Odotusarvo

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Matematiikan yohon kertaillessa tuli seuraava tehtävä vastaan. Aika perus todennäköisyyslaskuhan tuo varmaankin on, mutta odotusarvoa ei (muistaakseni) käsitelty juurikaan kyseisellä kurssilla.

A, B, C ja D aikovat jakaa keskenään korillisen omenoita siten, että kukin vuorollaan ottaa aina yhden omenan. Korissa olevien omenoiden lukumäärää ei tiedetä. A ehdottaa vedonlyöntiä: jos jokaiselle tulee yhtä monta omenaa, A maksaa kolmelle muulle kullekin 50 euroa. Muussa tapauksessa kukin kolmesta maksaa A:lle 25 euroa. Laske A:n saaman rahamäärän odotusarvo.

Tattista avusta jo valmiiksi.

Sivut

Kommentit (50)

Epic
Seuraa 
Viestejä2174
Liittynyt16.5.2009
Skipe
Matematiikan yohon kertaillessa tuli seuraava tehtävä vastaan. Aika perus todennäköisyyslaskuhan tuo varmaankin on, mutta odotusarvoa ei (muistaakseni) käsitelty juurikaan kyseisellä kurssilla.

A, B, C ja D aikovat jakaa keskenään korillisen omenoita siten, että kukin vuorollaan ottaa aina yhden omenan. Korissa olevien omenoiden lukumäärää ei tiedetä. A ehdottaa vedonlyöntiä: jos jokaiselle tulee yhtä monta omenaa, A maksaa kolmelle muulle kullekin 50 euroa. Muussa tapauksessa kukin kolmesta maksaa A:lle 25 euroa. Laske A:n saaman rahamäärän odotusarvo.

Tattista avusta jo valmiiksi.




Eli todennäköisyys on 50%

A:lla on panoksena 150€

B,C ja D:llä on panoksena 75€

Toisin sanoen A lyö vetoa kertoimella 1,5

B,C, ja D kertoimella 3,0

A:n vedon oa: (50/100)*1,5=0,75

Eli todella huono veto A:n kannalta mutta erittäin hyvä muiden.

Edit. Möhlin todennäköisyys että ei tule kaikille samaa on 75% joten

A:n vedon oa: (75/100)*1,5=1,13

Eli hyvä veto A:n kannalta.

Nyt kävi näin.

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
Skipe
Matematiikan yohon kertaillessa tuli seuraava tehtävä vastaan. Aika perus todennäköisyyslaskuhan tuo varmaankin on, mutta odotusarvoa ei (muistaakseni) käsitelty juurikaan kyseisellä kurssilla.

A, B, C ja D aikovat jakaa keskenään korillisen omenoita siten, että kukin vuorollaan ottaa aina yhden omenan. Korissa olevien omenoiden lukumäärää ei tiedetä. A ehdottaa vedonlyöntiä: jos jokaiselle tulee yhtä monta omenaa, A maksaa kolmelle muulle kullekin 50 euroa. Muussa tapauksessa kukin kolmesta maksaa A:lle 25 euroa. Laske A:n saaman rahamäärän odotusarvo.

Tattista avusta jo valmiiksi.


Laske neljä kierrosta, joista yksi on tasan.
Voiton (rahamäärän) odotusarvon saat laskemalla paljonko rahaa tulee keskimäärin kierrosta kohti.
(3*3*25-1*3*50)/4
Odotusarvo on tässä tapauksessa euroja, ei mikään suhdeluku.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Tehtävä on huono. "Korissa olevien omenoiden lukumäärää ei tiedetä" on epämääräinen lause. Lukumäärällä on satunnaismuuttujana jokin jakauma (joka ilmeisesti pitää olettaa tasaiseksi), ja sillä on myös arkijärjellä ajatellen oltava jokin yläraja; korin tilavuus on luultavasti äärellinen. Alarajan voisi kai muuten olettaa olevan yksi, mutta monikkomuoto voi johtaa ajattelemaan, että omenoita on oltava vähintään kaksi. Satunnaismuuttujan ylä- ja alaraja vaikuttavat tehtävän ratkaisuun.

Esimerkiksi: jos omenoita on tasaisella jakaumalla 2-6, niin jokaisen vaihtoehdon todennäköisyys on 20%. A:lle edullisia tapauksia ovat 2, 3, 5 ja 6 -- siis 4/5. Jos taas omenoita on tasaisella jakaumalla 2-5, niin jokaisen vaihtoehdon todennäköisyys on 25%. A:lle edullisia tapauksia ovat tällöin 2, 3 ja 5 -- siis 3/4.

Oikea vastaus on siis se, että tehtävä on huonosti muotoiltu.

We're all mad here.

Epic
Seuraa 
Viestejä2174
Liittynyt16.5.2009
Jorma
Skipe
Matematiikan yohon kertaillessa tuli seuraava tehtävä vastaan. Aika perus todennäköisyyslaskuhan tuo varmaankin on, mutta odotusarvoa ei (muistaakseni) käsitelty juurikaan kyseisellä kurssilla.

A, B, C ja D aikovat jakaa keskenään korillisen omenoita siten, että kukin vuorollaan ottaa aina yhden omenan. Korissa olevien omenoiden lukumäärää ei tiedetä. A ehdottaa vedonlyöntiä: jos jokaiselle tulee yhtä monta omenaa, A maksaa kolmelle muulle kullekin 50 euroa. Muussa tapauksessa kukin kolmesta maksaa A:lle 25 euroa. Laske A:n saaman rahamäärän odotusarvo.

Tattista avusta jo valmiiksi.


Laske neljä kierrosta, joista yksi on tasan.
Voiton (rahamäärän) odotusarvon saat laskemalla paljonko rahaa tulee keskimäärin kierrosta kohti.
(3*3*25-1*3*50)/4
Odotusarvo on tässä tapauksessa euroja, ei mikään suhdeluku.



Niin A saa jokaista sijoittamaansa euroa kohden keskimäärin 1,13 euroa takaisin jos tapahtuma toistettaisiin x kertaa.

Nyt kävi näin.

Vierailija

Joka neljäs luku on neljällä jaollinen eli tappion odotusarvo on 0,25*150 = 37,5 euroa. Muissa tapauksissa A voittaa eli voiton odotusarvo on 0,75*75 = 56,25 euroa.

56,25-37,50 = 18,75 euroa.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Tehtävä ei kuitenkaan anna mitään perustetta olettaa, että X mod 4 jakautuu tasaisesti arvoille 0-3. Siksi sitä ei voi tuollaisenaan ratkaista.

Tuon kaltaiset epämääräisyydet matematiikan oppikirjoissa (sellaisesta tämäkin kai on peräisin) ovat omiaan sotkemaan opiskelijan ajatuksia. Ei ole ihme, että matematiikka on monille täyttä hepreaa.

Jos oltaisiin kiinnostuttu omenoiden lukumäärän eniten merkitsevästä numerosta, niin jakaumaa tuntematta voitaisiin (ehkä perustellustikin) soveltaa Benfordin lakia. Viimeisen numeron (base 4) jakauma on sen sijaan täysin pimennossa kun satunnaismuuttujan jakaumaa ei tarkasti tunneta.

We're all mad here.

Epic
Seuraa 
Viestejä2174
Liittynyt16.5.2009
Lepakko
Joka neljäs luku on neljällä jaollinen eli tappion odotusarvo on 0,25*150 = 37,5 euroa. Muissa tapauksissa A voittaa eli voiton odotusarvo on 0,75*75 = 56,25 euroa.

56,25-37,50 = 18,75 euroa.




Skipe

Tämä on se mitä käsittääkseni tehtävä haki. Minä laskin vedonlyöjänä vedon oa:n.

Menestystä kirjoituksiin!

Nyt kävi näin.

Vierailija
abskissa
Tehtävä on huono. "Korissa olevien omenoiden lukumäärää ei tiedetä" on epämääräinen lause. Lukumäärällä on satunnaismuuttujana jokin jakauma (joka ilmeisesti pitää olettaa tasaiseksi), ja sillä on myös arkijärjellä ajatellen oltava jokin yläraja; korin tilavuus on luultavasti äärellinen.



Tällainen kritiikki on ymmärrettävää, sillä olemme tottuneet matematiikan tehtävissä eksaktiin ilmaisuun. En silti ole sitä mieltä, että tehtävä olisi huono. Yleensä pyydän vastaavassa tilanteessa oppilasta ajattelemaan, että kirjan tai kokeen sijasta epämääräisen tehtävän esittikin hänen opiskelijatoverinsa, jolla ei todella ole mitään lisätietoja asiasta. Tällöin on helpompi ymmärtää, että arkielämässä voi usein joutua pohtimaan vajain lähtötiedoin annettuja tehtäviä.

Tehtävän ratkaisemisessa joutuu sitten olettamaan tilanteesta jotain, mitä ei tehtävässä itsessään ole sanottu. Tässä tapauksessa luontevinta (lukiolaiselle) on varmaankin olettaa, että kaikki saavat yhtä monta omenaa vain todennäköisyydellä 0,25. Nämä oletukset pitää sitten kirjata ylös, ja ratkaista tehtävä siltä pohjin. Jos itse on tyytymätön saamaansa tulokseen, voi senkin perustellusti kirjoittaa näkyviin. Näin tehdään arkielämässäkin.

Alarajan voisi kai muuten olettaa olevan yksi, mutta monikkomuoto voi johtaa ajattelemaan, että omenoita on oltava vähintään kaksi.



Varoittaisin ylioppilaskirjoituksiin harjoittelevia ajattelemasta näin. Monikkomuodosta ei saisi päätellä, että omenoita ei voi olla vain yksi. Monikkomuoto on valittu siksi, että tehtävänannon halutaan olevan mahdollisimman yksinkertainen. Sanamuoto mutkistuu aivan turhaan, jos tehtävään on pakko erikseen kirjata, että omenoita voi olla myös yksi.

Tämä omenatehtävä oli syksyn 2009 pitkän matematiikan ylioppilaskokeen tehtävä 7. Muistakaahan kirjoituksiin treenaavat, että edellisten vuosien ylioppilaskokeet ratkaisutiivistelmineen löytyvät osoitteesta http://matta.hut.fi/yoteht/.

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
Samuli
abskissa
Tehtävä on huono. "Korissa olevien omenoiden lukumäärää ei tiedetä" on epämääräinen lause. Lukumäärällä on satunnaismuuttujana jokin jakauma (joka ilmeisesti pitää olettaa tasaiseksi), ja sillä on myös arkijärjellä ajatellen oltava jokin yläraja; korin tilavuus on luultavasti äärellinen.



Tällainen kritiikki on ymmärrettävää, sillä olemme tottuneet matematiikan tehtävissä eksaktiin ilmaisuun. En silti ole sitä mieltä, että tehtävä olisi huono. Yleensä pyydän vastaavassa tilanteessa oppilasta ajattelemaan, että kirjan tai kokeen sijasta epämääräisen tehtävän esittikin hänen opiskelijatoverinsa, jolla ei todella ole mitään lisätietoja asiasta. Tällöin on helpompi ymmärtää, että arkielämässä voi usein joutua pohtimaan vajain lähtötiedoin annettuja tehtäviä.

Tehtävän ratkaisemisessa joutuu sitten olettamaan tilanteesta jotain, mitä ei tehtävässä itsessään ole sanottu. Tässä tapauksessa luontevinta (lukiolaiselle) on varmaankin olettaa, että kaikki saavat yhtä monta omenaa vain todennäköisyydellä 0,25. Nämä oletukset pitää sitten kirjata ylös, ja ratkaista tehtävä siltä pohjin. Jos itse on tyytymätön saamaansa tulokseen, voi senkin perustellusti kirjoittaa näkyviin. Näin tehdään arkielämässäkin.

Alarajan voisi kai muuten olettaa olevan yksi, mutta monikkomuoto voi johtaa ajattelemaan, että omenoita on oltava vähintään kaksi.



Varoittaisin ylioppilaskirjoituksiin harjoittelevia ajattelemasta näin. Monikkomuodosta ei saisi päätellä, että omenoita ei voi olla vain yksi. Monikkomuoto on valittu siksi, että tehtävänannon halutaan olevan mahdollisimman yksinkertainen. Sanamuoto mutkistuu aivan turhaan, jos tehtävään on pakko erikseen kirjata, että omenoita voi olla myös yksi.

Tämä omenatehtävä oli syksyn 2009 pitkän matematiikan ylioppilaskokeen tehtävä 7. Muistakaahan kirjoituksiin treenaavat, että edellisten vuosien ylioppilaskokeet ratkaisutiivistelmineen löytyvät osoitteesta http://matta.hut.fi/yoteht/.




Voi hyvä sylvi! Toisen mielestä korillinen omenoita on ainakin kaksi omenaa, toisen ainakin yksi.
Kyllä teidän pitää huolellisesti miettiä myös tapausta, jossa koriin ei mahdu yhtään omenaa.

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
abskissa
Tehtävä ei kuitenkaan anna mitään perustetta olettaa, että X mod 4 jakautuu tasaisesti arvoille 0-3. Siksi sitä ei voi tuollaisenaan ratkaista.

Tuon kaltaiset epämääräisyydet matematiikan oppikirjoissa (sellaisesta tämäkin kai on peräisin) ovat omiaan sotkemaan opiskelijan ajatuksia. Ei ole ihme, että matematiikka on monille täyttä hepreaa.

