Riemannin hypoteesin lauseke kun Re(s)<1

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Osaako joku täällä matematiikkaa?

Riemannin hypoteesi sanoo, että kompleksimuuttujan s funktion eli Riemannin zeta-funktion epätriviaalien (kompleksisten) nollakohtien reaaliosa on 1/2 .
Riemannin zeta-funktion nollakohdat ovat: L(0), L(-2), L(-4), L(-6)=0 ja yleisesti L(-2n)=0 jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle n (jossa -2n on negatiivinen parillinen kokonaisluku)

Esiintyy myös muita ratkaisuja L(s)=0 mutta kaikki tunnetut ratkaisut ovat negatiivisia parillisia kokonaislukuja tai kompleksilukuja muotoa 1/2+yi joissa reaaliosa on siis 1/2 .
Yksikin löydetty nollakohta jonka reaaliosan arvo ei ole 1/2 kumoaisi Riemannin hypoteesin.

Hypoteesin todistaminen oikeaksi tai vääräksi tarkoittaisi yleispätevän yhtälön löytymistä jolla voitaisiin laskea alkulukuja. Alkulukujen järjestystä pidetään toistaiseksi satunnaisena. Satunnaisuuteen on luotu erilaisia numeerisia menetelmiä joilla on saatu lasketuksi alkulukujen jakaumia suoralla.

Zeta-funktio pätee kun Re(s)>1 eli s reaaliosa > 1. Riemann jatkoi Zeta-funktiotaan analyyttisesti (funktio voidaan esittää potenssisarjana) jotta funktiolla voitaisiin laskea myös Re(s)<1 johon perustuu Riemannin hypoteesi.

Miten menee toimiva analyysin lausekkeet joilla lasketaan zeta(0.5 + 2i) summa tai zeta(-2) summa joka on 0?

Kommentit (7)

Vierailija

haet ilmeisesti kehitelmiä joilla voidaan approksimoida zetafunktion kompleksimuuttujan s reaalisia arvoja tai arvovälejä kun zetafunktio on nollakohdassa? Tähän löytyy joitakin funktioita joilla on käytetty mielettömästi prosessoriaikaa ja saatu mainitsemiask numeerisia ratkaisuja. Laitan tulemaan jonkun esimerkin elleivät muut ehdi ennen.

Vierailija

Tuossa Riemannin julkaisu Berliinin Akatemialle kun hän sai muistaakseni nuorimpana jäsenenä kutsun akatemiaan.
http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/Pe ... /EZeta.pdf
Tuosta paperista kaikki lähti.

Heskamin linkittämällä funktionaaliyhtälöllä:

voidaan tutkia zeta-funktion nollakohtia eri ehdoilla alueella Re(s)<=1. Tiedetään, ettei zeta funktiolla ole nollakohtia kun Re(s)=0 tai 1.

Jäljelle jää Re(s)<0 ja 0
On helppo huomata, että zeta-funktio on nollakohdassa kun kompleksimuuttuja s:n reaaliosa on parillinen negatiivinen sillä funktionaaliyhtälöstä voidaan huomata, että kaikilla parillisilla negatiivisilla arvoilla yhtälön sini-funktio sin(pii*s/2)=0. Tämän näkee peruskoulun matematiikalla. Sini on nolla aina kun ollaan menty ympyrän kaarta pitkin piin verran. Lopulta jäljelle jää siis alueen 0http://mathworld.wolfram.com/CriticalStrip.html.

Tiedetään numeeristen ratkaisujen pohjalta, että tällä alueella on lukematon määrä zeta-funktion nollakohtia ja vielä tarkemmin tarkasteltuna tiedetään, että kaikki löydetyt nollakohdat sijaitsevat suoralla jossa Re(s)=1/2 tätä suoraa kutsutaan kompleksitason kriittiseksi suoraksi http://mathworld.wolfram.com/CriticalLine.html.

Epätriviaalisia (ei-reaalisia) nollakohtia voidaan kuvata graafisesti eri tavoin.
Wolframin Alpha hakukoneella voidaan tarkastella vaikkapa reaaliosan ja imaginääriosan leikkauspisteitä:
wolfram alphan graafi zeta-funktiolle kun Re(s)=1/2
Leikkaispisteissä on epätriviaali nollakohta kun ne leikkaavat y-akselin nollassa. Muuttamalla zeta-funktion reaaliosaa johonkin muuhun kuin arvoon 1/2 leikkauspisteet eivät leikkaa y-akselin nollakohdissa.

Konjektuuri eli fiksu arvaus sanoo, että kaikki zeta-funktion nollakohdat ovat kriittisellä suoralla ja tämä on se Riemannin hypoteesi jota ei ole kyetty todistamaan puolesta/vastaan.

Riemannin hypoteesia todellakin pidetään aika vahvasti totena suuren numeerisen aineiston pohjalta jotka puoltavat käsitystä siitä, että kaikki nollakohdat ovat todellakin kriittisellä suoralla Re(s)=1/2, tällaisia nollakohtia on löydetty >10^14. Reimannin hypoteesin totena pitäämiseen voi törmätä alan kirjallisuudessa ja matemaattisissa todistuksissa jotka on johdettu hypoteesista olettaen sen olevan tosi. Jos löytyisi yksikin nollakohta joka ei ole Re(s)=1/2 kun Re(s)>0 niin aika moni todistus joutuisi uuteen tarkasteluun.

Saas nähdä ilmoittaako Perelman piakkoin ratkaisseensa tämänkin hypoteesin. Enpä usko.

edit: muokattu wolframin linkkiä kun ei tunnu tulevan viestiin.

jepajee
Seuraa 
Viestejä22001
Liittynyt29.12.2009
crusaron uusi tuleminen

Saas nähdä ilmoittaako Perelman piakkoin ratkaisseensa tämänkin hypoteesin. Enpä usko.



Se ois mahtavaa. Äijä haistattais toistamiseen kaikille ja kaikki ois liian tyhmiä tajutakseen sitä. Aivan loistavaa. Haluasin kyllä päästä palkinnonjakoon taputtamaan ensi kerralla kun mitaleita jaettaisiin. Nousisin pystyyn ja taputtaisin. Aivan mahtava jätkä. Muodostui merkkihenkilöksi kertaheitolla elämässäni.

Hän on nero!

heskam
Seuraa 
Viestejä935
Liittynyt16.11.2006
Käytät vasemmalla puolella sarjakehitelmää Re(Z)>1.

Eikun oikealla. saat approksimatiiviset negatiivisiet kokonaisratkaisut.

Gammafunktio on tavallaan samanlainen esimerkki. Pitää
löytää analyyttinen funktio, joka yhtyy kertomafunktioon.

Ratkaisu on sitten yksikäsitteinen jaksollisuutta paitsi.

Vierailija

Huomasin jännän jutun. Kun kompleksimuuttuja s:n reaaliarvo on se puoli joka myös Riemannin hypoteesissa on niin tuosta yhtälöstä häviää yksi pii pois koska gammafunktio palauttaa neliöjuuri piin. Yhtälöstä tulee: sqrt(2)*sin(pii*0.25)*zeta(0.5).
Ja sqrt(2)*sin(pii*0.25) = 1

En ymmärrä tuota zeta funktiota. Sanotaan, että se pätee kun Re(s)>1 mutta silti se on tuossa "funktionaaliyhtälössä". Miten tuon funktionaaliyhtälön kanssa lasketaan?

Uusimmat

Suosituimmat