Apua raja-arvotehtävään "Kuinka korkea pylväs?"

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Hei!

Edessäni on tehtävä, jota en millään saa laskettua (10 -A4:sta tuhlattu jo)
Saan kyllä oikean ratkaisun vaikkapa WolframAlphalla, mutta paperilla ja kynällä loppujen lopuksi edessä on jokin ylitsepääsemätön korkeamman asteen yhtälö. Uskon, että tämän saisi jotenkin ratkaistua ilman korkeamman asteen yhtälön ratkaisukaavoja (kyse on lukiotehtävästä).

Metrin mittainen lapsi seisoo kahdeksan metrik päästä lyhtypylväästä. Etäisyys sen huipulla olevasta lampusta lapsen varjon kauimmaiseen päähän on lyhin mahdollinen. Kuinka korkea on lyhtypylväs?

Eli siis kolmio ABC, jonka sisässä on yhdenmuotoinen kolmio ACD
A (varjon pää
B (suora kulma ABC, katulampun alku)
C(lampun pää)
D on lapsen seisomakohta ja
E lapsen pään kohta.
Jana DE: 1
Jana DB: 8
Jana AB: 8+a
Jana AD: a
Jana BC: b = (8+a)/a
Jana AC = c on lyhin mahdollinen

Derivaatan nollakohtaahan tässä haetaan, mutta miten se onnistuu, kun tuntuu, että joka tapauksessa lausekkeesta tulee liian moninmutkainen ratkaistavaksi.. :S

Kommentit (11)

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
njp153
Metrin mittainen lapsi seisoo kahdeksan metrik päästä lyhtypylväästä. Etäisyys sen huipulla olevasta lampusta lapsen varjon kauimmaiseen päähän on lyhin mahdollinen. Kuinka korkea on lyhtypylväs?

Eli siis kolmio ABC, jonka sisässä on yhdenmuotoinen kolmio ACD
A (varjon pää
B (suora kulma ABC, katulampun alku)
C(lampun pää)
D on lapsen seisomakohta ja
E lapsen pään kohta.
Jana DE: 1
Jana DB: 8
Jana AB: 8+a
Jana AD: a
Jana BC: b = (8+a)/a
Jana AC = c on lyhin mahdollinen


Äkkiä ajatellen jotain tällaista sieltä tulisi:
Noista tiedoistasi saadaan:

c^2 = b^2 + (a+8)^2 = (a+8)^2/a^2 + (a+8)^2 = f(a)

derivoidaan a:n suhteen ja asetetaan nollaksi:

df/da = 2 (a+8)/a^2 - 2(a+8)^2/a^3 + 2 (a+8) = 0

josta saadaan ottamalla 2(a+8)a^3 yhteiseksi tekijäksi yhtälö

a^3 = 8

edit: Oikeampi yhtälö

Vierailija
njp153
Metrin mittainen lapsi seisoo kahdeksan metrik päästä lyhtypylväästä. Etäisyys sen huipulla olevasta lampusta lapsen varjon kauimmaiseen päähän on lyhin mahdollinen. Kuinka korkea on lyhtypylväs?

Eli siis kolmio ABC, jonka sisässä on yhdenmuotoinen kolmio ACD

Korjataan tuon punaisella olevan tilalle ADE
njp153

A (varjon pää
B (suora kulma ABC, katulampun alku)
C(lampun pää)
D on lapsen seisomakohta ja
E lapsen pään kohta.
Jana DE: 1
Jana DB: 8
Jana AB: 8+a
Jana AD: a
Jana BC: b = (8+a)/a
Jana AC = c on lyhin mahdollinen

Ja lisätään a >= 0 noihin lähtöoletuksiin, varjon pituus ei voi olla negatiivinen, mikä on syytä myös mainita, jos haluaa tehtävästä saatavissa olevat pisteet.
Stratonovich

