Geometrinen ongelma

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Pitkän matematiikan opettajani esitti eräällä geometrian jatkokurssin tunnilla seuraavanlaisen ongelman. Kuulemma opettajani ystävät ollessaan interraililla olivat saaneet tehtävän eräältä ranskalaiselta insinööriltä. Tässä itse piirtämäni kuva tehtävästä.

Kolmio on tasakylkinen ja alfakulma pitäisi ratkaista. Tehtävä saattaa ensi silmäyksellä vaikuttaa yksinkertaiselta, sillä kolmiosta saa heti ratkaistua monta kulmaa. Kuitenkaan juuri niitä tiettyjä kulmia, jotka johtaisivat alfan ratkaisuun, ei saa selville, ainakaan kovin helposti. Tehtävään on olemassa varmasti ainakin kolme eri ratkaisua ja olen itse melkein keksinyt neljännen. Ratkaisustani puuttuu ainoastaan kahden kolmion osoittaminen yhdenmuotoisiksi, mikä on aika monimutkaista. Voin postata ratkaisuni tänne kunhan jossain vaiheessa saan sen piirretyksi.

Vielä pieni huomautus ratkaisijoille: tehtävän ratkaisussa ei saa käyttää trigonometrisia funktioita.

Kommentit (15)

Vierailija

Yritin ratkaista merkitsemällä kaikki heti ratkeamattomat kulmat kirjaimilla (8 kulmaa), ja kirjoittamalla näistä geometrian sääntöjän perusteella erilaisia yhtälöitä. Eipä ratkennut ainakaan heti.

planetisti
Seuraa 
Viestejä463
Liittynyt22.9.2008
stume618
Yritin ratkaista merkitsemällä kaikki heti ratkeamattomat kulmat kirjaimilla (8 kulmaa), ja kirjoittamalla näistä geometrian sääntöjän perusteella erilaisia yhtälöitä. Eipä ratkennut ainakaan heti.

Siellä on vain 4 tuntematonta kulmaa. Hämmentävää, miksi se ei ratkea suoraan noilla kulmilla

Vierailija
stume618
Yritin ratkaista merkitsemällä kaikki heti ratkeamattomat kulmat kirjaimilla (8 kulmaa), ja kirjoittamalla näistä geometrian sääntöjän perusteella erilaisia yhtälöitä. Eipä ratkennut ainakaan heti.



Opettajaltani meni 35 tuntia eikä silloinkaan saanut oikein, itselläni kesti 8 tuntia saada tämä lähes valmis ratkaisu.

Että ei ihan helpoimmasta päästä

Vierailija
planetisti
stume618
Yritin ratkaista merkitsemällä kaikki heti ratkeamattomat kulmat kirjaimilla (8 kulmaa), ja kirjoittamalla näistä geometrian sääntöjän perusteella erilaisia yhtälöitä. Eipä ratkennut ainakaan heti.

Siellä on vain 4 tuntematonta kulmaa. Hämmentävää, miksi se ei ratkea suoraan noilla kulmilla




Ainakaan käsin tämä ei itseltä kohtuullisessa ajassa ratkeaisi. Tietokoneella on helpompaa kun voi vaan heitellä yhtälöryhmiä koneen ratkaistavaksi.

Vierailija

Ja laskiessanne kulmia kolmion kulmien summan avulla varautukaa järkyttävään määrään tautologioita

Tehtävä on laadittu juuri tämän takia nerokkaasti, sillä kulmia löytyy todella paljon, mutta vain harvalla niistä tekee mitään.

Vierailija

Huomasin juu, että pienellä pähkäilyllä kolmiosta ratkeaa neljä kulma lisää, puolen tunnin näpertäminen yhtälöiden kanssa oli turhaa

Vierailija
mölkhö
alfan vastaiset kulmat ovat 90 ja 70, ja alfa itse 20



Valitettavasti väärin meni.

Voisitko kirjoittaa ratkaisusi tänne, olisi mielenkiintoista nähdä miten pääsit tulokseen

Vierailija

Oikea vastaus lienee 30 astetta. Kuviosta löytyy useitakin tasakylkisiä kolmioita sekä yhdenmuotoiset (tosin peilikuvina) kolmiot joista kulma ratkeaa.

Vierailija
korant
Oikea vastaus lienee 30 astetta. Kuviosta löytyy useitakin tasakylkisiä kolmioita sekä yhdenmuotoiset (tosin peilikuvina) kolmiot joista kulma ratkeaa.



Itsekin sain ratkaisun varmaan samoista yhdenmuotoisista peilikuvakolmioista, ainoa ongelma on, että niitä kolmioita on hyvin vaikea osoittaa yhdenmuotoisiksi.

Vierailija

Äkkiä ajateltuna näyttäisi kohtuullisen nopeasti ratkeavan asettamalla 60 asteen kulman keskuskulmaksi ja kulman a kehäkulmaksi.
Kolmion kulmat ovat aina ympyrän kehällä ja kehäkulma on puolet keskuskulmasta.
Meniköhän noin ?

Vierailija

Tarkistin kanssa solikalla. Näytti toimivan.
Viivoja jatkettiin niin, että saatiin näkyviin 60 asteen vastakulma, jonka kyljet sitten ristesivät kulman a jatkettujen kylkiviivojen kanssa samalla kehällä.

Uusimmat

Suosituimmat