Ylinumeroituvuudesta

Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Lukujoukon mahtavuus on sen alkioiden lukumäärä. Lukuojoukkohan on numeroituva, jos sen alkioille voidaan laittaa nimilappu kuten luvuille {1,2,3, ...}; siis että löytyy yksi-yhteen-kuvaus joukkoon N. Rationaaliluvut ovat yhtä mahtavia kokonaislukujen kanssa, koska ne voidaan laittaa taulukossa järjestykseen.

Cantor osoitti, että reaalilukuja on ylinumeroituva määrä:
http://fi.wikipedia.org/wiki/Cantorin_d ... argumentti

Mutta eikö sama voida osoittaa seuraavasti:

Oletetaan, että reaalilukuja on numeroituva määrä, jolloin luvut voidaan laittaa järjestykseen r_1, r_2, ... r_n, ...
Mutta jos valitaan kaksi peräkkäistä reaalilukua r_n ja r_(n+1), niin niiden välissä on luku (r_n + r_(n+1))/2 joka on myös reaaliluku. Näin ollen reaaliluvut eivät olleetkaan järjestyksessä ja oletus numeroituvuudesta oli väärä.

Sitten vielä tuo kontinuumihypoteesi, jonka mukaan ei ole joukkoa jonka mahtavuus olisi luonnollisten lukujen ja reaalilukujen välissä.
Mutta eivätkö fraktaalit ole juuri tuollaisia joukkoja? Ne voivat toistaa itseään äärettömän monta kertaa ja jokainen välivaihe toistaa itseään samalla tavalla rekursiivisesti. Mitään injektiota luonnollisille luvuille ei taatusti ole, eikä joukko kuitenkaan ole yhtä tiheä kuin jokin reaalilukuväli.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Kommentit (9)

heskam
Seuraa 
Viestejä935
Liittynyt16.11.2006
Oletetaan, että reaalilukuja on numeroituva määrä, jolloin luvut voidaan laittaa järjestykseen r_1, r_2, ... r_n, ...
Mutta jos valitaan kaksi peräkkäistä reaalilukua r_n ja r_(n+1), niin niiden välissä on luku (r_n + r_(n+1))/2 joka on myös reaaliluku. Näin ollen reaaliluvut eivät olleetkaan järjestyksessä ja oletus numeroituvuudesta oli väärä.




A) ei ole , koska olit järjestänyt kaikki reaaliluvut. Hait sen luvun jostain muualta.
B) tuo järjestys, jonka loit ei ehkä ole tuo järjestys, missä tuo laskutoimitus pätee.
C) Melkein kyhäsit rationaaliluvut, mutta et ihan, koska päättelysi oli inkonsistentti: A) ja B).

Sitten vielä tuo kontinuumihypoteesi, jonka mukaan ei ole joukkoa jonka mahtavuus olisi luonnollisten lukujen ja reaalilukujen välissä.
Mutta eivätkö fraktaalit ole juuri tuollaisia joukkoja? Ne voivat toistaa itseään äärettömän monta kertaa ja jokainen välivaihe toistaa itseään samalla tavalla rekursiivisesti. Mitään injektiota luonnollisille luvuille ei taatusti ole, eikä joukko kuitenkaan ole yhtä tiheä kuin jokin reaalilukuväli.



Heittäkää jo nuo fraktaalit romukoppaan. Ne tuottavat vain musteläiskätestejä.

Mikään luonnossa ei ole fraktaali.
Kyse on samantyyppisestä asiasta kuin siinä, että tietokoneella luotaisiin todellisuutta.
Kyse on aina keinotodellisuudesta.

Tarkka silmä näkee aina, että fraktaali ei ole luonnonmukainen.

Luonto on invarianssien toteuma ei kaaoksen.

Äärettomän pitkä harhapolku on aina aidosti pidempi kuin todellisuuden tie.

Vierailija
Cargo
Oletetaan, että reaalilukuja on numeroituva määrä, jolloin luvut voidaan laittaa järjestykseen r_1, r_2, ... r_n, ...



Tämä järjestys ei välttämättä ole tuttu suurempi kuin -relaation antama suuruusjärjestys. Esimerkiksi rationaalilukujen joukko on numeroituva, mutta et silti voi asettaa niitä sellaiseen järjestykseen, jossa edeltävä on aina seuraavaa pienempi. Teet siis virheen siinä, kun oletat, että numeroituvuudesta seuraa mahdollisuus järjestää joukko suuruusjärjestykseen.

Mutta jos valitaan kaksi peräkkäistä reaalilukua r_n ja r_(n+1), niin niiden välissä on luku (r_n + r_(n+1))/2 joka on myös reaaliluku. Näin ollen reaaliluvut eivät olleetkaan järjestyksessä ja oletus numeroituvuudesta oli väärä.



Tuo luku (r_n + r_(n+1))/2 on jossain toisaalla reaalilukujen listauksessasi. Näin ei vielä saa ristiriitaa aikaiseksi.

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
Cargo
Lukujoukon mahtavuus on sen alkioiden lukumäärä. Lukuojoukkohan on numeroituva, jos sen alkioille voidaan laittaa nimilappu kuten luvuille {1,2,3, ...}; siis että löytyy yksi-yhteen-kuvaus joukkoon N. Rationaaliluvut ovat yhtä mahtavia kokonaislukujen kanssa, koska ne voidaan laittaa taulukossa järjestykseen.

Cantor osoitti, että reaalilukuja on ylinumeroituva määrä:
http://fi.wikipedia.org/wiki/Cantorin_d ... argumentti

Mutta eikö sama voida osoittaa seuraavasti:

Oletetaan, että reaalilukuja on numeroituva määrä, jolloin luvut voidaan laittaa järjestykseen r_1, r_2, ... r_n, ...
Mutta jos valitaan kaksi peräkkäistä reaalilukua r_n ja r_(n+1), niin niiden välissä on luku (r_n + r_(n+1))/2 joka on myös reaaliluku. Näin ollen reaaliluvut eivät olleetkaan järjestyksessä ja oletus numeroituvuudesta oli väärä.

Sitten vielä tuo kontinuumihypoteesi, jonka mukaan ei ole joukkoa jonka mahtavuus olisi luonnollisten lukujen ja reaalilukujen välissä.
Mutta eivätkö fraktaalit ole juuri tuollaisia joukkoja? Ne voivat toistaa itseään äärettömän monta kertaa ja jokainen välivaihe toistaa itseään samalla tavalla rekursiivisesti. Mitään injektiota luonnollisille luvuille ei taatusti ole, eikä joukko kuitenkaan ole yhtä tiheä kuin jokin reaalilukuväli.


Juuri samalla tavalla voit osoittaa, että rationaaliluvut eivät ole numeroituvia.
Miten fraktaalien numeroituvuus olisi monimutkaisempaa kuin koko rationaalilukujen joukon numeroituvuus?

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007
visti
Cargo
Lukujoukon mahtavuus on sen alkioiden lukumäärä. Lukuojoukkohan on numeroituva, jos sen alkioille voidaan laittaa nimilappu kuten luvuille {1,2,3, ...}; siis että löytyy yksi-yhteen-kuvaus joukkoon N. Rationaaliluvut ovat yhtä mahtavia kokonaislukujen kanssa, koska ne voidaan laittaa taulukossa järjestykseen.

Cantor osoitti, että reaalilukuja on ylinumeroituva määrä:
http://fi.wikipedia.org/wiki/Cantorin_d ... argumentti

Mutta eikö sama voida osoittaa seuraavasti:

Oletetaan, että reaalilukuja on numeroituva määrä, jolloin luvut voidaan laittaa järjestykseen r_1, r_2, ... r_n, ...
Mutta jos valitaan kaksi peräkkäistä reaalilukua r_n ja r_(n+1), niin niiden välissä on luku (r_n + r_(n+1))/2 joka on myös reaaliluku. Näin ollen reaaliluvut eivät olleetkaan järjestyksessä ja oletus numeroituvuudesta oli väärä.

Sitten vielä tuo kontinuumihypoteesi, jonka mukaan ei ole joukkoa jonka mahtavuus olisi luonnollisten lukujen ja reaalilukujen välissä.
Mutta eivätkö fraktaalit ole juuri tuollaisia joukkoja? Ne voivat toistaa itseään äärettömän monta kertaa ja jokainen välivaihe toistaa itseään samalla tavalla rekursiivisesti. Mitään injektiota luonnollisille luvuille ei taatusti ole, eikä joukko kuitenkaan ole yhtä tiheä kuin jokin reaalilukuväli.


Juuri samalla tavalla voit osoittaa, että rationaaliluvut eivät ole numeroituvia.



No joo, taisi tulla vähän liikaa innostuttua kun tutustuin kyseiseen aiheeseen
Ajattelin että tarttee olla jokin simppelimpikin tapa todeta reaalilukujen ylinumeroituvuus, ja ehkä sellainen onkin.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Vierailija

Ymmärrän teorian perusteita kuten sen, että voin väittää abstrakin algebran keinoin, että x:n arvo tässä: 2*x = 3 on 1 kun määritellään joukko kokonaoslukujoukoksi ja *-operaattori summaavaksi.

Teoria luo pohjan ilmeisesti mm. funktioteorialle ja algebralle.
Mitä käytännön sovelluksia asbtraktista algebrasta ja ryhmäteoriasta löytyy vai onko kyseessä puhdas teoria jota matematiikan muut teoriat käyttävät hyväksi?

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
pontus
Ymmärrän teorian perusteita kuten sen, että voin väittää abstrakin algebran keinoin, että x:n arvo tässä: 2*x = 3 on 1 kun määritellään joukko kokonaoslukujoukoksi ja *-operaattori summaavaksi.

Teoria luo pohjan ilmeisesti mm. funktioteorialle ja algebralle.
Mitä käytännön sovelluksia asbtraktista algebrasta ja ryhmäteoriasta löytyy vai onko kyseessä puhdas teoria jota matematiikan muut teoriat käyttävät hyväksi?


Minkä takia kirjoitat 2*x = 3, jos tarkoitat 2+x = 3 ?

Vierailija
visti

Minkä takia kirjoitat 2*x = 3, jos tarkoitat 2+x = 3 ?



Vain havainnollistaakseni mitä ryhmäteorialla ja algebralla voi tehdä.
Määrittää operaattoreita, joukkoja ja funktioita.

Selvennän mitä ajoin takaa tuolla kirjoitusasulla.

Jos kysytään mikä on x:n arvo yhtälössä 2*x = 3 kun toimitaan kokonaislukujoukossa ja oletetaan yhtälöllä olevan ratkaisu niin *-operaattori ei voi silloin tarkoittaa kertolaskua, koska tällöin yhtälölle ei ole ratkaisua sillä 3/2 ei ole kokonaisluku eikä kuulu joukkoon. *-operaattori tarkoittaa tässä tapauksessa jotain muuta. Ihan sama mikä se operaattorin symboli tässä on, kyse on määritelmästä ja joukoista joissa toimitaan eikö.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
pontus
Ymmärrän teorian perusteita kuten sen, että voin väittää abstrakin algebran keinoin, että x:n arvo tässä: 2*x = 3 on 1 kun määritellään joukko kokonaoslukujoukoksi ja *-operaattori summaavaksi.

Teoria luo pohjan ilmeisesti mm. funktioteorialle ja algebralle.
Mitä käytännön sovelluksia asbtraktista algebrasta ja ryhmäteoriasta löytyy vai onko kyseessä puhdas teoria jota matematiikan muut teoriat käyttävät hyväksi?


Abstraktin algebran avulla tosiaan voidaan analysoida sellaisten systeemien ominaisuuksia, jotka muodostuvat jostain operaatioista alkioiden välillä. Eli vaikka kokonaisluvut ja kertolasku muodostavat puoliryhmän, kun taas kokonaisluvut ja pluslasku muodostavat ryhmän. Ryhmässä yhtälöllä a*b=c on aina ratkaisu, mutta puoliryhmässä aina ei. Lisäämällä sääntöjä ja sallimalla paria eri operaattorityyppiä saadaan sitten renkaita ja kuntia joissa on jo erilliset kertolasku- ja yhteenlaskutyyppiset operaatiot.

Sen sijaan se on taas ihan toinen juttu, että mitkä arvot tuon antamasi yhtälön toteuttavat. Yleensä pyritään siihen, että jos operaatio on "yhteenlaskuntyyppinen", käytetään jotain yhteenlaskunnäköistä merkintää eikä *-merkkiä josta saattaa tulla harhaanjohtavasti mieleen kertolasku.

Sellainen hyöty tästä teoriasta on, että esimerkiksi moni fysiikan, signaalinkäsittelyn ja säätöteorian operaatio tai niiden yhdistelmä voidaan osoittaa muodostavan (esim.) puoliryhmän, jolloin kaikki abstraktin ryhmäteorian tulokset pätevät tälle operaatiolle eikä niitä tarvitse enää uudelleen johtaa.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
Cargo
Cantor osoitti, että reaalilukuja on ylinumeroituva määrä:
http://fi.wikipedia.org/wiki/Cantorin_d ... argumentti



Cargo
Sitten vielä tuo kontinuumihypoteesi, jonka mukaan ei ole joukkoa jonka mahtavuus olisi luonnollisten lukujen ja reaalilukujen välissä.
Mutta eivätkö fraktaalit ole juuri tuollaisia joukkoja? Ne voivat toistaa itseään äärettömän monta kertaa ja jokainen välivaihe toistaa itseään samalla tavalla rekursiivisesti. Mitään injektiota luonnollisille luvuille ei taatusti ole, eikä joukko kuitenkaan ole yhtä tiheä kuin jokin reaalilukuväli.

Cantor osoitti myös, että Cantorin joukossa (http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set) - jolla on mainitsemasi ominaisuudet ja jota nykyään kutsutaan fraktaaliksi - on ylinumeroituva määrä alkoita. Ei-tiheys ei implikoi ei-ylinumeroituvuutta.

Uusimmat

Suosituimmat