Äkkiä ajatellen jotain tällaista sieltä tulisi:
Noista tiedoistasi saadaan:

c^2 = b^2 + (a+8)^2 = (a+8)^2/a^2 + (a+8)^2 = f(a)

derivoidaan a:n suhteen ja asetetaan nollaksi:

df/da = 2 (a+8)/a^2 - 2(a+8)^2/a^3 + 2 (a+8) = 0

josta saadaan ottamalla 2(a+8)a^3 yhteiseksi tekijäksi yhtälö


Korjataan tuo muotoon 2(a+8) / a^3
Stratonovich

a^3 = 8
edit: Oikeampi yhtälö

Ja lisätään vastaus jota kysyttiin, mutta sitä ennen todetaan muiden tulon tekijöiden derivaatan nollakohdan yhtälössä olevan erisuuria kuin nolla a:n määrittelyjoukossa.
Vastaus siis on 5 metriä, josta kannattaa vielä esittää laskelma.

Ps. matemaatiikan tehtävissä kannattaa aina olla täsmällinen, vaikka se tuntuisi pelkältä nipottamiselta, muuten vain menettää pisteitä. Eli peruste siihen, ettei noiden yhteiseksi tekijäksi otettujen tulon tekijöiden nollakohtia käytetä on perusteltava a:n määrittelyjoukon avulla.
Eli a= -2 , ja a= -8 eivät kelpaisi vaikka ne tuottaisivat positiivisen lyhtytolpan pituuden, mitä ne eivät kyllä edes tee.

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009

Sain suoran yhtälön avulla ratkaistua tuon:
y=kx+h
Leikkaa y-akselin pisteessä (0,h), kulkee pisteen (8,1) kautta:
1=k*8+h <=> k=(1-h)/8
Yhtälö saa ao. muodon ja ratkaistaan siitä x-akselin leikkauspiste:
y=(1-h)/8*x+h=0 <=> x=-8h/(1-h)
Pythagoras:
c=√(h^2+64h^2/(1-h)^2)
Tuo on helppo derivoida h:n suhteen. Ratkaisuksi saadaan 5m.
Ratkaisuni on ruma kuin petolinnun perse, myönnettäköön.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Juu, ja kaikissa tollasissa tehtävissä on syytä pitää lausekkeet tulomuodossa eikä mennä availeen niitä turhan takia, sillä nollakohdat hukkuvat helposti.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Vierailija

Kiitos vastauksista!

Kun derivoin tuon alkup. yhtälön f(a) = [(a+8)/a]^2 + (a+8)^2 saan vastaukseksi aina jotain ihan kamalaa siansaksaa.. Osaisiko joku kertoa vaihe vaiheelta, miten tuo derivointi noin simppeliin muotoon käy? Toinen kysymys: Miten ihmeessä saadaan a^3=8 ?? Eli siis: miten tuo yhteinen tekijä otetaan.. Vaikka saisinkin tuon yhtälön derivoitua tuolaiseen muotoon, niin jos kerron tuon auki niin se on korkeamman asteen yhtälö. Miten siis tapahtuu tämä "yhteisen tekijän ottaminen"? Voisiko joku selittää sen niin yksinkertaisesti selitettynä, että ymmärrän? :)

Vierailija
njp153
Kiitos vastauksista!
Kun derivoin tuon alkup. yhtälön f(a) = [(a+8)/a]^2 + (a+8)^2 saan vastaukseksi aina jotain ihan kamalaa siansaksaa.. Osaisiko joku kertoa vaihe vaiheelta, miten tuo derivointi noin simppeliin muotoon käy?

d {g(a) * h(a) } / da =
{dg(a) / da} * h(a) / h(a) ^2 - { d h(a) / da } * g(a) / h(a) ^2
Yllä oleva tulon derivaatta säännön nojalla. Lienet oppinut sen muodossa d (f*g) / dx = ...
Sinisellä merkitystä kohdasta voit aina supistaa h(a) :lla .
Tämä kannattaa tehdä jo ennen mitään sijoituksia !
Sijoita alkuun g(a) = {a + 8} ^2 ja h(a) = a^2 kun derivoit f(a) : lausekkeen ensimmäistä termiä.

njp153
Toinen kysymys: Miten ihmeessä saadaan a^3=8 ?? Eli siis: miten tuo yhteinen tekijä otetaan..

Jaetaan ensin sillä yhteisellä tekijällä, jonka jälkeen kerrotaan sillä samalla lauksekkeella , mutta kertomista ei suoriteta, vaan jätetään se tuloksi näkyviin.
x = 15 , jaetaan 3:lla saadaan 5, mikä kerrotaan 3:lla, ja saadaan 5 * 3
Virheiden välttämiseksi tulee kertominen ja jakaminen merkitä näkyviin samaan aikaan, eli kerrotaan murtoluvulla ( yhteinen_tekijä / yhteinen tekijä ), mutta vain nimittäjällä jakaminen suoritetaan, osoittajan jäädessä tulon tekijäksi.
Tuollainen murtolukuhan on aina yksi, sillä nimittäjä on sama kuin osoittaja, tulee kuitenkin muistaa aina tarkistaa ettei kerro murtoluvulla 0/0, silloin menee pieleen, eli tällainen vaikuttaa määrittelyjoukkoon, jolla tempun jälkeinen yhtälö on yhtäpitävä sitä edeltäneen kanssa.
Tämä kannattaa aina merkitä näkyviin (siis se, millä arvoilla nimittäjä ei ole nolla tuossa murtoluvussa) ja ottaa sen vaikutus myöhemmin huomioon, eli tarkistaa mitä alkuperäiselle tehtävälle kävisi niillä arvoilla, joilla murtoluku olisi 0/0, ja sen jälkeinen ratkaisuyritys siis väärä !

njp153
Vaikka saisinkin tuon yhtälön derivoitua tuolaiseen muotoon, niin jos kerron tuon auki niin se on korkeamman asteen yhtälö. Miten siis tapahtuu tämä "yhteisen tekijän ottaminen"? Voisiko joku selittää sen niin yksinkertaisesti selitettynä, että ymmärrän?

Ai uudestaanko ?
15 = 15 * 3/3 = 3 * (15/3) = 3 * ( 5) = 3 * 5
Ei se paljon tuosta yksinkertaisemmaksi taida mennä, tuossa yhteinen tekijä siis on 3
Alkuperäisessä tehtävässä se taas _muistaakseni_oli 2 * (a + 8 ) / a^3, jolloin murtoluku on :
{2 * (a + 8 ) / a^3} [size=150:3k5z8ey5]/ [/size:3k5z8ey5] { 2 * (a + 8 ) / a^3 }

Ps, miten tehtävä liittyy raja-arvoihin, kuten ketjun otsikossa mainitaan ?

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
njp153
Kun derivoin tuon alkup. yhtälön f(a) = [(a+8)/a]^2 + (a+8)^2 saan vastaukseksi aina jotain ihan kamalaa siansaksaa.. Osaisiko joku kertoa vaihe vaiheelta, miten tuo derivointi noin simppeliin muotoon käy?

Toinen termi (a+8)^2 on muotoa g(a)^2, jolloin derivaatta on 2 g'(a) g(a) = 2 (1) (a+8) = 2 (a+8).

Ensimmäinen termi on muotoa (a+8)^2 / a^2 = e(a) h(a), jossa h(a) = a^(-2) ja e(a) = g(a)^2, jonka derivaatta laskettiin jo äsken. Siispä sen derivaatta on e'(a) h(a) + e(a) h'(a) = 2 (1) (a+8) a^(-2) + (a+8)^2 (-2 a^-3) = 2 (a+8) / a^2 - 2 (a+8)^2 / a^3.

Siispä kokonaisuudessaan saadaan:

f'(a) = 2 (a+8) / a^2 - 2 (a+8)^2 / a^3 + 2 (a+8)

jossa sulkuja ei kannata kertoa auki.

njp153
Toinen kysymys: Miten ihmeessä saadaan a^3=8 ?? Eli siis: miten tuo yhteinen tekijä otetaan.. Vaikka saisinkin tuon yhtälön derivoitua tuolaiseen muotoon, niin jos kerron tuon auki niin se on korkeamman asteen yhtälö. Miten siis tapahtuu tämä "yhteisen tekijän ottaminen"? Voisiko joku selittää sen niin yksinkertaisesti selitettynä, että ymmärrän?

Tekijän 2 (a+8) ottaminen on varmaan ihan selvää:

2 (a+8) / a^2 - 2 (a+8)^2 / a^3 + 2 (a+8)
= 2 (a+8) (1 / a^2 - (a+8) / a^3 + 1)

Sen jälkeen sulkujen sisällä olevat voi kertoa a^3:lla (jonka on toki oltava eri suuri kuin nolla) ja vastaavasti edessä olevan termin jakaa a3:lla, jolloin saadaan

= 2 (a+8)/a^3 (a - (a+8) + a^3)
= 2 (a+8)/a^3 (-8 + a^3)

Derivaatan nollakohta saadaan kun

2 (a+8)/a^3 (-8 + a^3) = 0

Todetaan, että kertoimen nollakohdat ovat a = -8 ja a = +-ääretön, jotka eivät käy, jolloin ainut vaihtoehto on

a^3 = 8

jonka juurista kelpaa vain se reaalinen eli a = 2.

Vierailija

Joo nyt selkisi :) kiitos kaikille vastanneille!

Kiitos etenkin, Stratonovich, toi oli tosi selvästi kerrottu :) Sitä jäin miettimään, että mistä sait ne nollakohdat plusmiinus ääretön? :) Ja toinen kysymys voisi olla, että mistä "älysit" käyttää juuri noita tiettyjä kertoimia sieventäessä yhtälöä? Ok, tuo 2(a+8) on ihan selvä, mutta esimerkiksi a^3 ? Millä logiikalla noita ketoimia kannattaa lähteä metsästämään?

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
njp153
Joo nyt selkisi kiitos kaikille vastanneille!

Kiitos etenkin, Stratonovich, toi oli tosi selvästi kerrottu Sitä jäin miettimään, että mistä sait ne nollakohdat plusmiinus ääretön? Ja toinen kysymys voisi olla, että mistä "älysit" käyttää juuri noita tiettyjä kertoimia sieventäessä yhtälöä? Ok, tuo 2(a+8) on ihan selvä, mutta esimerkiksi a^3 ? Millä logiikalla noita ketoimia kannattaa lähteä metsästämään?


Ne "nollakohdat" +-ääretön eivät nyt ihan tarkkaan ottaen ole edes olemassa. Ne vaan tarkoittavat sitä, että onhan periaatteessa tällä yhtälöllä

1/a^3 = 0

"ratkaisut" +-ääretön, koska lim 1/a^3 --> 0 kun a --> +-oo. Se on sitten pidempi tarina milloin tästä on oikeasti hyötyä.

Se a^3 tulee vaan siitä, että halusin pois kaikki jakamiset a:lla. Ihan yhtä hyvin olisi voinut ottaa vain sen 2(a+8) kertoimen ja tutkia tätä yhtälöä:

(1 / a^2 - (a+8) / a^3 + 1) = 0

sitten kerrotaan puolittain a^3:lla, jolloin saadaan:

(a - (a+8) + a^3) = 0

Se a^3 tuli mukaan juurikin siitä, että tätä ylläolevaa tapaa ajateltiin takaraivossa, mutta tuolla yhteiseksi tekijäksi ottamisessa säätyttiin monen erikoistapauksen tutkimiselta.

Yleensä ottaen kaikki kerrointen keksimiset yms tulevat "insinööri-intuitiolla" tai "fyysikkointuitiolla" tai miksi sitä haluaakaan kutsua. Siis kun on tarpeeksi kauan integraalilaskentaa pyörittänyt, kaikki toimivat laskentatavat, sijoitukset, kerroinkikat ja sellaiset tulevat ulkomuistista kun muistaa ratkaisseensa joskus menneisyydessä samankaltaisen laskun.

Uusimmat

Suosituimmat