Seuraa 
Viestejä45973

Löytääkö joku ratkaisun yhtälöryhmään?

a/b = 0
b/a = 0

tyhmä

Sivut

Kommentit (62)

Itse näin lukiomatikalle sanoisin ettei ole ratkaisua ainakaan reaaliluvuissa.

Määrittelyjoukot:

b=/=0
a=/=0

(nollalla jakamista ei ole määritelty)

a/b=0 || *b
a=0

b/a=0 || *a
b=0

Kumpikaan ei sovi määrittelyjoukkoon

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla

Eipä tuossa mistään äärettömistä tainnut CE puhua. En kyllä vannomaan menisi, mutta näin arkijärjellä ajatellen on ääretön/ääretön määritelty samoin kuin mikä vain luku jaettuna samalla luvulla. Eipä ääretöntä voi oikein kyllä normaaliksi luvuksi tosin ajatellakaan. Joku asiasta tietävämpi voinee opastaa.

Ellen ihan väärin satu muistamaan niin luku jaettuna itsellään on 1 eikä 0 eli a=b ei toimi.

x/x=1/1=1 || x€R

Ielmoere
Eipä tuossa mistään äärettömistä tainnut CE puhua. En kyllä vannomaan menisi, mutta näin arkijärjellä ajatellen on ääretön/ääretön määritelty samoin kuin mikä vain luku jaettuna samalla luvulla. Eipä ääretöntä voi oikein kyllä normaaliksi luvuksi tosin ajatellakaan. Joku asiasta tietävämpi voinee opastaa.

Ellen ihan väärin satu muistamaan niin luku jaettuna itsellään on 1 eikä 0 eli a=b ei toimi.

x/x=1/1=1 || x€R


SItä tarkoitinkin että realiiluku jaettuna itsellään on aina yksi eikä käy ratkaisuksi. Sitten kävin vielä läpi toisen ääriarvon varmuuden vuoksi. Nollalla jakaminen olikin jo käsitelty joten en sitä enää käynyt.

Socrates
Seuraa 
Viestejä8971

Yksinkertaisilta näyttävät matematiikan lauseet saattavat olla yllättävän vaikeita todistaa oikeiksi, esimerkkinä Fermatin kuulu a^2 + b^2 = c^ , jonka todistaminen (että se toteutuu vain eksponentilla 2) vei yli 400 vuotta, britti Wiles vasta muutamia vuosia sitten esitti todisteet.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Ielmoere
Eipä tuossa mistään äärettömistä tainnut CE puhua. En kyllä vannomaan menisi, mutta näin arkijärjellä ajatellen on ääretön/ääretön määritelty samoin kuin mikä vain luku jaettuna samalla luvulla. Eipä ääretöntä voi oikein kyllä normaaliksi luvuksi tosin ajatellakaan. Joku asiasta tietävämpi voinee opastaa.

Opastetaanpa. Ajatellaanpa tällaista osamäärää:

(a*x) / x,

missä a>0. Mitä tapahtuu kun x -> oo? Osamäärähän tietyssä mielessä lähestyy silloin muotoa ääretön/ääretön, sillä sekä osoittaja että nimittäjä menevät äärettömyyteen. Raja-arvoksi tulee kuitenkin a -- siis mielivaltainen positiivinen reaaliluku. Mm. tämän vuoksi on järkevämpää jättää ääretön/ääretön määrittelemättömäksi.

We're all mad here.

Hybrid
Ielmoere
Eipä tuossa mistään äärettömistä tainnut CE puhua. En kyllä vannomaan menisi, mutta näin arkijärjellä ajatellen on ääretön/ääretön määritelty samoin kuin mikä vain luku jaettuna samalla luvulla. Eipä ääretöntä voi oikein kyllä normaaliksi luvuksi tosin ajatellakaan. Joku asiasta tietävämpi voinee opastaa.

Ellen ihan väärin satu muistamaan niin luku jaettuna itsellään on 1 eikä 0 eli a=b ei toimi.

x/x=1/1=1 || x€R


SItä tarkoitinkin että realiiluku jaettuna itsellään on aina yksi eikä käy ratkaisuksi. Sitten kävin vielä läpi toisen ääriarvon varmuuden vuoksi. Nollalla jakaminen olikin jo käsitelty joten en sitä enää käynyt.



