Apua: määritä k, jotta f olisi tiheysfunktio

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Määritä vakio k>0 niin, että funktio f on tiheysfunktio, kun

a) f(x)= 2|x|+k, kun |x|≤k
0 muualla

b) f(x)= k(2-x²)^½ , kun |x|≤2^½
0 muualla

Miten tämä vakio k tulisi määrittää.
Tiedän, että, jotta f olisi tiheysfunktio, niin

1. f(x)≥0 kaikilla x:n arvoilla
2. f:n kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän pinta-alan suuruus on 1

Osaisiko joku auttaa?

Kommentit (7)

DerMack
Seuraa 
Viestejä1839
Liittynyt16.3.2005

integroidaan lauseke käyttämällä sopivia rajoja ja pistetään tulos yhtäsuureksi kuin 1, pyöritetään k:lle arvo saadusta yhtälöstä.

Vierailija

Kiitos vastauksesta! Suoritan lukion matematiikan kuudetta kurssia, ja integrointia ei ole vielä käyty. Onko jotain vaihtoehtoista tapaa, jossa ei tarvitsisi integroida?

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

a) -kohdassa voit arvioida pinta-alaa ihan geometrisesti.

b) -kohta näyttää vähän hankalalta ilman integraaleja. Onko funktio siis tällainen, kun k=1?

EDIT: menee se b)-kohtakin geometrisesti. Tunnista kuvaajan muoto.

We're all mad here.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Luku k ei riipu x:stä. Kokeile joitakin k:n arvoja, ja katso, miten muutokset vaikuttavat "ordinaattajoukon" (eli kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen) pinta-alaan. Sen oikean k:n arvon voi ehkä saada pienellä hahmottelulla jäljitettyä ilman mitään yhtälönpyörittelyä.

We're all mad here.

Vierailija

Lukiomatematiikan analyyttisen geometrian kurssin opetussuunnitelmaan ei välttämättä kuulu ellipsi mutta se on luultavasti esitelty oppikirjassa lisätietona.
Tämä tuohon b-kohtaan.

Vierailija

a) -kohtaan: Annoin x:lle arvon k, joten sain nuo ääriarvot selville. piirsin kuvaajan, josta tuli iso M-kirjain, jonka "jalat" ovat kohdissa (-k,0) ja (k,0). Kärjet vasemmalta oikealle kohdissa (-k,3k), (0,k) ja (k, 3k). Pinta, alan laskemalla kahdesta kolmiosta ja suorakulmiosta, tuli oikea vastaus, k=½.

Se, mitä piti siis älytä tätä ratkaistaessa, oli sijoittaa x:lle nuo ääriarvot. ja myös katsoa, mitä on y, kun x on nolla.

b) -kohtaan: kun tuo ratkaisutekniikka oli keksitty: x:lle tulee antaa ääriarvot ja nolla-arvo, ja katsotaan sitten funktion (y:n) arvoja. Niin annoin x:lle arvon neliöjuuri2, jolloin y:stä tuli nolla. Kun taas x:lle annettiin arvo nolla, niin y:stä tuli neliöjuuri2*k.

No, tämän palstan ellipsivinkkien ansiosta älysin etsiä MAOLista ellipsin kaavan, jonka kautta älysin johtaa yhtälön muotoon x^2(1^2)+y^2(k^2) = neliöjuuri2^2, eli (puoli)ellipsihän siitä tulee.

Sitten vaan piirsin kuvaajan, jolloin ellipsin korkeus a ja leveys b olivat origosta neliöjuuri2 ja neliöjuuri2*k.

sijoittamalla em. arvot kaavaan ellipsin pinta-ala/2 = ½(pii)ab = 1
ja siitä k=1/(pii)

Kiitos kaikille vastanneille!

Uusimmat

Suosituimmat