Ongelma: neliöjuuri

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Miksi x^2 = 36 <=> x = +/- 6, mutta neliöjuuri(36) = + 6? Tämähän on sinänsä itsestäänselvä muistisääntö, mutta mikä ihme siinä on, että parillinen juuri voi olla negatiivinen ainoastaan yhtälössä?

Tällaiset pienet ajatusvaivat saattavat helposti pilata päivän, joten voisiko joku todistella tuon neliöjuuren itseisarvoisuuden, kiitos.

Kommentit (12)

Vierailija
Ökkömönkiäinen
Miksi x^2 = 36 <=> x = +/- 6, mutta neliöjuuri(36) = + 6? Tämähän on sinänsä itsestäänselvä muistisääntö, mutta mikä ihme siinä on, että parillinen juuri voi olla negatiivinen ainoastaan yhtälössä?

Tällaiset pienet ajatusvaivat saattavat helposti pilata päivän, joten voisiko joku todistella tuon neliöjuuren itseisarvoisuuden, kiitos.


Kyseessä on vain määritelmä. Reaalianalyysissa halutaan työskennellä funktioilla, ja kuten varmasti tiedät, funktion täytyy liittää jokaiseen lukuun yksi yksikäsitteinen luku. Kompleksianalyysissa tuota määritelmää, että valitaan plusmerkki, kutsuttaisiin päähaaran valinnaksi.

Ongelmahan syntyy yksinkertaisesti siitä, ettei neliöönkorottaminen ole injektiivinen operaatio, vaan esimerkiksi -2 ja +2 kuvautuvat samalle alkiolle +4. Siispä käänteisfunktio voidaan määritellä ainoastaan siinä tapauksessa, että lähtöjoukko rajoitetaan esimerkiksi positiiviselle reaaliakselille.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007
Ökkömönkiäinen
Miksi x^2 = 36 <=> x = +/- 6, mutta neliöjuuri(36) = + 6? Tämähän on sinänsä itsestäänselvä muistisääntö, mutta mikä ihme siinä on, että parillinen juuri voi olla negatiivinen ainoastaan yhtälössä?

Tällaiset pienet ajatusvaivat saattavat helposti pilata päivän, joten voisiko joku todistella tuon neliöjuuren itseisarvoisuuden, kiitos.





Nyt sulla menee yhtälö ja tavallinen luku sekaisin; yhtälöllä on erilaisia ratkaisuja, mutta luku on vain luku

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Vierailija

Kuten sanottu, neliöjuuren määritelmän mukaan neliöjuuren arvo on aina se positiivinen versio. Se, mikä tuossa toisen asteen yhtälössä voi hämätä, on, että kaikkia "välivaiheita" ei yleensä merkitä näkyviin. Todellisuudessa kun yhtälöstä x^2=36 otetaan puolittain neliöjuuri, tulee oikeaksi puoleksi 36:n neliöjuuri eli positiivinen 6, ja vasemmaksi puoleksi tulee x^2:n neliöjuuri eli positiivinen x:n ITSEISARVO. Tämän yksinkertaisen itseisarvoyhtälön |x|=6 ratkaisuina saadaan x=+/-6.

Siis yhtälötkin oikeasti noudattavat neliöjuuren positiivisuuden sääntöä.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007
korant
Onko esim. ympyrän yhtälö huonoa matematiikkaa?



No näytä ympyrän yhtälö muodossa f(x) = y

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Vierailija
Cargo
No näytä ympyrän yhtälö muodossa f(x) = y

Eikös tämä ole aivan perusmatikkaa!

x² + y² = r²

y = ±√(r² - x²)

Vierailija
korant
Eikös tämä ole aivan perusmatikkaa!

x² + y² = r²

y = ±√(r² - x²)




Onhan tuo. Aivan yhtä perusmatikkaa on myös se, että funktio f: A -> B kuvaa pisteen a \in A yksikäsitteiseksi maalijoukon pisteeksi f(a). Siis jos f(a) = b ja f(a) = c, niin väistämättä b=c.

Toisin sanoen siis ympyrää ei voida esittää minkään yhden muuttujan funktion graafina.

MLT
Seuraa 
Viestejä571
Liittynyt18.9.2009
Toisin sanoen siis ympyrää ei voida esittää minkään yhden muuttujan funktion graafina.



Siis karteesisesa koordinaatistossa, jos muisti yhtään toimii niin se on hyvin yksinkertaista polaarikoordinaatistossa.

MLT

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
MLT
Toisin sanoen siis ympyrää ei voida esittää minkään yhden muuttujan funktion graafina.



Siis karteesisesa koordinaatistossa, jos muisti yhtään toimii niin se on hyvin yksinkertaista polaarikoordinaatistossa.

MLT


Eikö se ollut niin päin, että kun piirtää polaarikoordinaatistoon r-akselia vasten kohtisuoran suoran, niin se kuvautuu karteesiseen koordinaatiostoon ympyräkaarena?

Uusimmat

Suosituimmat