Entä jos funktiolla x/x onkin epäjatkuvuuskohta pisteessä x=0?
Entä jos lukua oo (ääretön) ei ole olemassa?

edelleen tyhmä

Neutroni
Seuraa 
Viestejä35428
praktis
Entä jos lukua oo (ääretön) ei ole olemassa?



Luku "ääretön" ei tosiaan kuulu reaali- tai kompleksilukuihin, eikä sillä voi laskea noissa lukujoukoissa määritellyillä laskusäännöillä. Yleensä merkinnällä joku = ääretön tarkoitetaan raja-arvoa, kun joku kasvaa rajatta. Käsittäkseni joihinkin tarkoituksiin voidaan kyllä määritellä lukujoukkoja, joihin kuuluu erilaisia äärettömiä, mutta se menee jo korkeamman matematiikan puolelle.

Neutroni
Luku "ääretön" ei tosiaan kuulu reaali- tai kompleksilukuihin, eikä sillä voi laskea noissa lukujoukoissa määritellyillä laskusäännöillä. Yleensä merkinnällä joku = ääretön tarkoitetaan raja-arvoa, kun joku kasvaa rajatta. Käsittäkseni joihinkin tarkoituksiin voidaan kyllä määritellä lukujoukkoja, joihin kuuluu erilaisia äärettömiä, mutta se menee jo korkeamman matematiikan puolelle.



Ei kuulu, ei. Äärettömän lisääminen reaalilukujoukkoon pilaa sen algebrallisen rakenteen. Topologisia mukavuuksia sillä kuitenkin saa aikaiseksi, esimerkiksi Alexandroffin kompaktisointi on ihan näppärä.

Tavallista reaalilukujoukkoa R mukavampi on usein laajennettu reaalilukujen joukko R', joka sisältää reaalilukujen lisäksi myös plus- ja miinus-äärettömän. Äärettömälle määritellään omat laskusääntönsä, joista osa on selviä ja jotkut määritellään vain mukavuussyistä. Esimerkiksi mittateoriassa on mukava määritellä

0 * ääretön = 0.

Tämän mukavuus tulee ilmi siis siinä, että funktion huono käyttäytyminen nollamittaisessa joukossa voidaan jättää huomiotta. Tai että nollafunktion integraali ääretönmittaisen joukon yli on nolla.

Äärettömyys on hyvin kiehtova ajatus, mutta sen kanssa ei liian varovainen voi oikein olla. Intuitioon ei kannata liiaksi luottaa... Jos äärettömälle jotain tekee, niin aina kannattaa miettiä, miksi näin saa tehdä ja onko se selvää vai vaatiiko tilanne tarkempaa perustelua.

EDIT: Tuo Alexandroffin kompaktisointi ei välttämättä suoraan avaudu tuosta wiki-artikkelista. Reaalilukujen tapauksessa sitä voisi havainnollistaa niin, että tavallaan kieräyttää lukusuoran ympyrän kehäksi ja liitoskohtaan laitetaan se yksi ylimääräinen piste, ääretön.

Neutroni
praktis
Entä jos lukua oo (ääretön) ei ole olemassa?



Luku "ääretön" ei tosiaan kuulu reaali- tai kompleksilukuihin, eikä sillä voi laskea noissa lukujoukoissa määritellyillä laskusäännöillä. Yleensä merkinnällä joku = ääretön tarkoitetaan raja-arvoa, kun joku kasvaa rajatta. Käsittäkseni joihinkin tarkoituksiin voidaan kyllä määritellä lukujoukkoja, joihin kuuluu erilaisia äärettömiä, mutta se menee jo korkeamman matematiikan puolelle.



Tuolla määritelmällä voidaan päätellä, että funktion 1/x arvo lähenee nollaa, kun x lähenee hyvin suurta lukua. Tuo ei voi pitää paikkaansa koska 1/x on aina joko positiivinen tai negatiivinen. 0 on sensijaan etumerkitön, se ei kuulu positiivisten tai negatiivisten lukujen joukkoon.

1/(1/∞) = 1/0 = ∞. Siispä nollalla jakaminen on määritelty äärettömän käänteisarvona. Jos vastakkaismerkkiset itseisarvoltaan yhtäsuuret reaktanssit kytketään rinnakkain, saadaan tulos 1/0 joka on tulkittava äärettömäksi mieluummin kuin todeta ettei nollalla voi jakaa.

korant
1/(1/∞) = 1/0 = ∞. Siispä nollalla jakaminen on määritelty äärettömän käänteisarvona. Jos vastakkaismerkkiset itseisarvoltaan yhtäsuuret reaktanssit kytketään rinnakkain, saadaan tulos 1/0 joka on tulkittava äärettömäksi mieluummin kuin todeta ettei nollalla voi jakaa.



Mieluummin määritellään tapauskohtaisesti oikea tulkinta nollalla jakamiselle kuin että yleisesti julistettaisiin se hyvin määritellyksi.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä35428
praktis

Tuolla määritelmällä voidaan päätellä, että funktion 1/x arvo lähenee nollaa, kun x lähenee hyvin suurta lukua. Tuo ei voi pitää paikkaansa koska 1/x on aina joko positiivinen tai negatiivinen. 0 on sensijaan etumerkitön, se ei kuulu positiivisten tai negatiivisten lukujen joukkoon.



No millä x:llä se 1/x on nolla? Se, että matematiikassa joku lähestyy jotain rajatta, ei tarkoita että se saavuttaisi koskaan päämääränsä. Esimerkiksi kelpaa juuri funktio 1/x, kun x kasvaa rajatta.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä35428
korant
Jos vastakkaismerkkiset itseisarvoltaan yhtäsuuret reaktanssit kytketään rinnakkain, saadaan tulos 1/0 joka on tulkittava äärettömäksi mieluummin kuin todeta ettei nollalla voi jakaa.



Insinööreillä on tapana fuskata matemaattisesti ikävissä tapauksessa, jos on kokeellisesti selvää, että käytännön järjestelmät käyttäytyvät hyvin niissä tilanteissa. Mutta jos yleistät noita fuskuja matemaatikoiden nähden, he antavat oitis jonkun esimerkin, jossa yleistys johtaa järjettömyyteen. Erityisesti juuri äärettömien kanssa niin käy poikkeuksetta.

kurnimaha
korant
1/(1/∞) = 1/0 = ∞. Siispä nollalla jakaminen on määritelty äärettömän käänteisarvona. Jos vastakkaismerkkiset itseisarvoltaan yhtäsuuret reaktanssit kytketään rinnakkain, saadaan tulos 1/0 joka on tulkittava äärettömäksi mieluummin kuin todeta ettei nollalla voi jakaa.



Mieluummin määritellään tapauskohtaisesti oikea tulkinta nollalla jakamiselle kuin että yleisesti julistettaisiin se hyvin määritellyksi.



Miksi ei yhtä hyvin voi määritellä että 0 = 0/0?

praktis
Miksi ei yhtä hyvin voi määritellä että 0 = 0/0?



Niin tai ihan mitä vain. Jos jakolasku tulkitaan normaalilla tavalla, niin

r = p/q <=> rq = p,

missä luvun r täytyy olla yksikäsitteinen. Mutta jos q = p = 0, voi r olla mitä vain.

Miksi sen muuten pitäisi olla mielestäsi 0? Eikö 1 olisi paljon luontevampi? Jos esimerkiksi miettii 0^0, niin kombinatorisesti sen kuuluisi olla 1. Ja jos asetetaan 0^0 = 1, niin päästään eroon ikävistä erikoistapauksista sarjaesityksissä ja muissa. Tietysti ikävyyksiäkin tapahtuu, jos noin yleisesti asettaisi. Mutta jos se jotain olisi...

Neutroni
Mutta jos yleistät noita fuskuja matemaatikoiden nähden, he antavat oitis jonkun esimerkin, jossa yleistys johtaa järjettömyyteen. Erityisesti juuri äärettömien kanssa niin käy poikkeuksetta.
Mihinkähän järjettömyyteen tuo voisi johtaa? Ainoa mikä tulee mieleen, on että +∞ = -∞ eikä se ole järjetön. Ääretön on verrattavissa nollaan eikä sen etumerkillä ole merkitystä. Selvää on, että 0/0, ∞/∞ tai 0·∞ on määrittelemätön ellei tiedetä kuinka lähestytään nollaa tai ääretöntä.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat