Joukko-opin kummallisuuksia

Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Yritin selvittää itselleni, mitä merkintä sup(...) tarkoittaa. Törmäsin käsitteeseen suprenum ja vaikka tavasin sen määritelmän kymmeneen kertaan, niin en saanut siihen mitään tolkkua. Syykin selvisi lopulta.

http://www.helsinki.fi/jarj/ktto/tukiku ... mtuki4.pdf

Tarkastellaan aluksi avointa väliä (-1,1). Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet eli luvut 1 ja 1 eivät kuulu tähän väliin.



Yllä olevassa esimerkissä supremum voidaan etsiä seuraavasti:
1. Joukko (1,1) on ylhäältä rajoitettu: on olemassa lukuja, jotka ovat suurempia kuin mikään tämän välin luku.
2. Jos luku on suurempi tai yhtä suuri kuin kaikki tämän välin luvut, sanotaan että kyseessä on tämän välin yläraja. Esimerkiksi luku 2 on välin (1,1) yläraja, koska se on suurempi kuin mikään tämän välin luku. jne..



Siis mitä h..vettiä, luku 2 on muka avoimen joukon [-1,1] yläraja. Miten ihmeessä kun kyseisen joukon yläraja on selvästi tasan plus yksi eikä mitään muuta, koska joukko on nimenomaan määritelmällisesti rajattu miinus ja plus ykkösen väliin, eikä se näin ollen voi edes periaatteessa sisältää suurempia (tai avoimena yhtäsuurta) lukua kuin yksi.

Olen ns. äimän käkenä.

Edit: Kun se on yksi on ns. ainoa oikea yläraja, on se samalla myös pienin yläraja eli juuri tuo Sup(). Suurin yläraja on sitten nähtävästi ääretön.

Tähän ei löydy edes sopivaa hymiötä, jolla tuollaisia typerryttäviä käsitteitä voisi kuvailla.

Sivut

Kommentit (89)

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Suprenum on siis yksinkertaisesti ko. joukon suurin arvo ja jos se on samalla joukon suurin mahdollinen arvo niin se on myös maksimi.

Mitenkähän näin yksinkertainen asia on saatu puettua niin käsitämättömään muotoon, että sen ymmärtämiseen piti käyttää toista tuntia aikaa ja tovi internettiä.

Hospitaali
Seuraa 
Viestejä76
Liittynyt1.10.2006

Ei kannata heti vaipua suohon. Aivan nopeasti selaamalla antamasi linkki ei valaise supremumin merkitystä. Reaalilukujen täydellisyysaksiooma, Arkhimedeen lause ja miksi kahden reaaliluvun välissä on aina rationaaliluku valaisevat asiaa. Viimeinen kohta on mukava lisä ilmiselvälle tosiasialle, että kahden rationaaliluvun välissä on aina rationaaliluku.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Hospitaali
Viimeinen kohta on mukava lisä ilmiselvälle tosiasialle, että kahden rationaaliluvun välissä on aina rationaaliluku.

Ei asia siitä muuksi muutu. Olkoon joukko on avoin tai suljettu, niin riippumatta alkioiden mahdollisesta määrästä, ylärajan määrää yksiselitteisesti joukon normaalit rajausehdot. Em. reaalilukujen tapauksessa siis [-1,1], jolloin alkioiden suuruuden yläraja on yksi siitä riippumatta onko ko. joukko avoin vai suljettu tai ovatko sen alkiot reaali- vai kokonaislukuja tmv.

Liittyykö tuo määritelmän "hämäryys" kenties kompleksilukuihin, joita ei voida asettaa ns. suuruusjärjestykseen muutoin kuin itseisarvoltaan. Ihan heti ei kyllä tule mieleen, miten se tuossa tapauksessa toimisi.

Vierailija
David
Suprenum on siis yksinkertaisesti ko. joukon suurin arvo ja jos sen joukon suurin mahdollinen arvo niin se on myös maksimi.



Maksimi vs. supremum... klassikko.

Terminologiaa kevyesti:

- Joukon suurin alkio on nimeltään sen maksimi.

Jos maksimia ei ole, katsotaan miltä tilanne näyttää ulkopuolelta:

- Joukon pienin yläraja on nimeltään sen supremum.

Huomaa hiuksen hieno ero: maksimi kuuluu aina joukkoon, kun taas supremum voi olla joukon ulkopuolella.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
mal
Huomaa hiuksen hieno ero: maksimi kuuluu aina joukkoon, kun taas supremum voi olla joukon ulkopuolella.

Täh, ei maksimi voi kuulua ainakaan reaalilukujen tapauksessa joukkoon, koska rajan ja minkä tahansa valitsemasi luvun väliin voidaan aina tunkea joku luku niiden väliin. Maksimi voi olla vain suljetussa joukossa, joka on siis sama kuin se suljetun joukon takaraja.

supremum voi olla joukon ulkopuolella.

Hmm.. Mielenkiintoinen tapaus, joukon edustaja joka on joukon ulkopuolella? Ikäänkuin matkoilla, no täytyy koettaa hahmottaa.

Niin siis toki se voi olla joukon alkioiden ulkopuolella, mutta ei joukon rajojen ulkopuolella.

Vierailija
David
mal
Huomaa hiuksen hieno ero: maksimi kuuluu aina joukkoon, kun taas supremum voi olla joukon ulkopuolella.

Täh, ei maksimi voi kuulua ainakaan reaalilukujen tapauksessa joukkoon, koska rajan ja minkä tahansa valitsemasi luvun väliin voidaan aina tunkea joku luku niiden väliin. Maksimi voi olla vain suljetussa joukossa, joka on siis sama kuin se suljetun joukon takaraja.



Juurikin näin. Et voi kirjoittaa max(0,1)=1, koska 1 ei kuulu joukkoon (0,1). Sen sijaan sun pitää kijoittaa sup(0,1) = 1.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
mal
Juurikin näin. Et voi kirjoittaa max(0,1)=1, koska 1 ei kuulu joukkoon (0,1). Sen sijaan sun pitää kijoittaa sup(0,1) = 1.

Tuon jo ymmärsinkin, mutta kritiikkini kohdistuikin siihen määritelmään, josta tuo ei todellakaan käynyt ilmi. Se taas johtui siitä, että niitä ylärajoja voisi sen määritelmän mukaan olla joukon rajoitusten ulkopuolellakin.

Vierailija

David, sinun ongelmasi on, että yrität käyttää arkielämän mielikuvia matematiikassa. Matematiikassa yläraja tarkoittaa juuri sitä, miten se määritellään ja matemaatikoilla on oma syynsä määritellä asia juuri niin. Siis 2 on todella avoimen joukon (0,1) yläraja. Myös 5 on saman joukon yläraja. Sinä et ehkä tykkää tästä nimestä, mutta kun matemaatikot ovat määritelleet ylärajakäsitteen näin, niin sille et voi mitään. Tämä määritelmä ei tuo mukanaan mitään ristiriitaa, ja silloin se on matemaattisesti pätevä. Kannattaa ehkä ottaa huomioon se mahdollisuus, että ne matemaatikot, jotka näin ovat tehneet, ovat fiksumpia kuin sinä. Supremum on pienin yläraja ja se on tarkka määritelmä. Arkikielen sana 'yläraja' on epätarkka käsite, joka on lähellä supremumia. Ihan samalla tavalla määritellään infimum, joka on suurin alaraja.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Yleensähän meillä kuitenkin on määritelty joukon rajat (tai kompleksialueessa raja). Rajat joko sisältyvät joukkoon tai avoimen joukon tapauksessa sen komplementtiin.

Ainakin tuota taustaa vastaan raja määrää suuruusjärjetyksen kyseessä ollessa myös yksiselitteisesti sen ylärajan, riippumatta siitä kuluuko raja joukkoon vai sen joukon komplementtiin.

Liittykö tuo määritelmän sekavuus sitten jotenkin rajaamattoman joukon tarkasteluun, rajattujen joukkojen kohdalla se ainakin tuntuu omituiselta.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Kommentoija
Kannattaa ehkä ottaa huomioon se mahdollisuus, että ne matemaatikot, jotka näin ovat tehneet, ovat fiksumpia kuin sinä.

Siitä syystä yritänkin tässä päästä kärryille heidän aivoituksistaan - muuten en olisi ottanut asiaa esille.

Vierailija
David

Tuon jo ymmärsinkin, mutta kritiikkini kohdistuikin siihen määritelmään, josta tuo ei todellakaan käynyt ilmi. Se taas johtui siitä, että niitä ylärajoja voisi sen määritelmän mukaan olla joukon rajoitusten ulkopuolellakin.



Joo, niin voi, se on koko kupletin juoni.

Tässä pelataan itseasiassa aina kahdella joukolla A ja B siten, että B on järjestetty ja A on sen osajoukko. Sun esimerkin tapauksessa B olisi reaaliluvut ja A olisi avoin väli (0,1).

A:n ylärajaksi kelpaa siis mikä tahansa B:n alkio, joka on suurempi tai yhtäsuuri kuin kaikki A:n alkiot. Esim. kakkonen on sun esimerkkitapauksen osalta ok. A:n supremum saadaan, kun sen kaikki ylärajat käydään läpi ja valitaan niistä sitten se pienin.

Vierailija

David, ei se supremumin määritelmä ole sekava vaan kristallinkirkas. Yritin aikaisemmin selittää, että se näyttää sinusta sekavalta ja omituiselta vain, koska käytät arkiajattelua etkä tieteellistä ajattelua.

Vierailija

Joukon supremum on raja, jonka alapuolelle ylärajaa ei voi enää pudottaa. Kaikki supremumia suuremmat ovat myös joukon ylärajoja, koska joukon alkiot ovat aina niitä pienempiä. Ei välttämättä ihan intuitiivista, mutta matematiikassa pelataan noilla määritelmillä.

Muistan että juuri tämä supremum-asia oli ihan hiton hämärä, kun se tuli ensimmäistä kertaa vastaan matikankurssilla. Ei kannata huolestua. Kyllä siihen määritelmään tottuu ja kurssin jälkeen et tarvitse sitä missään, paitsi ehkä jos syvennyt matematiikkaan.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Kommentoija
David, ei se supremumin määritelmä ole sekava vaan kristallinkirkas. Yritin aikaisemmin selittää, että se näyttää sinusta sekavalta ja omituiselta vain, koska käytät arkiajattelua etkä tieteellistä ajattelua.



No kommentoi nyt tuota sitten, jos se kerran on niin kristallinkirkas. Enkä minä väitä etteikö se olisi yksiselitteinen, se oli vain vaikeaselkoinen. Toisaalta, olkoon arki tai pyhä, järki ei siitä muuksi muutu. Eli ei ole olemassa erikseen mitään tiedejärkeä.

Yleensähän meillä kuitenkin on määritelty joukon rajat (tai kompleksialueessa raja). Rajat joko sisältyvät joukkoon tai avoimen joukon tapauksessa sen komplementtiin.

Ainakin tuota taustaa vastaan raja määrää suuruusjärjetyksen kyseessä ollessa myös yksiselitteisesti sen ylärajan, riippumatta siitä kuluuko raja joukkoon vai sen joukon komplementtiin.

Liittykö tuo määritelmän sekavuus sitten jotenkin rajaamattoman joukon tarkasteluun, rajattujen joukkojen kohdalla se ainakin tuntuu omituiselta.

Vierailija
David
Kommentoija
David, ei se supremumin määritelmä ole sekava vaan kristallinkirkas. Yritin aikaisemmin selittää, että se näyttää sinusta sekavalta ja omituiselta vain, koska käytät arkiajattelua etkä tieteellistä ajattelua.



No kommentoi nyt tuota sitten, jos se kerran on niin kristallinkirkas. Enkä minä väitä etteikö se olisi yksiseliiteinen, se oli vain vaikeaselkoinen. Toisaalta, olkoon arki tai pyhä, järki ei siitä muuksi muutu. Eli ei ole olemassa erikseen mitään tiedejärkeä.

Yleensähän meillä kuitenkin on määritelty joukon rajat (tai kompleksialueessa raja). Rajat joko sisältyvät joukkoon tai avoimen joukon tapauksessa sen komplementtiin.

Ainakin tuota taustaa vastaan raja määrää suuruusjärjetyksen kyseessä ollessa myös yksiselitteisesti sen ylärajan, riippumatta siitä kuluuko raja joukkoon vai sen joukon komplementtiin.

Liittykö tuo määritelmän sekavuus sitten jotenkin rajaamattoman joukon tarkasteluun, rajattujen joukkojen kohdalla se ainakin tuntuu omituiselta.




Tuon määritelmän ideahan on nimenomaan se, että maksimia ei aina ole olemassa. Tarkastellaan funktiota f(x)=-1/x välillä (0, inf), jolloin se saa arvoja (-inf, 0). Tässä alueessa kyseisellä funktiolla ei ole maksimia, mikä on helposti todistettavissa, sillä x:n kasvaessa rajatta funktion arvot lähestyvät nollaa rajatta. Eli aina löytyy suurempi arvo. Sen sijaan supremum havaitaan helposti nollaksi.

Eli jos pienin mahdollinen yläraja kuuluu joukkoon, on se myös maksimi. Jos se ei kuulu joukkoon, on kyseessä ainoastaan supremum.

Infimum toimii täysin vastaavasti, suurin mahdollinen alaraja siis. Ainoa tapaus joissa näitä ei ole olemassa on joukon ollessa rajoittamaton, mm. edellä mainittu funktio pienenee rajatta x:n lähestyessä nollaa.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat