limekset hukassa

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Hei,

Osaisiko joku auttaa. Mulla on raja-arvotehtävien ratkaisumetodit ihan hukassa. Päätä vaivaa kaksi erilaista tehtävää.

1) lim x->2 [ 1 / ( x-2 ) ]

2) lim x->1 [ x / x^2 - 1 ]

Jos noilla ei kerta ole raja, arvoja, niin a) miten se selvitetään/todistetaan? b) Miten oikean- ja vasemmanpuoleiset raja-arvot lasketaan em. kohdissa?

Lisätietona se, että opiskelen lukion 7. pitkän matikan kurssia, jolloin ei ole vielä opetettu dervivaattaa, integroimista, ym. Pitäisi pelkästään supistamalla / laventamalla / raja-arvojen laskusääntöjä käyttämällä päästä ratkaisuun.

Kiitos vastauksista jo etukäteen!

Sivut

Kommentit (17)

Vierailija
njp153
Hei,

Osaisiko joku auttaa. Mulla on raja-arvotehtävien ratkaisumetodit ihan hukassa. Päätä vaivaa kaksi erilaista tehtävää.

1) lim x->2 [ 1 / ( x-2 ) ]

2) lim x->1 [ x / x^2 - 1 ]

Jos noilla ei kerta ole raja, arvoja, niin a) miten se selvitetään/todistetaan? b) Miten oikean- ja vasemmanpuoleiset raja-arvot lasketaan em. kohdissa?

Lisätietona se, että opiskelen lukion 7. pitkän matikan kurssia, jolloin ei ole vielä opetettu dervivaattaa, integroimista, ym. Pitäisi pelkästään supistamalla / laventamalla / raja-arvojen laskusääntöjä käyttämällä päästä ratkaisuun.

Kiitos vastauksista jo etukäteen!


Ei, en osaa. Mullakin on raja-arvot ihan hukassa.

galilei
Seuraa 
Viestejä106
Liittynyt18.6.2007

Raja-arvo on olemassa, jos funktion oikean ja vasemmanpuoleiset raja-arvot ovat (1) olemassa ja (2) samat. Sitä, ovatko ne samat tai olemassa, voi tutkia vaikka piirtämällä funktiolle kulku-/merkkikaavion ja pohdiskelemalla sen avulla, mitä tapahtuu. (Ajattelee siis, miten funktio käyttäytyy ja millaisia arvoja se saa, kun raja-arvokohtaa lähestytään oikealta ja vasemmalta puolelta.)

Tuo ensimmäinen näyttäisi ratkeavan tuolla. Jälkimmäinen samalla tavalla, mutta siinä voi tarkastelua ehkä helpottaa hankkiutumalla eroon nimittäjän toisesta potenssista tekijöihin jakamalla ja käyttämällä tulon raja-arvon laskusääntöä.

Me iudice

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Nihkeetä on antaa suoraan vastauksia, mutta vinkki: Tutki onko sama luku sekä nimittäjän että osoittajan nollakohta, ja tee siittä omat päätelmäsi. Lisäksi tarkkaile funktion merkkiä, positiivinen tahi negatiivinen, kohdassa jossa rajallekäyntiä suoritetaan; millaisia arvoja toispuoleiset raja-arvot ovat.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Vierailija
njp153
Jos noilla ei kerta ole raja, arvoja, niin a) miten se selvitetään/todistetaan? b) Miten oikean- ja vasemmanpuoleiset raja-arvot lasketaan em. kohdissa?



Hyviä vinkkejä on tullutkin jo. Lisään vielä edellisiin, että tämä tehtävä ei siinä mielessä ole lasku, että lopputulos olisi jotain sen näköistä kuin 1 + 2 = 3. Ajattele mieluummin, että sinua pyydetään nyt kuvin ja sanoin selittämään, miksi kyseisiä raja-arvoja joko on tai ei ole.

Vierailija

Jos kyseessä on lukion pitkän matematiikan 7. kurssi, niin vastausta ei ole tarkoitus perustella "kuvin ja sanoin", vaan käyttäen hyväksi kurssilla opetettua sääntöä, jonka mukaan: Jos lim x->a f(x) ei ole nolla mutta lim x->a g(x) on nolla niin raja-arvoa lim x->a f(x)/g(x) ei ole olemassa. (Ei myöskään toispuoleisia raja-arvoja.) Esim. Pyramidi-kirjasarjan 7. kirjassa sääntö löytyy sivulta 100. Tarkempaan tällaisten raja-arvojen analyysiin mennään vasta lukion kurssilla 13.

Vierailija

Kiitos vastanneille!

EeTee: Mutta kyllähän noilla molemmilla on graafisen laskimen mukaan (epäoleelliset) raja-arvot oo ja -oo.

Eikös raja-arvolaskuissa suoraan sijoittamalla voi tulla neljä erilaista vaihtoehtoa:
jotain/jotain= jotain. raja arvo on "jotain"
0/0 -> täytyy supistaa / laventaa jollain, ja pyöritellä lukuja-> raja-arvosta tulee taas jokin luku.
0/jotain -> raja-arvo on nolla
jotain / 0 -> raja-arvosta tulee +/- ääretön tai sitä ei ole. (toispuoleinen on)
??

No, miten lasketaan 1) kohdan oikeanpuoleinen raja-arvo? Vai tarvitaanko tähän aina graafinen laskin + hahmotelma paperille, jossa yksinkertaisesti selitetään, että se kuvaaja nyt vain menee tuonne äärettömyyksiin? Eikö mitään pelkillä luvuilla (ja äärettömyysmerkeillä) voida laskea tällaista laskua, vai pitääkö aina piirtää paperille se hahmotelma, jotta kokeesta ropisisi täydet pisteet?

Vierailija

Helppo juttu pistä yhtälö taskulaskimeen ja laske x=2,000001 1/(x-2)=1 000 000, x=1,9999999999 jne. Päättele sitten loogisesti, mikä on mitä arvoa lauseke lähestyy.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
njp153
No, miten lasketaan 1) kohdan oikeanpuoleinen raja-arvo? Vai tarvitaanko tähän aina graafinen laskin + hahmotelma paperille, jossa yksinkertaisesti selitetään, että se kuvaaja nyt vain menee tuonne äärettömyyksiin? Eikö mitään pelkillä luvuilla (ja äärettömyysmerkeillä) voida laskea tällaista laskua, vai pitääkö aina piirtää paperille se hahmotelma, jotta kokeesta ropisisi täydet pisteet?

Muodollisesti ja määritelmään nojaten raja-arvoja tarkastellaan tähän tapaan:

1) Merkitään f(x) = 1 / (x - 2).

Olkoon M > 0 ja olkoon 2 < t <= 2 + 1/M.

Tällöin

f(t) = 1 / (t - 2) >= 1 / (2 + 1/M - 2) = 1/(1/M) = M,

joten

lim x->2+ f(x) = oo.

Sama suomeksi: f:n arvot ylittävät pysyvästi minkä hyvänsä positiivisen luvun, kun mennään oikealta riittävän lähelle kakkosta. Oikeanpuoleinen raja-arvo on siis ääretön.

Jos kuitenkin 1/x:n käyttäytyminen nollan ympärillä oletetaan tunnetuksi, voi tuon ensimmäisen kohdan raja-arvotarkastelun palauttaa tilanteeseen

lim x->0 [1/x],

ja todeta tulokset suoraan siitä.

We're all mad here.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Paco
Helppo juttu pistä yhtälö taskulaskimeen ja laske x=2,000001 1/(x-2)=1 000 000, x=1,9999999999 jne. Päättele sitten loogisesti, mikä on mitä arvoa lauseke lähestyy.



Paljonkos tuo menetelmä antaa tulokseksi kun tutkitaan löytyykö raja-arvoa funktiolle

x/sin(10²²x), kun x->0 ?

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
bosoni
Paco
Helppo juttu pistä yhtälö taskulaskimeen ja laske x=2,000001 1/(x-2)=1 000 000, x=1,9999999999 jne. Päättele sitten loogisesti, mikä on mitä arvoa lauseke lähestyy.



Paljonkos tuo menetelmä antaa tulokseksi kun tutkitaan löytyykö raja-arvoa funktiolle

x/sin(10²²x), kun x->0 ?


Helppo juttu, kun ottaa huomioon, ettei taskulaskin pysty käsittelemään liian suuria sinifunktion argumentteja. Tehdään sijoitus 10^22x=y, kun x ->0 y->0. 10^-22*y/sin(y) jne.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Paco
Helppo juttu, kun ottaa huomioon, ettei taskulaskin pysty käsittelemään liian suuria sinifunktion argumentteja. Tehdään sijoitus 10^22x=y, kun x ->0 y->0. 10^-22*y/sin(y) jne.



No joo, olihan tuo tuossa tapauksessa helppo kiertää. Silloin kun harjoitellaan raja-arvon löytymistä ilman laskinta, niin se laskimen käyttö ei auta kokeessa. (paitsi mahdollisesti tuloksen tarkistamiseen) Löytyisi myös varmaan niitä tilanteita joissa laskin johtaa harhaan, etenkin jos tutkitaan raja-arvoja muuttujan kasvaessa rajattomasti.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
abskissa
Juu, esim. harmonisen sarjan hajaantumista on vähän vaikea numeerisesti uskotella.

Ei enää ihan helppo juttu, sehän hajaantuu hitaasti, joten pitää ottaa ohjelmoitava laskin tai peräti tietokone tai sitten tehtävä kuten hajaantumisen todistamisessakin. Muistaakseni verrattiin geometriseen sarjaa laskemalla jäseniä yhteen ja suhdeluvuksi tuli 1 suurempi riittävän suuresta termistä alkaen.

Vierailija
EeTee
Jos kyseessä on lukion pitkän matematiikan 7. kurssi, niin vastausta ei ole tarkoitus perustella "kuvin ja sanoin",

Ei ollut tarkoitus antaa mielikuvaa siitä, että tehtävän voi ratkaista huolettomasti ns. leikkien ja laulaen. Tarkoitin vain, ettei se ole siinä mielessä lasku kuin ovat monet äärellisten raja-arvojen selvittämiset, ts. ratkaisu ei näytä yhtäsuuruuksien ketjulta. Sain kysyjän viestistä sen käsityksen, että hän luuli olevansa laskemassa laskua.

-- vaan käyttäen hyväksi kurssilla opetettua sääntöä, jonka mukaan: Jos lim x->a f(x) ei ole nolla mutta lim x->a g(x) on nolla niin raja-arvoa lim x->a f(x)/g(x) ei ole olemassa. (Ei myöskään toispuoleisia raja-arvoja.) Esim. Pyramidi-kirjasarjan 7. kirjassa sääntö löytyy sivulta 100. Tarkempaan tällaisten raja-arvojen analyysiin mennään vasta lukion kurssilla 13.



Tällainen sääntö ei välttämättä esiinny muissa kirjoissa kuin Pyramidissa. Ainakaan Lukion Calculus ei sitä esitä. Sitä paitsi tuolla Pyramidin lauseella ei voi päätellä, mitkä ovat toispuoliset epäoleelliset raja-arvot, vaikka kysyjä halusi nimenomaan niitäkin selvittää.

Vierailija

Voi olla, että eri matikan kirjasarjat eroavat siinä, miten raja-arvoja opetetaan - Pyramidissa epäoleellisiin raja-arvoihin mennään vasta kurssilla 13, jonka jo mainitsin. Tällöinhän perusideana on, että jos osoittaja lähestyy reaalilukua, joka ei ole nolla, ja nimittäjä lähestyy nollaa, on (toispuoleinen) raja-arvo ääretön tai miinus ääretön, riippuen lausekkeen merkistä, jota voi tutkia merkkikaaviolla. Abskissa esitti täsmällisemmän lähestymistavan, mutta lukion oppimäärään ei varsinaisesti kuulu raja-arvon "tarkka määritelmä".

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat