Epälineaarisuus

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Ajattelin jotain vielä kysyä kun ehtii ennen huomista Big Bangia. Epälineaarisuutta ei pysty numeerisesti tarkasti laskemaan. Superpositioperiaate ei toteudu. Pieni muutos systeemissä, esim. differentiaaliyhtälön alkuarvossa voi aiheuttaa suuren muutoksen systeemissä tai toisinpäin.

Mistä epälineaarisuus matemaattisissa malleissa johtuu, onko se alkuarvojen epätarkkuudesta johtuva mallinnusvirhe vai jotain muuta? Voiko systeemi itsessään olla epälineaarinen vai tarvitaanko siihen toista systeemiä jonka vaikutuksesta vähintään toisesta tulee epälineaarinen?

Sivut

Kommentit (18)

Vierailija

Epälineaarisuus johtuu yleensä suureiden välisistä riippuvuuksista, mitkä harvoin ovat lineaarisia. Matemaattiset mallit luodaan lineaarisiksi tai epälineaarisiksi tarpeen mukaan. Matemaattinen malli on lähes aina aproksimaatio. Lähtöarvojen epätarkkuus ei aiheuta epälineaarisuutta vaan virhettä.

Vierailija
pontus
Ajattelin jotain vielä kysyä kun ehtii ennen huomista Big Bangia. Epälineaarisuutta ei pysty numeerisesti tarkasti laskemaan. Superpositioperiaate ei toteudu.

Pieni muutos systeemissä, esim. differentiaaliyhtälön alkuarvossa voi aiheuttaa suuren muutoksen systeemissä




Tuohon KAOOTTISUUTEEN, jota tämä tuntomerkki tarkoittaa, ei riitä pelkkä yhtälön epälineaarisuus, se toteutuu joillakin muuttujan arvoilla, ja jollakin muilla ei.

tai toisinpäin.



Toisinpäin tuollainen ei pde ollenkaan.

Mistä epälineaarisuus matemaattisissa malleissa johtuu, onko se alkuarvojen epätarkkuudesta johtuva mallinnusvirhe vai jotain muuta?



Se johtuu siitä eli on sitä, että jokin muuttujan derivatta esiintyy potenssiin korotettuna.

Voiko systeemi itsessään olla epälineaarinen vai tarvitaanko siihen toista systeemiä jonka vaikutuksesta vähintään toisesta tulee epälineaarinen?



Kyllä voi olla ihan ikiomaa ominaislaatuaan epälineaarinen!

Paul M
Seuraa 
Viestejä8560
Liittynyt16.3.2005

En muuten usko Suureen Törmäykseen.

Perustelu on hyvin yksinkertainen. Yritin saada Uutiset osaston linkin toimimaan Suuren Törmäyksen Live-esitykseen.

Voi olla kyse myös Tiede-sivuston mokasta, mutta luultavammin CERNin kompuutterit ovat sökönä.

Hiirimeluexpertti. Majoneesitehtailija. Luonnontieteet: Maailman suurin uskonto. Avatar on halkaistu tykin kuula

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26870
Liittynyt16.3.2005
pontus
Mistä epälineaarisuus matemaattisissa malleissa johtuu, onko se alkuarvojen epätarkkuudesta johtuva mallinnusvirhe vai jotain muuta? Voiko systeemi itsessään olla epälineaarinen vai tarvitaanko siihen toista systeemiä jonka vaikutuksesta vähintään toisesta tulee epälineaarinen?



Luonto on monessa asiassa epälineaarinen, mutta usein pienillä suureiden arvoilla lähellä lineaarista. Koska lineaariset mallit ovat helpompia käyttää, luontoa pyritään mallintamaan lineaarisesti aina kun se antaa riittävän tarkkoja tuloksia. Aina se ei onnistu, esimerkiksi virtausdynamiikassa, ja silloin on kiroiltava epälineaaristen mallien kanssa.

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1557
Liittynyt12.4.2005

Epälineaarisuuden syyt voisi kuitata vanhalla insinööriviisaudella, että tosimaailmassa kaikki vakiot ovatkin muuttujia. Tämä pitää paikkansa esimerkiksi useimpien materiaaliominaisuuksien osalta: kimmomoduulit, lämmönjohtavuudet, ominaislämpökapasiteetit, taitekertoimet jne. eivät ole vakioita kuten koulussa opetetaan, vaan funktioita, kun tarkastellaan laajempaa aluetta. Kun tämä riippuvuus otetaan malleissa huomioon, ollaan epälineaarisissa yhtälöissä. Myös jotkut ilmiöt, kuten esimerkiksi kitka, voivat aiheuttaa systeemiin epälineaarisuutta.

Käytännössä - ja myös malleissa - epälineaarisuus näkyy tietysti sisäänmeno- ja ulostulosuureiden epälineaarisena suhteena. Muutostiloissa ja jaksollisessa vasteessa erot ovat usein dramaattisempiakin. Jos esimerkiksi systeemin syötteenä on puhdasta siniaaltoa, niin epälineaarisesta systeemistä tulee ulos perustaajuuden lisäksi myös tämän kerrannaisia, mitä voidaan käyttää hyväksi esimerkiksi laseroptiikassa.

Vanha jäärä

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
pontus
Ajattelin jotain vielä kysyä kun ehtii ennen huomista Big Bangia. Epälineaarisuutta ei pysty numeerisesti tarkasti laskemaan. Superpositioperiaate ei toteudu. Pieni muutos systeemissä, esim. differentiaaliyhtälön alkuarvossa voi aiheuttaa suuren muutoksen systeemissä tai toisinpäin.

Mistä epälineaarisuus matemaattisissa malleissa johtuu, onko se alkuarvojen epätarkkuudesta johtuva mallinnusvirhe vai jotain muuta? Voiko systeemi itsessään olla epälineaarinen vai tarvitaanko siihen toista systeemiä jonka vaikutuksesta vähintään toisesta tulee epälineaarinen?


Luontoa voidaan monesti mallintaa menestyksellisesti lineaarisilla malleilla, jolloin ahtaasti tulkittuna suureet kasvavat samassa suhteessa ja väljemmin tulkittuna suureen A tietyn kokoinen muutos aiheuttaa B:ssä aina yhtä suuren muutoksen. Matka riippuu vakionopeudella ajettaessa ajasta lineaarisesti. Aika 2-kertaistuu, joten matkalle käy samoin.
Jos rautanaulan ja magneetin välinen vetovoima riippuisi lineaarisesti etäisyydestä, kasvaisivat molemmat samassa suhteessa. Siinä ei tietenkään ole järkeä. Itse asiassa osoittautuu, että voima on edellisessä kääntäen verrann. etäisyyden neliöön. Tällöin se putoaa neljäsosaan etäisyyden kaksinkertaistuessa.
Mielenkiintoisempaa on tietysti sellainen epälineaarisuus, joka esiintyy lineaarisen mallin yhteydessä. Yksinkertainen esimerkki: Jousen jousivakio on 45 N/m. Tällöin jokainen 0,45 N:n lisäpaino venyttää sitä 1,0 cm mallin mukaan. Kun sitten jousta kuormitetaan, huomataan kenties, että pienillä kuormituksilla saadaankin hiukan poikkeavia tuloksia. Jousi ei ole "ideaalijousi". Samoin käy yleensäkin: annetut vakiot eivät ole vakioita, kuten "Vanha Jäärä" jo edellä selosti.
R. Feynman muuten sanoi eniten ihmettelevänsä sitä asiaa, että Fysiikan kaavat ovat niin yksinkertaisia! Hän tarkoitti sitä, että paras malli on matemaattisesti yksinkertaisin kysymykseen tulevista. Jousta venyttäväälle voimalle äskeisessä esimerkissä F = vakio*venymä eli F = kx = kx^1.
Todellinen jousi ei käyttäydy ideaalisesti, mutta F = kx on parempi malli kuin esimerkiksi F = kx^1,1 (matemaattisesti monimutkaisempi).

Vierailija
visti

R. Feynman muuten sanoi eniten ihmettelevänsä sitä asiaa, että Fysiikan kaavat ovat niin yksinkertaisia!



Ateistit ihmettelee, uskovat tietää.

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
U.Boltin jänis
visti

R. Feynman muuten sanoi eniten ihmettelevänsä sitä asiaa, että Fysiikan kaavat ovat niin yksinkertaisia!



Ateistit ihmettelee, uskovat tietää.



Olisihan Jumala noinut kiusata meitä monimutkaisemmilla kaavoillakin, kun välistä heinäsirkkojakin lähetteli.

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1557
Liittynyt12.4.2005
visti

R. Feynman muuten sanoi eniten ihmettelevänsä sitä asiaa, että Fysiikan kaavat ovat niin yksinkertaisia! Hän tarkoitti sitä, että paras malli on matemaattisesti yksinkertaisin kysymykseen tulevista.

Fiksuimmat soveltavat vain laskelmissaan kuulua KISS-periaatetta. Jokainen, joka on seikkaillut erilaisten toisen kertaluvun teorioiden kanssa, tietää, että yhtälöiden matemaattinen ratkaisu tai niiden parametrien määritys, tai peräti molemmat, menevät vaikeiksi. Ja kyse on edelleen vasta toisen kertaluvun teorioista...

Vanha jäärä

Vierailija
Vanha jäärä
Epälineaarisuuden syyt voisi kuitata vanhalla insinööriviisaudella, että tosimaailmassa kaikki vakiot ovatkin muuttujia. Tämä pitää paikkansa esimerkiksi useimpien materiaaliominaisuuksien osalta: kimmomoduulit, lämmönjohtavuudet, ominaislämpökapasiteetit, taitekertoimet jne. eivät ole vakioita kuten koulussa opetetaan, vaan funktioita, kun tarkastellaan laajempaa aluetta. Kun tämä riippuvuus otetaan malleissa huomioon, ollaan epälineaarisissa yhtälöissä. Myös jotkut ilmiöt, kuten esimerkiksi kitka, voivat aiheuttaa systeemiin epälineaarisuutta.



Tuo ei ole sellaista epälineaarisuutta, joka johtaa kaoottisiin prosesseihin, vaikkapa rakenteiden kaoottisiin värähtelyihin. Noiden materiaaliominaisuuksien lainalaisuuksissa ei esiinny perusmuuttujien siirtymien monikerrannaisia.

Edelleen, vaikka esimerkiksi venymien ja jännitysten välinen yhteys onkin epälineaarinen, niin yhteys lähtee aina nollasta ja sillä on aina tässä nollakohdassa sarjakehitelmä, jolla sarjakehitelmällä on aina ensimmäinen eli juuri se LINAARINEN TERMI, ja se kuvaa sitä tarkmmin tilannetta, mitä pienempiä ovat jännitykset ja siirtymät.

Tästä seuraa, että kun esimerkiksiljuusopillisesta ilmiöstä muodostetaan LINEAARINEN TEORIA ja rakenteesta lineaarinen malli (jonka muodonmuutokset eri kuormista ovat yhteenlaskettavissa), niin sillä teorialla ja mallilla on AINA JOKIN PÄTEVYYSALUE alettaessa kuormittaa rakennetta, ja edelleen, jos käytetään monimutaksempia malleja, niihin sisältyy tämä lineaarinen tavalla toi toisella.

Puhutaan erikseen FYSIKAALISESTA ja GEOMETRISESTA EPÄLINEAARISUUDESTA.

Käytännössä - ja myös malleissa - epälineaarisuus näkyy tietysti sisäänmeno- ja ulostulosuureiden epälineaarisena suhteena.

Muutostiloissa ja jaksollisessa vasteessa erot ovat usein dramaattisempiakin.

Jos esimerkiksi systeemin syötteenä on puhdasta siniaaltoa, niin epälineaarisesta systeemistä tulee ulos perustaajuuden lisäksi myös tämän kerrannaisia, mitä voidaan käyttää hyväksi esimerkiksi laseroptiikassa.

BlackKnight
Seuraa 
Viestejä320
Liittynyt28.3.2006
pontus
Ajattelin jotain vielä kysyä kun ehtii ennen huomista Big Bangia. Epälineaarisuutta ei pysty numeerisesti tarkasti laskemaan. Superpositioperiaate ei toteudu. Pieni muutos systeemissä, esim. differentiaaliyhtälön alkuarvossa voi aiheuttaa suuren muutoksen systeemissä tai toisinpäin.

Mistä epälineaarisuus matemaattisissa malleissa johtuu, onko se alkuarvojen epätarkkuudesta johtuva mallinnusvirhe vai jotain muuta? Voiko systeemi itsessään olla epälineaarinen vai tarvitaanko siihen toista systeemiä jonka vaikutuksesta vähintään toisesta tulee epälineaarinen?




Ei systeemi lineaarisuus vielä mitään todista systeemin kaoottisuudesta tai epäkaoottisuudesta.

Täysin lineaarinenkin systeemi voi värähdellä tai käyttäytyä kaoottisesti.
Otetaan lineaarinen systeemi:

Tai matriisimuodossa:

Jotta systeemi käyttäytyisi hyvin pitää matriisilla A olla käänteismatriisi.
Yksi este tälle on jos matriisin A determinantti on nolla. Determinantin ollessa liki nolla systeemi käyttäytyy kaoottisesti (pienet alkuarvon muutokset aiheuttaa suuria muutoksia tuloksiin ym.).

Jos systeemissä on vielä takaisinkytkentä, vaatimukset sille että systeemin ylipäänsä käyttäyisi jotenkin muuten kuin kaoottisesti, ovat jo melko tiukat. Systeemi alkaa herkästi värähtelemään tai ajautuu johonkin hallitsemattomaan tilaa mikäli systeemin sisäiset kytkennät ovat tietyn alueen ulkopuolella.

Vaikka systeemi olisi täysin lineaarinen.

Tarkemminhan näitä asioita tutkitaan säätö- ja systeemiteoriassa.

Vierailija
BlackKnight
pontus
Ajattelin jotain vielä kysyä kun ehtii ennen huomista Big Bangia. Epälineaarisuutta ei pysty numeerisesti tarkasti laskemaan. Superpositioperiaate ei toteudu. Pieni muutos systeemissä, esim. differentiaaliyhtälön alkuarvossa voi aiheuttaa suuren muutoksen systeemissä tai toisinpäin.

Mistä epälineaarisuus matemaattisissa malleissa johtuu, onko se alkuarvojen epätarkkuudesta johtuva mallinnusvirhe vai jotain muuta? Voiko systeemi itsessään olla epälineaarinen vai tarvitaanko siihen toista systeemiä jonka vaikutuksesta vähintään toisesta tulee epälineaarinen?




Ei systeemi lineaarisuus vielä mitään todista systeemin kaoottisuudesta tai epäkaoottisuudesta.

Täysin lineaarinenkin systeemi voi värähdellä tai käyttäytyä kaoottisesti.

Otetaan lineaarinen systeemi:

Tai matriisimuodossa:

Jotta systeemi käyttäytyisi hyvin pitää matriisilla A olla käänteismatriisi.
Yksi este tälle on jos matriisin A determinantti on nolla.

Determinantin ollessa liki nolla systeemi käyttäytyy kaoottisesti (pienet alkuarvon muutokset aiheuttaa suuria muutoksia tuloksiin ym.).

Jos systeemissä on vielä takaisinkytkentä, vaatimukset sille että systeemin ylipäänsä käyttäyisi jotenkin muuten kuin kaoottisesti, ovat jo melko tiukat. Systeemi alkaa herkästi värähtelemään tai ajautuu johonkin hallitsemattomaan tilaa mikäli systeemin sisäiset kytkennät ovat tietyn alueen ulkopuolella.

Vaikka systeemi olisi täysin lineaarinen.

Tarkemminhan näitä asioita tutkitaan säätö- ja systeemiteoriassa.




Tuossa on kyllä eri asiasta kysymys.

Kaoottisuus ei tarkoita olemukseltaan numeerista epästabilitettia, vaan se on itse objektiivisen todellisuuden ilmiö.

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1557
Liittynyt12.4.2005

En nyt ymmärrä, miksi vain kaoottiset systeemit kiinnostavat. Epälineaarisuutta voi toki olla muuallakin, ja se saa aikaan mielenkiintoisia ilmiöitä.

Kaoottiset systeemit voivat toisaalta olla näinkin yksinkertaisia.

Vanha jäärä

Vierailija
Vanha jäärä
En nyt ymmärrä, miksi vain kaoottiset systeemit kiinnostavat. Epälineaarisuutta voi toki olla muuallakin, ja se saa aikaan mielenkiintoisia ilmiöitä.

Kaoottiset systeemit voivat toisaalta olla näinkin yksinkertaisia.




Kappas vaan, tuo on vähän kuin tämä varsinuija eli varsta, joka mm. aina osuu iskun torjujan päähän, jos isku torjutaan kuten tavallisen seipään isku vaistomaisesti suorilla käsillä:

Vierailija
Arkkis
Kaoottisuus ei tarkoita olemukseltaan numeerista epästabilitettia, vaan se on itse objektiivisen todellisuuden ilmiö.



Tämä on olennaista. Helposti rakennettava itseorganisaatiota ja kaaosta ilmentävä systeemi on seuraava. Kun kynää tms. puikkoa työnnetään tiukalla näppiotteella etuviistossa sopivaa pintaa pitkin, syntyy paineen ym. reunaehtojen säätämä itseorganisoitunut hypähtelytila ("relaksaatio-oskillaatio"). Jos systeemiin liitetään kolmas kappale, vaikkapa kevyt avaimen lenkki, ilmenee vastaavasti kaoottinen moodi.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat