Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tiedossa on kolme pistettä, joiden etäisyydet toisistaan on tunnettu mutta neljännen pisteen etäisyydet muista kolmesta ovat tiedossa vain suhdelukuina. Osaisiko joku auttaa?
Esim. etäisyydet ilmoitetaan näin:
AB = 6,352
AC = 7,781
BC = 3,996

AD = 2,997y
BD = y
CD = 1,676y

Avusta ikuisesti kiitollinen
Store

Kommentit (4)

Mitähän tuo tarkoittaa: Esim etäisyydet ilmoitetaaan näin ?
Eivätkö nuo olekaan oikeat etäisyydet, ja olisiko kyseessä peräti suorakulmainen kolmio?

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009

Haiskahtaa taas vähän kotitehtävälaiskuudelta, kun suoraan kysytään vastausta (tai eihän aloittaja oikeastaan viestissään mitään kysynytkään — esitti vain tehtävän ), mutta jeesaanpa nyt kuitenkin:

Asetetaan A origoon ja C x-akselille, ratkaistaan B:n sijainti kosinilauseella ja trigonometrialla:
BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*bc <=> bc=(AB^2+AC^2-BC^2)/(2*AB*AC)
cos(bc)=x_B/AB <=> x_B=AB*cos(bc)
sin(bc)=y_B/AB <=> y_B=AB*sin(bc)
Piirrä tapaus, niin hahmottanet mistä nämä tulevat. Janan BC vastinkulmaa on merkitty bc:llä.

Pythagoraan lauseesta saadaan seuraavat yhtälöt (vaihdoin annetun tuntemattoman z:ksi selkeyden vuoksi):
AD^2=x_D^2+y_D^2=(2,997z)^2
BD^2=(x_D-x_B)^2+(y_D-y_B)^2=z^2
CD^2=(x_D-AC)^2+y_D^2=(1,676z)^2
Selvinnet tästä yhtälöryhmästä mekaanisella kaavanpyörittelyllä. Piirrä kuva!

Itse en piirtänyt kuvaa, vaan hahmottelin ratkaisun päässäni, joten en takaa sen oikeellisuutta. Siitäkin syystä en tarjoa tämän kummempia havainnollistuksia — tehtävän ratkaisu on muutenkin parempi hahmottaa itse. Sijoitukset on värikoodattu.

Voidaan soveltaa myös vaikka pythagoraan lausetta.

a^2 + b^2 = c^2 jossa a ja b ovat neliön sivun pituudet ja c on lävistäjän pituus.

Tästä voidaan sitten laskea pisteiden koordinaatteja, kun kahden pisteen sijainti määrätään.

Otetaan siis vaikka pisteet A ja B

Sanotaan että A on pisteessä 0;0 ja B on pisteessä 0;6,352.
Näin on ensimmäisen rivin ehto täytetty ja jana AB määritelty.

C etäisyys A:sta on (a-0)^2 + (b-0)^2 = 7,781^2
C etäisyys B:stä on (a-0)^2 + (b-6,352)^2 = 3,996^2

Nyt ratkaistaan yhtälöparista a ja b jolloin saadaan pisteen C koordinaatit.
a^2 + b^2 = 7,781^2
a^2 + (b-6,352)^2 = 3,996^2

En jaksa tässä alkaa ratkomaan tuota, mutta siitä saadaan lopulta ratkaisu jossa C:n koordinaateille a;b on olemassa kaksi mahdollista vaihtoehtoa. Niistä vain valitaan toinen, jonka jälkeen meillä on alkuehdot täyttävät koordinaatit pisteille A B C.

Sitten pisteen D koordinaatit ratkaistaan hieman samaan tapaan.
AD etäisyys on (x-0)^2 + (z-0)^2 = (2,997y)^2
BD etäisyys on (x-0)^2 + (z-6,352)^2 = y^2
CD etäisyys on (x-a)^2 + (z-b)^2 = (1,676y)^2

Tässä nyt x;z on sen D pisteen koordinaatit ja a;b on C pisteen koordinaatit. Taas tehdään yhtälöryhmän ratkaisu, ja lopputulokseksi pitäisi tulla vain yksi mahdollinen piste. Tätä ratkaistessa kannattanee ensin pyöritellä ulos että mitä on y^2, jotta sen voi eliminoida ulos laskusta. Sitten lopuksi kun koordinaatit on selvillä, niin ottaa yhden janan ja laskee siitä että mikä on y:n numeroarvo.

Esim. koska toisen rivin perusteella y^2 = x^2 + (z-6,352)^2 niin ensimmäinen rivi voidaan kirjoittaa muotoon x^2 + z^2 = 2,997^2 * x^2 + 2,997^2 * (z-6,352)^2
Sievennettynä z^2 = 1,997^2 * x^2 + 2,997^2 * (z-6,352)^2
jne. pelkkää pyörittelyä. Työlästä, mutta lopulta ulos tulee se ainut mahdollinen paikka missä piste D voi olla ja sen perusteella voidaan laskea mitä on y.

Hyvin vaikea laskea paperilla, mutta näin se käy.
Piirretään B origoon ja A (6.352,0) .C menee pisteeseen (-0.3328,3.982)

Ne kolme Pythagoraalla saatavaa yhtälöä ovat:

x^2+y^2=k^2
(6.352-x)^2+y^2=2.997^2*k^2
(x+0.3328)^2+(3.982-y)^2=1.676^2*k^2

Sitten laitoin tuon yhtälöryhmän tonne:

http://www50.wolframalpha.com/input/?i= ... %5E2*k%5E2

Kaksi alinta käy ratkaisuiksi, siis k=1.793, x=1.156, y=1.371 , tai k=3.165, x=-3.12, y=-0.532

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat