia, joten täytyy olla olemassa sellaiset lukuteorian mallit, että
M1 # G
M2 # \G.

Tätä en kyllä ymmärrä.



planetisti, # liittyy läheisesti Tarskin totuusmääritelmään.
M1 # A
tarkoittaa, että A voidaan tulkita niin, että sen symboleiden välisillä yhteyksillä on vastineensa M1:ssä. Ajatellaan esim verkon rakennetta koskevaa lausetta A: "solmut a ja b ovat yhteydessä toisiinsa, a~b".

Jos nyt kuitenkin vakioiden a ja b kuvilla Tul(a) ja Tul(b) ei ole faktisesti ottaen yhteyttä keskenään, on voimassa
M1 # \A.

Ueberweg
Seuraa 
Viestejä1231
Student
Eikö kontingentti propositio tarkoita, että siinä on vapaita muuttujia, joista lauseen totuus ja todistuvuus riippuu? Siis että on olemassa x1 ja x2, jotka kuuluvat malliin M1, ja joille on voimassa
M1 # p(x1)
M1 # \p(x2) ?



Kontingentti propositio, jossa on vapaita muuttujia? Muuttujia, jotka kuuluvat malliin? Nämä ovat minulle vieraita olioita ja jotenkin minusta tuntuu, että niin ne ovat sinullekin

Ueberweg

Kontingentti propositio, jossa on vapaita muuttujia? Muuttujia, jotka kuuluvat malliin? Nämä ovat minulle vieraita olioita ja jotenkin minusta tuntuu, että niin ne ovat sinullekin



Mitä ilmeisimmin kuitenkin vähemmän kuin sinulle Kontingentin proposition käsitteestä en ole varma, mutta luulisin, että se tarkoittaa predikaattilogiikan lausetta, jossa on vapaa muuttuja. R(x), x:lle on voimassa jotakin.

Muuttuja x on sidottu, jos se on vakio tai jos se on määrätty olemaan kaikki muuttujat, ts. jos lauseessa lukee "kaikilla x".

Yllä x on symboli, joka kuuluu formaaliin kieleen. Tulkintafunktio kuvaa sen muuttujaksi Tul(x), joka on mallin alkio. Vakiosymbolin kuva on mallin vakio, vapaan muutujan kuva voi olla mikä tahansa mallin alkio tulkintafunktiosta riippuen. Ok?

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Student
Kaikki (universaalisti) todet lauseet ovat kuitenkin todistuvia, joten täytyy olla olemassa sellaiset lukuteorian mallit, että
M1 # G
M2 # \G.

Öh, mitäs tällä nyt tarkalleen ottaen tarkoitetaan? Tuolla universaalisti todella kaavalla tarkoitat tässä tapauksessa ilmeisesti tätä: (G tai \G). Voitko tarkemmin selittää tuon #:n, kun en sitä mistään saa Googlattua? Jos "M # G" tässä yhteydessä tarkoittaa, että "G on todistuva M:ssä", niin millä perusteella voi sanoa, että tuollaiset kaksi mallia on olemassa?

We're all mad here.

En tunne epätäydellisyysteoreeman yksityiskohtaista todistusta, mutta sen valtava merkitys paljastuu vasta kun oivalletaan teoreeman johtopäätösten olevan yleispäteviä kaikissa formaaleissa järjestelmissä. Ts. on järjestelmän aksioomat millaiset tahansa, niin järjestelmän sisällä on mahdollista muodostaa kolmenlaisia lauseita:
1. Lauseet, jotka voidaan todistaa
2. Lauseet, jotka voidaan osoittaa epätodeksi
3. Lauseet, joille ei voi tehdä kumpaakaan.

abskissa
No jaa, hmmm. Eikös propositiologiikka kuitenkin ole täydellinen systeemi? Sen ilmaisuvoima ei vaan riitä matematiikkaan.



Propositiologiikan ristiriidattomuuden ja täydellisyyden todisti ensimmäisenä Emile Post 1920.

Gödel osoitti puolestaan predikaattilogiikan täydelliseksi vuonna 1930 julkaistussa väitöskirjassaan.

http://users.jyu.fi/~juhaleh/godel.html

Jos aihe kiinnostaa, tossa "paras" suomenkielinen (kansantajuinen) tiivistelmä.

T:Puhun vain satua

abskissa
No jaa, hmmm. Eikös propositiologiikka kuitenkin ole täydellinen systeemi? Sen ilmaisuvoima ei vaan riitä matematiikkaan.

Tarkennetaan sen verran (näin olen itse ymmärtänyt Gödelin teoreeman, korjatkaa tietävämmät jos olen väärässä), että formaalia järjestelmää ei voi osoittaa ristiriidattomaksi sen omista aksioomistaan lähtien.

Sitä en sitten osaa sanoa, että kuinka propositiologiikka on osoitettu täydelliseksi.

totinen
Seuraa 
Viestejä4880
Student
Vasta nyt, vuosia asian lukemisen jälkeen, luulen tajunneeni Gödelin epätäydellisyyslauseen merkityksen ja valtavuuden. Voin kuitenkin olla väärässä. Jos näin on, toivon että joku fiksumpi ihminen sanoisi, missä kohtaa ajattelen väärin.

Olkoot M1 ja M2 lukuteorian malleja. Merkitään lauseen totuutta mallissa merkillä #, ja lauseen A negaatiota \A.

Gödel-lause G ei ole todistuva. Kaikki (universaalisti) todet lauseet ovat kuitenkin todistuvia, joten täytyy olla olemassa sellaiset lukuteorian mallit, että
M1 # G
M2 # \G.

Triviaalisti on voimassa
G -> ((0=1) tai \(0=1)),
mistä seuraa, että
(G -> (0=1)) tai (\G -> (0=1)).
Yhdistämällä tämä edelliseen saadaan
M1 # (0=1) tai M2 # (0=1).

Tämähän on hirvittävä paradoksi. Voiko se olla edes oikeinkaan? Miten tuo malli, jossa 0=1 on totta, voi edes olla lukuteorian malli? Nähdäkseni tällaisen mallin olemassaolo voi merkitä vain kahta asiaa. Joko lukuteoria on hölynpölyä, joka ei tarkoita mitään, tai sitten on olemassa puhdasta kaaosta, maailmoja joissa alkeislogiikan lait eivät päde.

Voi helvetin helvetin helvetti. [Anteeksi epäasiallinen kielenkäyttö, mutta myöntänette, että asiaan liittyy suuri emotionaalinen lataus.]


Luultavasti en ole fiksumpi, mutta eikö tuossa todisteta, että lukuteoriaa ei voida todistaa (eli johtaa) universaalilla Turingin koneella. Mistä taas seuraa että lukuteoriaan on piilotettu emergenssi.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
anomalia
Tarkennetaan sen verran (näin olen itse ymmärtänyt Gödelin teoreeman, korjatkaa tietävämmät jos olen väärässä), että formaalia järjestelmää ei voi osoittaa ristiriidattomaksi sen omista aksioomistaan lähtien.

Tieto on minullakin sen verran hataraa -- hieman aikaa vierähtänyt siitä kun näitä on luettu -- että täytyy luntata Wikipediasta.

Tuo muistuttaa Gödelin toista epätäydellisyyslausetta. Siinä puhutaan vain sellaisista järjestelmistä, jotka riittävät kokonaislukujen aritmetiikkaan.

Gödelin ensimmäisessä epätäydellisyyslauseessa todetaan kutakuinkin, että ristiriidattomassa järjestelmässä, joka on riittävän vahva kokonaislukuaritmetiikan esittämiseen, on olemassa validi kaava, joka ei ole teoreema eli löysästi puhuen "väite, joka pitää paikkaansa, mutta jota ei voida todistaa".

We're all mad here.

Minua ei ole enää kiinnostanut pitkiin aikoihin paskanjauhanta. Gödel, ainstain, hawking, yms. voivat kehitellä lauseitaan, miten huvittaa.

Minulle vain käytännöllä on merkitystä. Jos jossain on kauneutta, harmoniaa, yksinkertaisuutta, tarkoituksenmukaisuutta, etc. sen on oltava oikein, tai ainakin mielenkiintoinen vaihtoehto paljouden väärissä vaihtoehdoissa.

Paras ja ainut lukemani kirja on edelleen E.T.BELLin Matematiikan miehiä. Voin kopioida jatkoksi kirjan takakannen:

"E.T.BELL (1883-1960) oli matematiikan professori, joka yleisesti tunnetaan lähinnä historioitsijana ja tieteisromaanien kirjoittajana. Maineikkain ja arvostetuin hänen yli kahdestakymmenestä teoksestaan on Matematiikan miehiä, joka on käännetty useille sivistyskielille.

>>Matematiikan miehiä>> on tarkoitettu tavallisille lukijoille, kaikille niille, jotka haluavat tietää, millaisia suuret matemaatikot ovat olleet ihmisinä, kaikille niille, joita innostavat tieteen tulokset ja nerokkaiden miesten oivallukset. Se on mielenkiintoista luettavaa kenelle tahansa - sillekin, jolle matematiikka sinänsä on ‘vaikea’ alue. Eloisasti ja mukaansatempaavasti teos tutustuttaa lukijan eräisiin modernin matematiikan olennaisiin piirteisiin kertomalla miehistä, jotka ovat olleet luomassa näitä uusia ajatuksia.

Teoksessa esiteltyjen matemaatikkojen valinnassa on käytetty kahta arvosteluperustetta: toisaalta kyseisen henkilön merkitystä modernille matematiikalle, toisaalta hänen elämänsä ja luonteensa inhimillistä viehätysvoimaa. Matemaatikkojen saatto alkaa kreikkalaisista Zenonista, Eudoksoksesta ja Arkhimedeesta sekä jatkuu Descartes’ista Pascalista ja Newtonista Poincarehen ja Cantoriin saakka. Kaikki kuuluvat vuotta 1900 edeltäneeseen aatemaailmaan. Sen jälkeen matematiikka on kehittynyt yhä voimakkaammin. Teoksessa esitellyt suuret matemaatikot ovat saaneet runsaasti arvoisiaan seuraajia."

Niin. Voi se Gödel olla kovakin jätkä, mutta ei niin kova jätkä, mitä Matematiikan miehiä -kirjassa on esitelty. Lyhyesti luin joskus Gödelistä, mutta se turha paskanjauhanta ei montaa virkettä jaksanut kiinnostaa. Kenties vika oli enemmän kirjoittajan, kuin Gödelin päässä. Mene ja tiedä.

Minä olen äärimmäisen tulinen luonne. Stumppaan tupakat kämmeneeni, lamautan kolmipäisen hermon polttamalla sen tinakolvilla helvettiin (josta pitkä arpi poskessa muistona), lyön kuuden tuuman rautanaulan pohkeeni läpi, koska henkilökohtainen konkurssi vähän vitutti, jne. Judo ja karatemiehet eivät minua pelota. He eivät tiedä, muuta kuin vasta elämän jatkuneen työn myötä, mitä on luonne, perkele.

En ole tavallista pulliaista kummempi, mutta toteutan stuntin, jossa vedän moottoripyörällä 220 mereen. Olen käynyt tempun vaiheet yhä uudelleen mielessäni läpi, ja siten varautunut (herkistynyt) mereen syöksyn loppuvaiheisiin. Saapa juutubee sitten katsella kovapäisyyttä hidastettuna. Jos temppu epäonnistuu, voi olla kohtalokkaat seuraukset, MUTTA VAIN ITSELLE.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654

No mutta. Se, että Bell ei kirjassaan pääse ajallisesti Cantoria pidemmälle, ei tee hänen (Cantorin) seuraajistaan yhtään pienempiä.

Jonelle suosittelen ehdottomasti Martin Davisin kirjaa "Tietokoneen esihistoria Leibnizista Turingiin". Siinä Cantorista edetään vielä muistaakseni Fregeen, Hilbertiin, Gödeliin ja Turingiin. Sisältää hauskoja anekdootteja oudoista äijistä.

Aiheesta kiinnostuneille suosittelen myös tätä sarjakuvaa:

http://en.wikipedia.org/wiki/Logicomix.

Tarina, jossa päähenkilö on Bertrand Russell, ei voi olla läpeensä mätä.

EDIT: tarkennus

We're all mad here.

Student

Olkoot M1 ja M2 lukuteorian malleja. Merkitään lauseen totuutta mallissa merkillä #, ja lauseen A negaatiota \A.

Gödel-lause G ei ole todistuva. Kaikki (universaalisti) todet lauseet ovat kuitenkin todistuvia, joten täytyy olla olemassa sellaiset lukuteorian mallit, että
M1 # G
M2 # \G.




Hmm... Kaiketi oletetaan, että meillä on käytössä ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikka (tai jokin vastine) ja lukuteorian aksioomat A. Edelleen oletetaan, että G on jokin lukuteorian aksioomista rakennettu Gödel-lause. Olkoon nyt N lukuteorian malli eli struktuuri missä A:n lauseet (nyt aksioomia) ovat tosia.

Gödel-lauseen ominaisuuksiahan ovat, että se on tosi N:ssä (notaatiollasi N#G), mutta ei kuitenkaan todistuva lausejoukosta A.

Koska G:llä on malli, niin päättelet että on olemassa jokin M2, jolla M2#\G? Onko M2#A?

Student

Triviaalisti on voimassa
G -> ((0=1) tai \(0=1)),
mistä seuraa, että
(G -> (0=1)) tai (\G -> (0=1)).
Yhdistämällä tämä edelliseen saadaan
M1 # (0=1) tai M2 # (0=1).



Mitä tarkoittaa "G -> ((0=1) tai \(0=1))" on "voimassa"? Tarkoitatko, että se on jossain mallissa totta? Missä mallissa? Onko mielestäsi samassa mallissa totta "(G -> (0=1)) tai (\G -> (0=1))"?

Selvästi nyt "((0=1) tai \(0=1))" on validi lause (kunhan "1" sovitaan sopivasti). Mutta en oikein ymmärrä mitä tarkemmin ottaen koitat sanoa. Tarkoitatko peräti että se voidaan johtaa G:stä jotenkin? Ovatko lukuteorian aksioomat tällöin jotenkin mukana?

En ymmärrä päättelyäsi.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat