Mikä kumma on funktionaaliyhtälö?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tuolla Riemannin hypoteesi aiheessa ilmestyi funktionaaliyhtälö. Ilmeisesti tuo on jonkinlainen operaattori johon syötetään useampia eri funktioita. Miten sitä oikein käytetään, käytännön esimerkkejä?

Kommentit (3)

heskam
Seuraa 
Viestejä935
Liittynyt16.11.2006

Funktion käyttäytymisestä johtuva yhtälö, jossa ei kajota funktion eksplisiittiseen lausekkeeseen. Useimpia funktioitahan ei voida esittää suljetussa muodossa, kuten esimerkiksi normaalijakauman integraalifunktio.

f(½x)=2f(x), kertoo esimerkiksi miten taajuus f käyttäytyy, kun soittimessa painetaan kielen puoliväli ½x lautaan kiinni.
Nämä voidaan usein ratkaista, jonkun ehdon perusteella jopa yksikäsitteisesti.
f[n+1]=fn/(12 juuri 2) antaa skaalan 12 -säveljärjestelmässä = jäljelle jäävä kielenpituus, kun aloitat skaalanpituudesta scx=0.

Esimerkiksi on vain yksi toisen asteen polynomi, joka kulkee tietyn kolmen eri pisteen kautta.

Tyypillisesti esimerkiksi tällaiset:

f(n+1) = f(n)*5 tms.

Tai iteraatio.
F[n+1](x)=f(F[n](x))
Iteraatio yleensä ratkaisee yhtälön f(x)=x, kun x on funktion f kiintopiste ja lähdetään jostain alkuarvosta x0.

Tätä voi kokeilla laskimella näpsyttämällä samaa funktiopainiketta toistuvasti näpyttämällä sopivan alkuarvon ensimmäiseksi. Laita vaikka 0.6 ja näpytä sin,sin,..., niin lopuksi tulee 0 ja tämä on yhtälön sin(x)=x eräs ratkaisu.

Sitten on vielä niinsanottuja lineaarisia funktioita koskeva teoria ns. funktionaalianalyysi.

vrt. differentiaaliyhtälö.

Vierailija

differenssi ja differentiaalit onkin tuttuja.
Ok, eli funktiolle on asetettu tiettyjä ehtoja (käyttäytymissääntöjä) jotka on formalisoitu funktionaaliyhtälön muotoon josta alkuperäistä funktiota yritetään ratkaista.

Vierailija

Sarjakehitelmistä luodut suljetut muodot voi ilmeisesti ajatella jonkinlaisena funktionaalianalyysin analogina, siinäkin pyritään hakemaan kehitelmälle kompaktia muotoa ja funktiota.

Esim sarjakehitelmä E(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ...

Tuosta saadaan kätevästi suljettu muoto kun määritelläänkin, että E(x) = 1 + x(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ...)
Eli E(x) = 1+ xE(x)
josta...
=> E(x) = 1+xE(x)
=> E(x) - xE(x) = 1
=> E(x) (1-x) = 1
=> E(x) = 1 / (1-x)

No, tuo suljettu muoto ei tietenkään ole sama kuin sarjakehitelmä kun määrittelyjoukko on eri. Suljettua muotoa ei selvästikään ole määritelty kun x=1.

Mutta jotain samanlaisuutta taitaa olla. Koitetaan löytää funktio joka toteuttaa sarjakehitelmän tai funktionaaliyhtälön asettamat ehdot. Eikö vain?

Uusimmat

Suosituimmat