Pisteiden etäisyyden laskeminen

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tiedossa on kolme pistettä, joiden etäisyydet toisistaan on tunnettu mutta neljännen pisteen etäisyydet muista kolmesta ovat tiedossa vain suhdelukuina. Osaisiko joku auttaa?
Esim. etäisyydet ilmoitetaan näin:
AB = 6,352
AC = 7,781
BC = 3,996

AD = 2,997y
BD = y
CD = 1,676y

Avusta ikuisesti kiitollinen
Store

Kommentit (4)

Vierailija

Mitähän tuo tarkoittaa: Esim etäisyydet ilmoitetaaan näin ?
Eivätkö nuo olekaan oikeat etäisyydet, ja olisiko kyseessä peräti suorakulmainen kolmio?

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009

Haiskahtaa taas vähän kotitehtävälaiskuudelta, kun suoraan kysytään vastausta (tai eihän aloittaja oikeastaan viestissään mitään kysynytkään — esitti vain tehtävän ), mutta jeesaanpa nyt kuitenkin:

Asetetaan A origoon ja C x-akselille, ratkaistaan B:n sijainti kosinilauseella ja trigonometrialla:
BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*bc <=> bc=(AB^2+AC^2-BC^2)/(2*AB*AC)
cos(bc)=x_B/AB <=> x_B=AB*cos(bc)
sin(bc)=y_B/AB <=> y_B=AB*sin(bc)
Piirrä tapaus, niin hahmottanet mistä nämä tulevat. Janan BC vastinkulmaa on merkitty bc:llä.

Pythagoraan lauseesta saadaan seuraavat yhtälöt (vaihdoin annetun tuntemattoman z:ksi selkeyden vuoksi):
AD^2=x_D^2+y_D^2=(2,997z)^2
BD^2=(x_D-x_B)^2+(y_D-y_B)^2=z^2
CD^2=(x_D-AC)^2+y_D^2=(1,676z)^2
Selvinnet tästä yhtälöryhmästä mekaanisella kaavanpyörittelyllä. Piirrä kuva!

Itse en piirtänyt kuvaa, vaan hahmottelin ratkaisun päässäni, joten en takaa sen oikeellisuutta. Siitäkin syystä en tarjoa tämän kummempia havainnollistuksia — tehtävän ratkaisu on muutenkin parempi hahmottaa itse. Sijoitukset on värikoodattu.

Vierailija

Voidaan soveltaa myös vaikka pythagoraan lausetta.

a^2 + b^2 = c^2 jossa a ja b ovat neliön sivun pituudet ja c on lävistäjän pituus.

Tästä voidaan sitten laskea pisteiden koordinaatteja, kun kahden pisteen sijainti määrätään.

Otetaan siis vaikka pisteet A ja B

Sanotaan että A on pisteessä 0;0 ja B on pisteessä 0;6,352.
Näin on ensimmäisen rivin ehto täytetty ja jana AB määritelty.

C etäisyys A:sta on (a-0)^2 + (b-0)^2 = 7,781^2
C etäisyys B:stä on (a-0)^2 + (b-6,352)^2 = 3,996^2

Nyt ratkaistaan yhtälöparista a ja b jolloin saadaan pisteen C koordinaatit.
a^2 + b^2 = 7,781^2
a^2 + (b-6,352)^2 = 3,996^2

En jaksa tässä alkaa ratkomaan tuota, mutta siitä saadaan lopulta ratkaisu jossa C:n koordinaateille a;b on olemassa kaksi mahdollista vaihtoehtoa. Niistä vain valitaan toinen, jonka jälkeen meillä on alkuehdot täyttävät koordinaatit pisteille A B C.

Sitten pisteen D koordinaatit ratkaistaan hieman samaan tapaan.
AD etäisyys on (x-0)^2 + (z-0)^2 = (2,997y)^2
BD etäisyys on (x-0)^2 + (z-6,352)^2 = y^2
CD etäisyys on (x-a)^2 + (z-b)^2 = (1,676y)^2

Tässä nyt x;z on sen D pisteen koordinaatit ja a;b on C pisteen koordinaatit. Taas tehdään yhtälöryhmän ratkaisu, ja lopputulokseksi pitäisi tulla vain yksi mahdollinen piste. Tätä ratkaistessa kannattanee ensin pyöritellä ulos että mitä on y^2, jotta sen voi eliminoida ulos laskusta. Sitten lopuksi kun koordinaatit on selvillä, niin ottaa yhden janan ja laskee siitä että mikä on y:n numeroarvo.

Esim. koska toisen rivin perusteella y^2 = x^2 + (z-6,352)^2 niin ensimmäinen rivi voidaan kirjoittaa muotoon x^2 + z^2 = 2,997^2 * x^2 + 2,997^2 * (z-6,352)^2
Sievennettynä z^2 = 1,997^2 * x^2 + 2,997^2 * (z-6,352)^2
jne. pelkkää pyörittelyä. Työlästä, mutta lopulta ulos tulee se ainut mahdollinen paikka missä piste D voi olla ja sen perusteella voidaan laskea mitä on y.

Vierailija

Hyvin vaikea laskea paperilla, mutta näin se käy.
Piirretään B origoon ja A (6.352,0) .C menee pisteeseen (-0.3328,3.982)

Ne kolme Pythagoraalla saatavaa yhtälöä ovat:

x^2+y^2=k^2
(6.352-x)^2+y^2=2.997^2*k^2
(x+0.3328)^2+(3.982-y)^2=1.676^2*k^2

Sitten laitoin tuon yhtälöryhmän tonne:

http://www50.wolframalpha.com/input/?i= ... %5E2*k%5E2

Kaksi alinta käy ratkaisuiksi, siis k=1.793, x=1.156, y=1.371 , tai k=3.165, x=-3.12, y=-0.532

Uusimmat

Suosituimmat