Kaavaa lukujonolle

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Onko mahdollista muodostaa jonkinlaista kaavaa, jolla voisi laskea n:nen termin tälle lukujonolle:

a1 = 100
a2 = 300
a3 = 600
a4 = 1000
a5 = 1500
a6 = 2100
a7 = 2800
.
.
.

Ei ole siis aritmeettinen tai geometrinen, ja jos en vallan erehdy, niin rekursiivinen sääntö olisi an = an-1 + 100n. Pitääkö lukujonon olla aritmeettinen tai geometrinen, että kaavan voi määrittää? Saishan tuota käsin taulukoitua ties mihin asti, mutta jos vaikka 150. termi pitäs tietää, niin tylsää ainakin mulla tulis taulukoidessa.

Sivut

Kommentit (18)

Vierailija

On, ja oikeastaan melko helppoa, jos lähtee miettimään rekursiivisesti. Rekursiokaava on siis
a(n) = a(n-1) + 100n,
ja ensimmäinen termi a(1) = 100. Kirjoitetaan a(n):n lauseketta auki soveltaen rekursiokaava tarvittava määrä:
a(n) = a(n-1) + 100n = a(n-2) + 100(n-1) + 100n = ...
= a(1) + 100*2 + 100*3 + ... + 100*n = 100*(1+2+3+...+n) = 100*n*(n+1)/2.

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
Josef Mengele
a1 = 100
a2 = 300
a3 = 600
a4 = 1000
a5 = 1500
a6 = 2100
a7 = 2800

Jos kaikki muu pettää, niin sinulla on äärettömän monta polynomifunktiota, joista valita. Näistä yhtälöistä ratkeaa yksi:
f(x)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g
f(1)=100
f(2)=300
f(3)=600
f(4)=1000
f(5)=1500
f(6)=2100
f(7)=2800

Voit myös ratkaista tehtävän Excelin avulla syöttämällä arvot pistepareina koordinaatistoon ja sovittamalla 6. asteen polynomikäyrällä. Se tarjoaa ratkaisuksi juuri tuota samaa polynomifunktiota.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26912
Liittynyt16.3.2005
petsku
Jos kaikki muu pettää, niin sinulla on äärettömän monta polynomifunktiota, joista valita. Näistä yhtälöistä ratkeaa yksi:



Tietysti voidaan löytää polynomi, joka sovittuu täydellisesti mihin tahansa pistejoukkoon. Mutta jos ajatellaan fysikaalisia suureita, kovin korkean asteen polynomit ovat yleisesti erittäin huonoja interpolointikäytössä ja aivan luokattoman huonoja ekstrapoloinnissa, koska niillä on taipumus oskilloida määrätttyjen pisteiden välissä sitä enemmän mitä korkeampi aste on. Ennemmin interpolointiin käytetään joukkoa matalan asteen polynomeja, jotka sidotaan toisiinsa sopivilla jatkuvuusehdoilla. Niitä kutsutaan splineiksi. Ekstrapolointiin splinitkään eivät sovellu.

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
Neutroni
petsku
Jos kaikki muu pettää, niin sinulla on äärettömän monta polynomifunktiota, joista valita. Näistä yhtälöistä ratkeaa yksi:



Tietysti voidaan löytää polynomi, joka sovittuu täydellisesti mihin tahansa pistejoukkoon. Mutta jos ajatellaan fysikaalisia suureita, kovin korkean asteen polynomit ovat yleisesti erittäin huonoja interpolointikäytössä ja aivan luokattoman huonoja ekstrapoloinnissa, koska niillä on taipumus oskilloida määrätttyjen pisteiden välissä sitä enemmän mitä korkeampi aste on.

Harvinaisen totta. Mutta kun nämä määrää-lukujonon-seuraava-luku-tehtävät ovat aina niin epämääräisesti määritellyt, niin ei tuo ainakaan matemaattisesti väärä tapa ole.

Vierailija
petsku
Harvinaisen totta. Mutta kun nämä määrää-lukujonon-seuraava-luku-tehtävät ovat aina niin epämääräisesti määritellyt, niin ei tuo ainakaan matemaattisesti väärä tapa ole.



Öö, olitko siis aluksi tosissasi? Pidin tuota vitsinä -- jopa hyvänä sellaisena

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
kurnimaha
Öö, olitko siis aluksi tosissasi? Pidin tuota vitsinä -- jopa hyvänä sellaisena

Kyllä meillä lukiossa laajan matematiikan maikka neuvoi noin tekemään, mikäli kirjoituksissa tulisi vastaava lukujonotehtävä vastaan, ja mikäli ei muuten lähtisi aukeamaan. Tärkeintähän on, että osaa matemaattisesti perustella valintansa jonon seuraaviksi jäseniksi.

E: Evotin lainaukset, fiksasin...

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Kaikki tehtävät muotoa "määrää lukujonon x(1), x(2), x(3), .... seuraava termi" ovat tiukan matemaattisessa mielessä mahdottomia ratkaista. Joissain tehtävissä voidaan ajatella, että jonon tyyppi pitäisi tunnistaa, mutta jos tätä ei ole selvästi mainittu, niin mikä hyvänsä vastaus on perusteltavissa.

We're all mad here.

Vierailija
abskissa
Kaikki tehtävät muotoa "määrää lukujonon x(1), x(2), x(3), .... seuraava termi" ovat tiukan matemaattisessa mielessä mahdottomia ratkaista. Joissain tehtävissä voidaan ajatella, että jonon tyyppi pitäisi tunnistaa, mutta jos tätä ei ole selvästi mainittu, niin mikä hyvänsä vastaus on perusteltavissa.



Letkautuksellani en tarkoittanut sitä, että tuo esitetty polynomi ei kelpaisi ratkaisuksi vaan sitä, että ratkaisu on aivan turhan monimutkainen. Tehtävänanto on mielestäni tulkittavissa niin, että siinä pyydetään antamaan esimerkki sellaisesta jonosta, joka täyttää vaaditut ehdot. Jos tuolle polynomilinjalle lähtee (ja samalla päättää, ettei piittaa tehtävässä esiintyvästä kuviosta), niin olisi kai sama vain määritellä jono (a_n) vaikkapa näin:

a_1 = 100, a_2 = 300, ... , a_7 = 2800 ja a_n=0, jos n>7.

Mielestäni matematiikassa tulisi pyrkiä paitsi elementaarisuuteen myös yksinkertaisuuteen ellei tehokkaampien työkalujen käytölle pysty jotain erityistä perustelua antamaan. Tuskin sinäkään vetoat valinta-aksioomaan ja valintafunktion olemassaoloon, kun jossain jatkuvuustodistuksessa valitset kahdesta kiinteästä luvusta sen pienemmän.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Juu, tuo antamasi esimerkkiratkaisu onkin jossain mielessä yksinkertaisin mahdollinen vastaus. Huomaa, että mainitsin nimenomaan, että tehtävä mahdoton vain "tiukan matemaattisessa mielessä". Tulkintaa voi tietenkin lisätä oman mielensä mukaan, jos siltä tuntuu ja etenkin jos olettaa tietävänsä, minkälaista ratkaisua tehtävässä haetaan.

Minulle on kuitenkin vähän epäselvää se, miten epämääräisesti muotoiltujen tehtävien piilo-oletusten mutu-arvailu kehittää matemaattista tai loogista ajattelua. Eikös koko homman juoni pitäisi olla siinä, että kaikki päättely tehdään mahdollisimman näkyväksi?

We're all mad here.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
kurnimaha
abskissa
Kaikki tehtävät muotoa "määrää lukujonon x(1), x(2), x(3), .... seuraava termi" ovat tiukan matemaattisessa mielessä mahdottomia ratkaista. Joissain tehtävissä voidaan ajatella, että jonon tyyppi pitäisi tunnistaa, mutta jos tätä ei ole selvästi mainittu, niin mikä hyvänsä vastaus on perusteltavissa.



Letkautuksellani en tarkoittanut sitä, että tuo esitetty polynomi ei kelpaisi ratkaisuksi vaan sitä, että ratkaisu on aivan turhan monimutkainen. Tehtävänanto on mielestäni tulkittavissa niin, että siinä pyydetään antamaan esimerkki sellaisesta jonosta, joka täyttää vaaditut ehdot. Jos tuolle polynomilinjalle lähtee (ja samalla päättää, ettei piittaa tehtävässä esiintyvästä kuviosta), niin olisi kai sama vain määritellä jono (a_n) vaikkapa näin:

Mutta tässä tapauksessahan "varman päälle" polynomisovituksesta vaikkapa Octavessa saadaan tällaista:

octave-3.2.3:34> x = (1:7)';
octave-3.2.3:35> X = [ones(size(x)) x x.^2 x.^3 x.^4 x.^5 x.^6];
octave-3.2.3:36> A = [100;300;600;1000;1500;2100;2800];
octave-3.2.3:37> X\A
ans =

0
50
50
-0
-0
0
0

eli f(x) = 50x + 50x^2 joka on ihan järkevä vastaus.

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
kurnimaha
a_1 = 100, a_2 = 300, ... , a_7 = 2800 ja a_n=0, jos n>7

Minäkin mietin vastaavaa, mutta en jaksanut polynomimenetelmän jälkeen sitä enää laittaa. Onpahan vähän enemmän urheiluhenkistä, kun ei mennä siitä mistä aita on matalin.

Vierailija
abskissa
Minulle on kuitenkin vähän epäselvää se, miten epämääräisesti muotoiltujen tehtävien piilo-oletusten mutu-arvailu kehittää matemaattista tai loogista ajattelua. Eikös koko homman juoni pitäisi olla siinä, että kaikki päättely tehdään mahdollisimman näkyväksi?



Niin, ei se mutuilu taida omaa ajattelua suuremmin kehittää, kun silloinhan lähtökohtaisesti tavoittelee jotain ennaltamäärättyä tyyppiratkaisua. Jos sen sijaan kehittelisi annetulle tehtävälle (oleellisesti) erilaisia ratkaisuja tai muokkaisi tehtävän oletuksia joiltain osin (eli siis laatisi itselleen uuden, mutta alkuperäiseen liittyvän tehtävän), niin hommasta tulisi mielestäni kehittävää.

Kuvioiden ja symmetrioiden rikkomisesta brute force -menetelmillä en tykkää siitä syystä, että tällöin ratkaisija ei harjaannu erottamaan oleellista epäoleellisesta. Hankalammissa tehtävissä noiden havaitsemisesta on usein hyötyä, kun niiden avulla tehtävän voi muotoilla yksinkertaisemmassa muodossa mitään oleellista muuttamatta.

Hmm, esimerkki saattaisi ehkä selittää paremmin, mitä ajan takaa. Olkoot a ja b annettuja tason pisteitä, a \neq b. Määritellään jono (x_n) rekursiivisesti

x_0 = a
x_1 = (a+b)/2
x_{n+2} = (x_n + x_{n+1})/2

Mikä on raja-arvo \lim_{n \to \infty} x_n ?

Brute force -tyyliin tehtävän voi tietty ratkaista tarkastelemalla tilannetta koordinaateittain, mutta aika työlästä on pidemmän päälle. Jos ei suinpäin alakaan laskuja räpeltää vaan miettii, mikä on oleellista, niin tilanteen saakin redusoitua paljon yksinkertaisemmaksi. Koordinaatiston rotaatiot, skaalaukset ja siirrot eivät mitään oleellista muuta (saadaan topologinen isomorfismi), joten voidaan aivan yhtä hyvin olettaa, että a = (0,0) ~ 0 ja b = (1,0) ~ 1 (tässä tildellä ~ meinaan siis lukusuoran R samaistamista tason R^2 aliavaruuden kanssa). Tuosta muunnetusta ongelmasta ratkaisu on paljon helpompi nähdä.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
kurnimaha
Hmm, esimerkki saattaisi ehkä selittää paremmin, mitä ajan takaa. Olkoot a ja b annettuja tason pisteitä, a \neq b. Määritellään jono (x_n) rekursiivisesti

x_0 = a
x_1 = (a+b)/2
x_{n+2} = (x_n + x_{n+1})/2

Mikä on raja-arvo \lim_{n \to \infty} x_n ?

Brute force -tyyliin tehtävän voi tietty ratkaista tarkastelemalla tilannetta koordinaateittain, mutta aika työlästä on pidemmän päälle. Jos ei suinpäin alakaan laskuja räpeltää vaan miettii, mikä on oleellista, niin tilanteen saakin redusoitua paljon yksinkertaisemmaksi. Koordinaatiston rotaatiot, skaalaukset ja siirrot eivät mitään oleellista muuta (saadaan topologinen isomorfismi), joten voidaan aivan yhtä hyvin olettaa, että a = (0,0) ~ 0 ja b = (1,0) ~ 1 (tässä tildellä ~ meinaan siis lukusuoran R samaistamista tason R^2 aliavaruuden kanssa). Tuosta muunnetusta ongelmasta ratkaisu on paljon helpompi nähdä.


Eikös tämä kuitenkin kannata ratkaista nimenomaan koordinaateittain, koska x_{n+2} = (x_n + x_{n+1})/2 on diagonaalinen muunnos, jolloin yhtä hyvin voi tutkia tapausta a = 0, b = 1? Tällöin tehtävä redusoituu yksiulotteiseksi differenssiyhtälöksi, jonka ratkaisu onnistuu vaikka ratkaisemalla sen generoiva funktio. Lopullinen vastaus saadaan sitten siirroilla ja skaalauksilla. Ei kannata tehdä yksinkertaisesta tehtävästä liian monimutkaista.

Vierailija
Stratonovich
Eikös tämä kuitenkin kannata ratkaista nimenomaan koordinaateittain, koska x_{n+2} = (x_n + x_{n+1})/2 on diagonaalinen muunnos, jolloin yhtä hyvin voi tutkia tapausta a = 0, b = 1? Tällöin tehtävä redusoituu yksiulotteiseksi differenssiyhtälöksi, jonka ratkaisu onnistuu vaikka ratkaisemalla sen generoiva funktio. Lopullinen vastaus saadaan sitten siirroilla ja skaalauksilla. Ei kannata tehdä yksinkertaisesta tehtävästä liian monimutkaista.



Heh, näkökulman helppous on varmaan kiinni ihan siitä, mihin on tottunut Olen aika pitkälti suuntautunut funktionaalianalyysiin ja topologiaan. Morfismien pyörittelyyn on siinä määrin tottunut, että yksinkertaisten morfismien huomaaminen on lähes automaattista.

Ratkaisun viimeistelyyn ajattelin alkeellisempia menetelmiä käyttää, kun numeerinen analyysi ei ole kovin hyvin hallussa. Semmoista mietin, että piirtää välin [0,1] ja siihen lätkisi muutaman ensimmäisen jonon termin. Aika nopsaan huomaa, mikä raja-arvon täytyy olla (jonon termit oskilloivat sen ympärillä). Kun vastauksen on arvannut, niin arvauksen todistaminen oikeaksi ei suurempia vaikeuksia teetä.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
kurnimaha
Stratonovich
Eikös tämä kuitenkin kannata ratkaista nimenomaan koordinaateittain, koska x_{n+2} = (x_n + x_{n+1})/2 on diagonaalinen muunnos, jolloin yhtä hyvin voi tutkia tapausta a = 0, b = 1? Tällöin tehtävä redusoituu yksiulotteiseksi differenssiyhtälöksi, jonka ratkaisu onnistuu vaikka ratkaisemalla sen generoiva funktio. Lopullinen vastaus saadaan sitten siirroilla ja skaalauksilla. Ei kannata tehdä yksinkertaisesta tehtävästä liian monimutkaista.



Heh, näkökulman helppous on varmaan kiinni ihan siitä, mihin on tottunut Olen aika pitkälti suuntautunut funktionaalianalyysiin ja topologiaan. Morfismien pyörittelyyn on siinä määrin tottunut, että yksinkertaisten morfismien huomaaminen on lähes automaattista.

Ratkaisun viimeistelyyn ajattelin alkeellisempia menetelmiä käyttää, kun numeerinen analyysi ei ole kovin hyvin hallussa. Semmoista mietin, että piirtää välin [0,1] ja siihen lätkisi muutaman ensimmäisen jonon termin. Aika nopsaan huomaa, mikä raja-arvon täytyy olla (jonon termit oskilloivat sen ympärillä). Kun vastauksen on arvannut, niin arvauksen todistaminen oikeaksi ei suurempia vaikeuksia teetä.


Se tapa mitä itse käytin on, että koodailin pienen skriptinpätkän joka laskee rekursiota eteenpäin ja sieltähän esimerkiksi vastaus 2/3 tapaukselle a=1 b=0 tulee helposti. Z-muunnos (http://en.wikipedia.org/wiki/Z-transform), joka on siis Laplace-muunnoksen diskreetti versio, skaalaariyhtälölle on

X(z) = 1/(1 - (1/2) z^-1 - (1/2) z^-2)

jolloin tapauksen a = 1, b = 0 ratkaisu saadaan myös näin:

lim_{z=1} (1-z^-1) X(z) = 2/3

Lineaarisuudesta seuraa, että mielivaltaisella a:lla kun b = 0, raja-arvo on 2a/3. Mielivaltaisten a:n ja b:n tapaus on saadaan tekemällä muuttujanvaihto y = x-b, jolloin y:n raja-arvo on 2(a-b)/3 ja siis x:n raja-arvo on 2a/3 + b/3. Siis myös jos a ja b ovat vektoreita.

Ei tuota vastausta ihan intuitiolla olisi arvannut.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat