Viestejä45973
klo 23:13 | 22.12.2005
Ajanvietettä jouluksi: osoita, että luvun [3+sqrt(5)]^n kokonaislukuosa on pariton kaikille positiivisille kokonaisluvuille n. Tässä ^n tarkoittaa potenssiin n ja sqrt on neliöjuuri.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Kuka nyt Jouluna vaivautuisi noin vaikeita pähkäilemään?!
Kysymyksessäsi on vain kaksi sanaa, jotka liittyvät jotenkin Jouluun:
Potenssi ja neliöjuuri ja neliöjuurikin vain muutettuna punajuureksi
Kyllä sieltä löytyy muutakin. Positiivinen on joulusana, mutta jos on pariton niin se ei kaikille ole välttämättä positiivista. Pähkinät (syötävät ja miksei pähkäiltävätkin) ja ajanviete liittyy ainakin meillä jouluun.
Hyvää Joulua vaan kaikille - kuusi alkaa olla koristeltu!
Kun ei ainakaan vielä ole tullut yrityksiä, annan viiden pisteen vihjeen: sama toimii vaikkapa luvulle 2+sqrt(2). Siis [2+sqrt(2)]^n on aina pariton luku + desimaaliosa, kun n on positiivinen kokonaisluku.
joskus lukiossa päätin etten osoita yhtään mitään ja hyvin oon TKK:nkin kurssit läpi mennyt....
Minä ihan huvin vuoksijattelin osoittaa, että väitteesi ei pidä useimmiten paikkansa. Ja heti noin puolet väitteestäsi kumoutuu sillä, että n:stä puolet on parillisia lukuja. Kokonaislukujen tulo on parillinen, jos edes toien tulon tekijä on parillinen.
Avaaja selittää, että sqrt on neliöjuuri. Juuri sitähänminä en näe tuohon kirjoitettuna. Vaan siinä on lukujen s, q, r ja t tulo. Jos väität kyseessäolevan neliöjuuren, kirjoita myös se. Hyvin todenäköisesti, vaikka kirjoittaisitkin neliöjuuren, tuloista sqrt puolet olisi kokonaislukuosaltaan parillisia.
Todennäköisyysarviona saan tulollesi 3/4 parillsia lukuja.
Annas tulla se neljän pisteen vihje.
Ajattelin, että induktiollahan tuo helposti ratkeaa. Mutta törmäsin siihen, että pitäisi todistaa, että floor(Bn* sqrt(5)) on aina pariton, kun (3+sqrt(5))^n kirjoitetaan muotoon (An+Bn*sqrt(5)). An:hän on aina parillinen. Tuosta saisi oman induktionsa, mutta sitten loppu eväät. Olenko ihan hukassa?
Oolrait, annan seuraavan vihjeen. Tosin se on ehkä korkeintaan kolmen pisteen vihje... Käytän hankalalukuista fonttia, ettei kukaan tule vahingossa lukeneeksi: [size=59:3nfnt9x8]Alku näyttää ihan hyvältä. Tarkastele sitten, kuinka paljon luvut jäävät seuraavaa isompaa kokonaislukua pienemmiksi.[/size:3nfnt9x8]
Ja kas mitä mielenkiintoista sitä etsivä löytääkin.
Mestari fyysikkomme jyrää myös matemaatikot
mennen tullen. Näinkö helposti "laitos"-matemaatikot
luovuttavat?
Dosentitkin isketään köysiin.
Huh, huh tätä menoa ja meininkiä!
annoit pähkinän jouluksi...
viel on aikaa ensjouluun
epäsuoralla todistuksella voisit esittää meillekin lauseen kumoamisen.
Jos [(3+sqrt{5})^n]=x_n-1, on x_n=(3+sqrt{5})^n+(3- sqrt{5})^n=2 sum_{k=0}^{[n/2]} (2k yli n) 3^{n-2k} 5^k, eli parillinen luku, jolloin x_n-1 on pariton.
[x] tarkoittaa matematiikassa suurinta kokonaislukua, joka on pienempi tai yhtäsuuri kuin x. Siten tehtävänannossa tulisi kysyä lukua [(3+sqrt{5})^n] eikä [3+sqrt{5}]^n=5^n. Ihan eri asia.