Jos oltaisiin kiinnostuttu omenoiden lukumäärän eniten merkitsevästä numerosta, niin jakaumaa tuntematta voitaisiin (ehkä perustellustikin) soveltaa Benfordin lakia. Viimeisen numeron (base 4) jakauma on sen sijaan täysin pimennossa kun satunnaismuuttujan jakaumaa ei tarkasti tunneta.




On tuhannen hiukan eri kokoista koria. Ne täytetään omenoilla (omenoita laskematta), joiden koko vaihtelee. Lisäksi täyttäjien käsityksissä täydestä korista on eroja.
Mitä syytä sinulla on epäillä, etteikö noin nelhäsosa koreista sisällä neljällä jaollisen määrän omenoita? Jos sitten yksi kori näistä otetaan erilleen, mitä syytä on epäillä neljällä jaollisen määrän poikkeamista 25 %:sta?

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
visti
On tuhannen hiukan eri kokoista koria. Ne täytetään omenoilla (omenoita laskematta), joiden koko vaihtelee. Lisäksi täyttäjien käsityksissä täydestä korista on eroja.
Mitä syytä sinulla on epäillä, etteikö noin nelhäsosa koreista sisällä neljällä jaollisen määrän omenoita? Jos sitten yksi kori näistä otetaan erilleen, mitä syytä on epäillä neljällä jaollisen määrän poikkeamista 25 %:sta?

Ongelma on tuossa "noin" sanassa. Kyse on matematiikan tehtävästä. Jos omenoita on 1-2, niin määrä ei ole koskaan neljällä jaollinen. Satunnaismuuttujaa ei määritellä tehtävässä kunnolla.

We're all mad here.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
Samuli

Alarajan voisi kai muuten olettaa olevan yksi, mutta monikkomuoto voi johtaa ajattelemaan, että omenoita on oltava vähintään kaksi.



Varoittaisin ylioppilaskirjoituksiin harjoittelevia ajattelemasta näin. Monikkomuodosta ei saisi päätellä, että omenoita ei voi olla vain yksi. Monikkomuoto on valittu siksi, että tehtävänannon halutaan olevan mahdollisimman yksinkertainen. Sanamuoto mutkistuu aivan turhaan, jos tehtävään on pakko erikseen kirjata, että omenoita voi olla myös yksi.

Mutkistuuhan se sanamuoto, jos tehtävä pitää kirjata täsmällisesti. Onko se liikaa vaadittu matematiikan tehtävältä?

Ongelma tuossa tehtävässä on se, että satunnaismuuttuja ilmaistaan niin epätarkasti, että oikeaa ratkaisua ei voi antaa. Kun satunnaismuuttujan ylä- ja alarajaa ei anneta, ne pitäisi jostain itse määrätä. Tällöin noihin sanamuotoihin voi kiinnittää huomiota. Epätoivoistahan se on, mutta jos tehtävä on muotoilultaan jätetty puolitiehen, niin on kai pakko säveltää loput itse.

Minä suosittelisin yo-kirjoittaville jättämään väliin huonosti tehdyt tehtävät.

We're all mad here.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
Samuli
Tämä omenatehtävä oli syksyn 2009 pitkän matematiikan ylioppilaskokeen tehtävä 7.

Voi ziisös! Kuka noita tehtäviä oikein tekee?

We're all mad here.

Vierailija
abskissa

Mutkistuuhan se sanamuoto, jos tehtävä pitää kirjata täsmällisesti. Onko se liikaa vaadittu matematiikan tehtävältä?



Eivät arkielämässä vastaan tulevien ongelmien lähtötiedot useinkaan ole täydellisiä. Asioita joutuu arvioimaan. En koe ongelmaksi, että ylioppilaskokeessakin on tehtäviä, joissa kokelaan on tehtävä valistuneita oletuksia ilman tarkkoja lähtötietoja. Ylioppilaskokeethan ovat paitsi tieteenalansa asiasisältöä mittaavia myös kokelaan ajattelun kypsyyttä mittaavia kokeita.

Epätoivoistahan se on, mutta jos tehtävä on muotoilultaan jätetty puolitiehen, niin on kai pakko säveltää loput itse.



Tämä "säveltäminen" -- eli johdonmukaisten oletusten tekeminen -- on juuri sitä ajattelun kypsyyttä.

Ymmärrän toki, että matematiikan parissa on totuttu eksakteihin tehtävänantoihin. Tällöin epätarkka tehtävä tietenkin närästää. Voisitko kuitenkin tarkistaa kantaasi: eikö voi olla mahdollista, että YTL on nimenomaan halunnut kokeeseen tehtävän, jonka lähtötiedoissa on tulkinnan varaa?

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat