Juurifunktio vai murtopotenssifunktio?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Hei!

Miksi yhtälöllä x^(1/7) +1 ei ole nollakohtia, jos yhtälöllä (seitsemäsjuuri)x + 1 on?

Eikös x^(1/7) ja (seitsemäsjuuri)x ole sama asia?

Esimerkki:
[(seitsemäsjuuri)x - 1] * [(viidesjuuri)x +1] = 0
Vast: x=plusmiinus 1

kun taas:
[x^(1/6)) - 1] * [x^(1/7) + 1] = 0
Vast: x = 1

Miksi x=-1 ei käy? kun eikös tuon murtopotenssifunktion x^(1/7) voi muuttaa juurifunktioksi (seitsemäsjuuri)x ? Laskin antaa nollakohdaksi ainakin -1, miksi sitä ei hyväksytä vastaukseen?

Kommentit (13)

Vierailija

Tos oli joku sellanen juttu, että murtopotenssia sisältävä funktio on määritelty vain ei-negatiivisille luvuille.. googleta

Vierailija

Kirjassani (Calculus 4) lukee kyllä, että "murtopotenssissa kantaluvun x arvot rajataan pelkästään positiivisiin lukuihin", mutta sitä ei selitetä tarkemmin.

Miksen siis voisi tehdä toisessa esimerkissäni:
[x^(1/6)) - 1] * [x^(1/7) + 1] = 0
Tulon nollasääntö -> Toinen tai molemmat kerrottavat nollia.
[x^(1/6)) - 1] = 0
x^(1/6) = 1 | korotetaan puolittain kuudenteen potenssiin
x = 1

TAI

[x^(1/7) + 1] = 0
x^(1/7) = -1
murtopotenssien kantaluvut voivat olla vain positiivisia, MUTTA:
x^(1/7) = (seitsemäsjuuri)x , joten saadaan
(seitsemäsjuuri)x = -1 | korotetaan puolittain seitsemään
x = -1

Miksei noin voi menetellä? Eivätkö juurifunktio ja sitä vastaava murtopotenssifunktio olekaan sama asia. Olen käsittänyt, että (neliöjuuri)x = x^(1/2), (kuutiojuuri)x = x^(1/3) ... (n-juuri)x = x^(1/n). Näin ollen myös vastaus x = -1 täytyisi olla hyväksyttävä.

Vierailija

Joo no... oma openi pyöritteli taululla esimerkin, minkä kautta hän päätyi ristiriitaan, kun oletti, että murtopotenssin kantaluvut kattaisivat myös negatiiviset arvot. Taisi perustua siihen, ettei parillinen juuri tuota negatiivisella juurrettavalla reaalilukuarvoa...

Itse tyydyn vaan uskomaan, että asia nyt on näin, kun kerran olen ristiriitatilanteen päässyt näkemäänkin.

Vierailija

Kyllä minäkin uskon tämän väitteen: "murtopotenssissa kantaluvun x arvot rajataan pelkästään positiivisiin lukuihin", vaikka ilman perustelujakin.

Kysymys kuuluukin:
SAAKO juurifunktiota muuttaa murtopotenssifunktioksi ja päinvastoin, ja milloin se muuttuja saa olla myös negatiivinen, milloin ei saa?

Eli siis: toiminko tuossa esimerkissäni #2 "laillisesti" kun muutin murtopotenssifunktion juurifunktioksi?

Edit: typo

Vierailija

Ja vielä toisin sanoen:
Esimerkki 2:
[x^(1/6)) - 1] * [x^(1/7) + 1] = 0
Vastaus: x = 1 (miten siihen on päästy lukee ylhäällä)

Jos esimerkki 2 olisikin
[(kuudesjuuri)x - 1] * [(seitsemäsjuuri)x +1] = 0
Saataisiinko silloin vastaukseksi
x = 1 vaiko
x = plusmiinus 1 ?

PPo
Seuraa 
Viestejä11618
Liittynyt10.12.2008
njp153
Ja vielä toisin sanoen:
Esimerkki 2:
[x^(1/6)) - 1] * [x^(1/7) + 1] = 0
Vastaus: x = 1 (miten siihen on päästy lukee ylhäällä)

Jos esimerkki 2 olisikin
[(kuudesjuuri)x - 1] * [(seitsemäsjuuri)x +1] = 0
Saataisiinko silloin vastaukseksi
x = 1 vaiko
x = plusmiinus 1 ?


x=1 on ainoa ratkaisu koska yhtälön määrittelyehto on, että x>=0, mikäli rajoitutaan reaalilukuihin.

Vierailija
njp153
Kirjassani (Calculus 4) lukee kyllä, että "murtopotenssissa kantaluvun x arvot rajataan pelkästään positiivisiin lukuihin", mutta sitä ei selitetä tarkemmin.



Asia on perusteltu kirjassa Lukion Calculus 1, jossa murtopotenssit ensimmäistä kertaa määritellään. Perustelu on oleellisesti sama kuin Abskissan antamassa linkissä Wikipediaan.

Jos joudut käsittelemään murtopotenssifunktioita, kannattaa määrittelyehto tutkia heti aluksi, ja verrata saatuja johtopäätöksiä (esim. yhtälöiden ratkaisuja) tuohon määrittelyehtoon.

Lukion jälkeisissä opinnoissa on kumminkin parasta varautua myös siihen, että kirjallisuudessa murtopotensseilla merkitään joskus juuria ihan vain symbolisessa mielessä. Siis kirjailija ei osaa tai viitsi kirjoittaa juurimerkkiä tai todennäköisemmin juurimerkki sopii ympäristönsä typografiseen asuun huonommin kuin muodossa m/n kirjoitettu murtoluku. Tällöin mitään määrittelyalueen rajoituksia tietenkään ei ole olemassa, kun merkintätapa on vain valittu toiseksi kuin tavanomainen. Ainakin Robert Adamsin analyysin kirjoissa näkyy tätä harmillista tapaa.

Vierailija

Siis kantaluvun täytyy olla aina >0 (ks. yllä linkattu Wiki) ja n:s juuri on aina ekvivalentti ^(1/n):n kanssa. Ei niillä ole mitään muuta eroa kuin merkintätapa.

Vierailija
EemeIi
Siis kantaluvun täytyy olla aina >0 (ks. yllä linkattu Wiki) ja n:s juuri on aina ekvivalentti ^(1/n):n kanssa. Ei niillä ole mitään muuta eroa kuin merkintätapa.



Jos luet aloitusviestin, huomaat, että seitsemäs juuri -1: stä on -1 mutta -1:n seitsemäsosapotenssi ei ole -1 vaan määrittelemätön. Eli on niillä eroa.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
njp153
Miksi yhtälöllä x^(1/7) +1 ei ole nollakohtia, jos yhtälöllä (seitsemäsjuuri)x + 1 on?

Eikös x^(1/7) ja (seitsemäsjuuri)x ole sama asia?


Se syy tähän lukiomatematiikassa väitettyyn ei-yhtäsuuruuteen lienee tämä:

x^(1/7) = x^(2/14) = (x^2)^(1/14)

Yhtälöllä, joka vastaa muotoa x^(1/7) on kyllä periaatteessa ratkaisu x = -1:

x^(1/7) = -1

koska

(-1)*(-1)* (-1)*(-1)* (-1)*(-1)* (-1) = -1

Sen sijaan yhtäpitävää muotoa (x^2)^(1/14) vastaavalla ei ole:

(x^2)^(1/14) = -1

koska x^2 on aina positiivinen, eikä minkään 14 kpl positiivisen luvun tulo voi olla negatiivinen. Nähtävästi (seisemäsjuuri)x = -1 tarkoittaa aina puhtaasti tuota ensimmäistä muotoa, jolla on ylläolevassa mielessä ratkaisu.

Sen sijaan jos tunnustetaan kompleksilukujen olemassaolo ja se, että esimerkiksi yhtälöllä

x^7 = -1

on olemassa 7 eri ratkaisua, voidaan positiivisiin lukuihin rajoittuminen unohtaa, koska kaikki toimii loogisesti riippumatta murtolukujen lavennuksista. Esimerkiksi yhtälölle

(x^2)^(1/14) = -1

saadaan, että x:n vaihekulmalle a pitää päteä

2a/14 = pi + 2pi n

josta

a = 7 pi + 14 pi n

eli x = cos(a) + i sin(a) = -1.

Vierailija

Jos kantaluku on negatiivinen, niin sen ei-kokonaislukupotenssit eivät ole yksikäsitteisiä. Jos haara kiinnitetään, niin ratkaisu voidaan sovitulta haaralta valita, mutta "tuttuja laskusääntöjä" ei voi huolettomasti käyttää. Jos operaatioiden järjestystä vaihtaa, niin samalla saattaa vaihtaa myös haaraa ja laskuissa ei olekaan mitään järkeä.

Uusimmat

Suosituimmat