Kerrannaisfunktion derivointi

Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Tentti tulossa, voisiko joku matemaatikko vähän jeesata.

Funktio on muotoa e^{cos[f(x)]}, ja tuo pitäisi derivoida x:n suhteen. Tuo f(x) voi olla ihan joku perusfunktio, vaikkapa kx^2.

Tiedän kyllä periaatteessa miten yhdistetty funktio derivoidaan, mutta miten homma menee kun sisäkkäisiä tasoja on useampia kuin kaksi, kuten tuossa.

Kommentit (10)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Merkitse vaikkapa e^(g(x)) joka on derivoituna g'(x)e^(g(x)), ja tuon g(x):än varmaan osaat derivoida?

Edit: Laitetaan vielä hieman täsmällisemmin, kun ilmeisesti matematiikasta on kyse.

Sovella ketjusääntöä kahdesti:

f=h(g(x)), g(x) = m(t(x))

df/dx = df/dg*dg/dx, josta jälkimmäinen on edelleen

dg/dx = dg/dt*dt/dx

eli df/dx =df/dg*dg/dt*dt/dx

Tämä tietysti sillä ehdolla että nuo funktiot ovat derivoituvia. Voit käyttää tietysti toista merkintää ketjusäännöstä, mutta asia ei muutu.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
bosoni
Merkitse vaikkapa e^(g(x)) joka on derivoituna g'(x)e^(g(x)), ja tuon g(x):än varmaan osaat derivoida?



Eli sitten derivoidaan (puretaan) vain tuota g'(x):n sisältöä eteenpäin, eikä kosketa enää e^(g(x)) osaan.

Muutenhan se muuttuisi rekursiiviseksi eli päättymättömäksi prosessiksi.

Vierailija
David
Tiedän kyllä periaatteessa miten yhdistetty funktio derivoidaan, mutta miten homma menee kun sisäkkäisiä tasoja on useampia kuin kaksi, kuten tuossa.



Rekursiolla. Jos a(x) = b(c(x)) niin a'(x) = b'(c(x)) c'(x). "Kolmannen tason" saat sijoittamalla c(x) = d(e(x)) ja soveltamalla alkuperäistä tulosta c'(x):n laskemiseksi.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
bosoni
Merkitse vaikkapa e^(g(x)) joka on derivoituna g'(x)e^(g(x)), ja tuon g(x):än varmaan osaat derivoida?

Edit: Laitetaan vielä hieman täsmällisemmin, kun ilmeisesti matematiikasta on kyse.

Sovella ketjusääntöä kahdesti:

f=h(g(x)), g(x) = m(t(x))

df/dx = df/dg*dg/dx, josta jälkimmäinen on edelleen

dg/dx = dg/dt*dt/dx

eli df/dx =df/dg*dg/dt*dt/dx

Tämä tietysti sillä ehdolla että nuo funktiot ovat derivoituvia. Voit käyttää tietysti toista merkintää ketjusäännöstä, mutta asia ei muutu.


Danke schön !

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Matemaatikkojen merkintätavat taas tuskastuttavat. Eli mikä merkitysero on integraaleilla (käyräintegraalit)

Int (Re Z dz)

ja

Int (Z dz)

En kyselisi tällaisia, jos netistä löytyisi joku vastaava esimerkki, mutta kun ei. Tuo Int tarkoittaa integrointimerkkiä ja sulut ovat ylimääräisiä.

Re Z tarkoittaa toki yleensä kompelksiluvun reaaliosaa, mutta siitä nyt ei ainakaan suoraan ole kyse.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
David
Matemaatikkojen merkintätavat taas tuskastuttavat. Eli mikä merkitysero on integraaleilla (käyräintegraalit)

Int (Re Z dz)

ja

Int (Z dz)

En kyselisi tällaisia, jos netistä löytyisi joku vastaava esimerkki, mutta kun ei. Tuo Int tarkoittaa integrointimerkkiä ja sulut ovat ylimääräisiä.

Re Z tarkoittaa toki yleensä kompelksiluvun reaaliosaa, mutta siitä nyt ei ainakaan suoraan ole kyse.


Ihan ei merkintätapa osu kohdalleen, mutta käyräintegraalit ja kompleksianalyysi tuovat mieleen residyn, jota merkitään joskus hieman tuon kaltaisesti:

http://en.wikipedia.org/wiki/Residue_%2 ... nalysis%29

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Stratonovich
Ihan ei merkintätapa osu kohdalleen, mutta käyräintegraalit ja kompleksianalyysi tuovat mieleen residyn, jota merkitään joskus hieman tuon kaltaisesti:

http://en.wikipedia.org/wiki/Residue_%2 ... nalysis%29


Residue tulee varmasti jatkossa ajankohtaiseksi, kyse on ilmeisesti analyyttisestä ja ei-analyyttisestä integroinnista. Täysin ei ole vielä hahmottunut mikä ero on, mutta ilmeisesti analyyttistä ratkaisua ei ole olemassa joten on käytettävä ei-analyyttistä ratkaisumenetelmää, siitä tuo merkintä Re z dz.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Pientä spekulaatio joukko-oppiin liittyen. Puhutaan avoimesta joukosta, jonka arkikielessä ymmärtää kaiken kattavana, mutta joka topologiassa tarkoittaa rajoitettua joukkoa, johon eivät kuitenkaan rajat sisälly.

No, kyse on tietysti lainasanasta (open = avoin) joka aiheuttaa hieman käsitteellistä hämmennystä.

Ymmärrettävämpää olisi puhua rajoitetusta (avoimesta) joukosta ja toisaalta rajallisesta (eli rajat sisältävästä) joukosta, sekä näiden komplementeista. Avoin joukkohan on periaatteessa rajaton, eikä siitä kuitenkaan ole todellisuudessa kyse, koska sekin on kuitenkin rajoitettu.

Esim.

a
a<=x<=b (Rajallinen joukko)

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
David
Pientä spekulaatio joukko-oppiin liittyen. Puhutaan avoimesta joukosta, jonka arkikielessä ymmärtää kaiken kattavana, mutta joka topologiassa tarkoittaa rajoitettua joukkoa, johon eivät kuitenkaan rajat sisälly.

No, kyse on tietysti lainasanasta (open = avoin) joka aiheuttaa hieman käsitteellistä hämmennystä.

Ymmärrettävämpää olisi puhua rajoitetusta (avoimesta) joukosta ja toisaalta rajallisesta (eli rajat sisältävästä) joukosta, sekä näiden komplementeista. Avoin joukkohan on periaatteessa rajaton, eikä siitä kuitenkaan ole todellisuudessa kyse, koska sekin on kuitenkin rajoitettu.

Esim.

a
a<=x<=b (Rajallinen joukko)


Mutta eikö rajoitettu yleensä tarkoita joukkoa, joka ei ole mitaltaan ääretön ja rajallinen tarkoittaa taas määrältään äärellistä joukkoa? Näiden vastakohdat ovat sitten rajoittamaton ja rajaton. Ehdottamasti terminologia menee hieman ristiin näiden kanssa, koska esimerkiksi avoimia joukkoja on kaikkia näitä laatuja. On myös olemassa joukkoja jotka ovat sekä avoimia että suljettuja, joten tuo rajojen mukanaolo-tulkinta ei ihan toimi.

Mutta toistaalta, avoin joukko on avoin, koska reunat on jätetty avoimeksi. Jos taas kaikki rajat on mukana, se on suljettu. Ihan loogista minusta. Joskin väljä tulkinta toki.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Stratonovich
David
Pientä spekulaatio joukko-oppiin liittyen. Puhutaan avoimesta joukosta, jonka arkikielessä ymmärtää kaiken kattavana, mutta joka topologiassa tarkoittaa rajoitettua joukkoa, johon eivät kuitenkaan rajat sisälly.

No, kyse on tietysti lainasanasta (open = avoin) joka aiheuttaa hieman käsitteellistä hämmennystä.

Ymmärrettävämpää olisi puhua rajoitetusta (avoimesta) joukosta ja toisaalta rajallisesta (eli rajat sisältävästä) joukosta, sekä näiden komplementeista. Avoin joukkohan on periaatteessa rajaton, eikä siitä kuitenkaan ole todellisuudessa kyse, koska sekin on kuitenkin rajoitettu.

Esim.

a
a<=x<=b (Rajallinen joukko)


Mutta eikö rajoitettu yleensä tarkoita joukkoa, joka ei ole mitaltaan ääretön ja rajallinen tarkoittaa taas määrältään äärellistä joukkoa? Näiden vastakohdat ovat sitten rajoittamaton ja rajaton. Ehdottamasti terminologia menee hieman ristiin näiden kanssa, koska esimerkiksi avoimia joukkoja on kaikkia näitä laatuja. On myös olemassa joukkoja jotka ovat sekä avoimia että suljettuja, joten tuo rajojen mukanaolo-tulkinta ei ihan toimi.

Mutta toistaalta, avoin joukko on avoin, koska reunat on jätetty avoimeksi. Jos taas kaikki rajat on mukana, se on suljettu. Ihan loogista minusta. Joskin väljä tulkinta toki.


Tuo rajoitetun joukon käsite olikin näköjään liitetty toiseen asiayhteyteen. Nuo topologiset (ympäripyöreät) käsitteet saavat kyllä aikaan melkoisen päänsäryn. Ehkä ne ovat selviä niille, joilla joukko-oppi on ollut mukana kuvioissa jo äidinmaidosta saakka, mutta tällaiselle hieman varttuneemmalle tuo käsitteistö on aika vaikeasti miellettävää. Toki joukko-oppia on joku pintapuolinen kurssi jossain koulutusvaiheessa ollut, mutta en muista että eri topologioista olisi ollut mitään puhetta.

Edit: Tuolta muuten löytyi erinomaiset kompleksialuetta käsittelevät luentomonisteet, olisivatpa kaikkien muidenkin vastaavat esitykset yhtä hyvin toteutettuja. Asiat on hienosti perusteltu ja esimerkkejä on riittävästi. Voisin lähettää kiitokset loistavasta esitystystavasta, jos mahdollista.

http://math.tkk.fi/opetus/kp3-i/07/kalv ... osa_01.pdf

Uusimmat

Suosituimmat