Ordinaali- ja kardinaalilukujen merkitys

Seuraa 
Viestejä2144
Liittynyt27.5.2010

Nuo hyppivät silmille aina kun yrittää lukea jotakin asiallista matematiikan perusteista. Siis mitäs virkaa näillä on?

Sivut

Kommentit (22)

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Ordinaaliluvut ~ järjestysluvut, kardinaaliluvut ~ lukumäärät. Joukko-opissa molemmat menevät yli äärellisyydestä, joten siinä mielessä ne eroavat arkisista järjestysluvuista ja lukumääristä. Kardinaaliluvut kuvaavat äärellisten lukumäärien lisäksi monenasteisia äärettömyyksiä.

We're all mad here.

Kirjekuori
Seuraa 
Viestejä2144
Liittynyt27.5.2010

Kylläpä kyllä. Tarkoitinkin kysymykselläni lähinnä sitä, onko esim. transifiniittisillä luvuilla jotka ovat "suurempia kuin yksikään luonnollinen luku" mitään muuta merkitystä kuin fiktio? Vertauksen vuoksi: saattaa olla että luvulla 10^99999999999999999999999999999999999 ei ole maailmankaikkeudessa vastinetta siinä mielessä että maailmankaikkeuden kaikkien konkreettisten objektien lukumäärä jää alle tuon luvun; ja silti voidaan kuvitella systeemejä joissa hiukkasia on juuri tuo määrä. Sen sijaan en kykene edes kuvittelemaan systeemiä, jossa on hiukkasia suurempi määrä kuin mitä luonnollisia lukuja on (se on loogisesti ristiriitaista), joten en kykene kuvittelemaan tarvetta transfiniittisille luvuille (siis muuten kuin fiktiona).

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
Kirjekuori
Tarkoitinkin kysymykselläni lähinnä sitä, onko esim. transifiniittisillä luvuilla jotka ovat "suurempia kuin yksikään luonnollinen luku" mitään muuta merkitystä kuin fiktio?

Riippuu mitä tarkoitat merkityksellä. Matematiikkaahan voi pitää kaikkinensa ihan fiktionakin.

Transfiniittisillä kardinaaliluvuilla on ainakin sellainen helposti ymmärrettävä merkitys, että ne ilmaisevat eriasteisia äärettömyyksiä, kuten edellisessä viestissä mainitsin. Transfiniittiset ordinaalit ovat ehkä teoreettisempaa tavaraa, mutta niitä tarvitaan kardinaalilukujen määrittelyyn.

Minä en oikein ymmärrä, miksi sinun pitäisi yrittää kuvitella systeemiä, jossa on äärettömästi hiukkasia. Ajattele vaikka vaan niitä luonnollisia lukuja {0, 1, 2, 3, ...}. Niitä nyt vaan on ääretön määrä, eikä sitä ole kai vaikea ymmärtää. Transfiniittinen kardinaali "aleph nolla" vastaa luonnollisten lukujen äärettömyyden luokkaa. Se vastaa myös rationaalilukujen kokoa, sillä niitä on yhtä paljon kuin luonnollisia lukuja. Reaalilukuja onkin sitten enemmän -- reaalilukujen kardinaalisuus on 2^(aleph nolla). Nämä huomiot voi kuka hyvänsä tehdä, jos asiaa vaivautuu pähkäilemään. Rationaalilukujen numeroituvuuden huomaa piirtämällä tasoon kokonaislukupisteiden kautta kulkevan spiraalin, ja reaalilukujen ylinumeroituvuuden voi ymmärtää Cantorin diagonaaliargumentin kautta.

Äärettömyyden asteet eivät myöskään rajoitu tuohon "kontinuumin mahtavuuteen". Esimerkiksi R->R kuvausten joukko (siis tavan funktioiden joukko) on R:ää itseään suurempi. Suuruusluokat eivät lopulta rajoitu mihinkään, vaan niitä on loputtomasti.

Kyseessä ei siis ole ainakaan mikään merkityksetön fiktio.

We're all mad here.

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
Kirjekuori
Kylläpä kyllä. Tarkoitinkin kysymykselläni lähinnä sitä, onko esim. transifiniittisillä luvuilla jotka ovat "suurempia kuin yksikään luonnollinen luku" mitään muuta merkitystä kuin fiktio? Vertauksen vuoksi: saattaa olla että luvulla 10^99999999999999999999999999999999999 ei ole maailmankaikkeudessa vastinetta siinä mielessä että maailmankaikkeuden kaikkien konkreettisten objektien lukumäärä jää alle tuon luvun; ja silti voidaan kuvitella systeemejä joissa hiukkasia on juuri tuo määrä. Sen sijaan en kykene edes kuvittelemaan systeemiä, jossa on hiukkasia suurempi määrä kuin mitä luonnollisia lukuja on (se on loogisesti ristiriitaista), joten en kykene kuvittelemaan tarvetta transfiniittisille luvuille (siis muuten kuin fiktiona).

Jos havaittavan universumin tilavuus rakentuisi tilavuusalkioista, kuutiosta, joden särmä on yksi Planckin pituus, niin vieläkin jäätäisiin mielettömän kauas tuosta luvusta. Paljonkohan yhteen Planckin tilavuuteen mahtuu mitä tahansa informaatiota? Varmaan jäädään vieläkin kauas tuosta luvusta.

Kirjekuori
Seuraa 
Viestejä2144
Liittynyt27.5.2010
abskissa

Minä en oikein ymmärrä, miksi sinun pitäisi yrittää kuvitella systeemiä, jossa on äärettömästi hiukkasia. Ajattele vaikka vaan niitä luonnollisia lukuja {0, 1, 2, 3, ...}. Niitä nyt vaan on ääretön määrä, eikä sitä ole kai vaikea ymmärtää. Transfiniittinen kardinaali "aleph nolla" vastaa luonnollisten lukujen äärettömyyden luokkaa. Se vastaa myös rationaalilukujen kokoa, sillä niitä on yhtä paljon kuin luonnollisia lukuja.



Sanoinkin, että en pysty kuvittelemaan systeemiä, jossa on enemmän hiukkasia kuin luonnollisia lukuja (joita on ääretön määrä). Hyväksyn siis, että on loogisesti mahdollista, että maailmankaikkeudessa on hiukkasia nk. loputtomasti, jolloin niitä on yhtä paljon kuin luonnollisia lukuja. Pointti olikin se, että luonnolliset luvut riittävät laskemiseen; siihen ei tarvita transfiniittisiä lukuja.

abskissa

Reaalilukuja onkin sitten enemmän -- reaalilukujen kardinaalisuus on 2^(aleph nolla). Nämä huomiot voi kuka hyvänsä tehdä, jos asiaa vaivautuu pähkäilemään. Rationaalilukujen numeroituvuuden huomaa piirtämällä tasoon kokonaislukupisteiden kautta kulkevan spiraalin, ja reaalilukujen ylinumeroituvuuden voi ymmärtää Cantorin diagonaaliargumentin kautta.



Hyvä että tämä näkökohta tuli esille. Esitän seuraavassa vasta-argumentin siinä toivossa, että tässä järkeilyssä osoitettaisiin jokin virhe.

Yleisesti on hyväksytty, että reaalilukuja on "enemmän" kuin kokonaislukuja, vaikka kokonaislukujakin jo on äärettömästi. Tässä on mielestäni selkeä looginen ristiriita. Ymmärrän kyllä sen, että rationaalilukuja on sama määrä kuin kokonaislukuja, koska molempia on äärettömästi. Lisäksi ymmärrän syyn siihen, miksi reaalilukuja sanotaan olevan enemmän kuin kokonais- tai rationaalilukuja, ja se syyhän on se, että ei ole olemassa yksi-yhteen-kuvausta reaaliluvuilta kokonaisluvuille. Tällainen kuvaus rationaaliluvuilta kokonaisluvuille sen sijaan on. Ok, tuollaisen kuvauksen olemassaolo Q -> N sinänsä todistaa sen, että N:ssä on yhtä monta alkiota kuin Q:ssa jos sitä ei usko jo sillä perusteella, että molemmissa on alkioita loputtomasti. (Itse kuulun siihen ryhmään, jolle on itsestään selvää, että jos kahdessa joukossa on alkioita rajaton määrä, niin niissä on alkioita sama ääretön määrä). Yksi-yhteen-kuvauksen olemassaolo joka tapauksessa todistaa niissä olevan alkioita saman määrän. Mutta nyt kysymys kuuluukin: vaikka yksi-yhteen-kuvauksen olemassaolo on riittävä ehto sille, että kahdessa joukossa on alkioita sama määrä, onko se välttämätön ehto (muuten kuin kardinaliteetin teknisen määritelmän mielessä)? Viittaan tällä siihen, että totuus ja todistettavuus ovat kaksi eri asiaa. Yksi-yhteen-kuvauksella voidaan todistaa samamääräisyys, mutta totuus ja todistettavuus ovat eri asioita. Tämän vuoksi se, että reaalilukujen ja kokonaislukujen samamääräisyyttä ei voida millään yksi-yhteen-kuvauksella osoittaa, ei ole todiste siitä, että reaalilukuja on jollakin tavalla enemmän kuin kokonaislukuja (joita sentään on äärettömästi). Se, että jotakin asiaa A ei voida todistaa menetelmällä X todeksi, ei ole todiste siitä, että A ei ole tosi.

Tämän perusteella jään edelleen käsitykseen, että reaali- ja kokonaislukuja on sama määrä: ääretön. "Erisuuruisten" äärettömyyksien postulointi johtuu käsitteellisestä virheestä, joka juontuu siihen, että kahden joukon samamääräisyys (yhtämahtavuus) samaistetaan teknisellä määritelmällä niiden välisen yksi-yhteen-kuvauksen olemassaoloon. Tosiasiassa mitään lukumääräeroa ei ole olemassa: ääretön on ääretön. Siten aleph-ykköset ja sensemmoiset "luvut" ovat hatusta temmattuja.


Äärettömyyden asteet eivät myöskään rajoitu tuohon "kontinuumin mahtavuuteen". Esimerkiksi R->R kuvausten joukko (siis tavan funktioiden joukko) on R:ää itseään suurempi. Suuruusluokat eivät lopulta rajoitu mihinkään, vaan niitä on loputtomasti.

Kyseessä ei siis ole ainakaan mikään merkityksetön fiktio.

Vierailija

Pyysit näyttämään virheen päättelyssäsi. Se on tässä:

Kirjekuori

Mutta nyt kysymys kuuluukin: vaikka yksi-yhteen-kuvauksen olemassaolo on riittävä ehto sille, että kahdessa joukossa on alkioita sama määrä, onko se välttämätön ehto (muuten kuin kardinaliteetin teknisen määritelmän mielessä)?



Näytät ajattelevat, että on olemassa jokin salainen, intuitiivinen määritelmä kardinaliteetin käsitteelle. Sellaista ei ole: tuo kardinaliteetin tekninen määritelmä, johon et ole tyytyväinen, on tuon käsitteen ainoa määritelmä. Niin kauan kuin tuo määritelmä on voimassa, tarkoittaa kahden joukon sama kardinaliteetti sitä, että joukkojen välillä on bijektio. (Toispuolinen yksi-yhteen-kuvaus ei riitä; tältä osin olet varmaankin ajatellut jotain väärin.)

Kirjekuori
Seuraa 
Viestejä2144
Liittynyt27.5.2010
Samuli
Pyysit näyttämään virheen päättelyssäsi. Se on tässä:

Kirjekuori

Mutta nyt kysymys kuuluukin: vaikka yksi-yhteen-kuvauksen olemassaolo on riittävä ehto sille, että kahdessa joukossa on alkioita sama määrä, onko se välttämätön ehto (muuten kuin kardinaliteetin teknisen määritelmän mielessä)?



Näytät ajattelevat, että on olemassa jokin salainen, intuitiivinen määritelmä kardinaliteetin käsitteelle. Sellaista ei ole: tuo kardinaliteetin tekninen määritelmä, johon et ole tyytyväinen, on tuon käsitteen ainoa määritelmä. Niin kauan kuin tuo määritelmä on voimassa, tarkoittaa kahden joukon sama kardinaliteetti sitä, että joukkojen välillä on bijektio.



Niin, en ole tyytyväinen kardinaliteetin tekniseen määritelmään siksi, että kardinaalilukuja käytetään kuvaamaan joukkojen mahtavuutta, siis niiden alkioiden lukumäärää. Itse määritelmässä ei ole mitään vikaa, mutta sen soveltamisessa ja sen pohjalta tehtävien väitteiden esittämisessä on. Jos kahdessa joukossa on molemmissa ääretön määrä alkioita , on vain mahdotonta, että toisessa olisi niitä jotenkin enemmän kuin toisessa. Siksi kysynkin juuri sitä, miten voidaan asiallisesti perustella se, että nimenomaan yksi-yhteen-kuvauksen (siis bijektion) olemassaolo joukkojen välillä on paitsi riittävä myös välttämätön ehto sille, että kahdessa joukossa on alkioita sama määrä. "Asiallisella" perusteella tarkoitan siis jotakin muuta kuin määritelmällistä perustetta, siis esim. joko intuitiivista tai todistettua perustetta. Mitä tahansahan voidaan määritellä miten vain, ja jos niiden määritelmien pohjalta johdetaan loogisesti epätosia lauseita (kuten että jossakin joukossa voi olla enemmän alkioita kuin toisessa joukossa, jossa jo on ääretön määrä alkioita), on syytä kysyä asioiden perusteiden perään. Transfiniittiset luvut pohjautuvat tällaiseen määritelmään ollen siten ristiriitaisia objekteja.


(Toispuolinen yksi-yhteen-kuvaus ei riitä; tältä osin olet varmaankin ajatellut jotain väärin.)



Tällaista en suinkaan ole väittänyt.

Vierailija

(Seuraavassa yritän parhaani mukaan pelkistää selvästi näkyviin virheen jonka mielestäni ajattelussasi teet. Ei ole siis tarkoitus vaikuttaa tylyltä.)

Kirjekuori
Niin, en ole tyytyväinen kardinaliteetin tekniseen määritelmään siksi, että kardinaalilukuja käytetään kuvaamaan joukkojen mahtavuutta, siis niiden alkioiden lukumäärää.



Tämä ei mene näin. Kardinaalilukuja kyllä käytetään kuvaamaan joukon mahtavuutta mutta mahtavuus ei ole sama asia kuin alkioiden lukumäärä. Alkioiden lukumäärän käsitteelle on selvä intuitiivinen tulkinta, mahtavuus (eli kardinaliteetti) taas on puhtaasti tekninen käsite, jollaista ei arkiajattelussa esiinny. Äärelliselle joukolle alkioiden lukumäärä on kyllä sama kuin joukon kardinaliteetti, mutta äärettömän joukon alkioiden lukumäärä on vain ääretön riippumatta siitä, mikä on joukon kardinaliteettia kuvaava transfiniittinen kardinaali.

Karkeasti ottaen, joukko-opista kirjoittava kirjailija tekee pienen pedagogisen virheen, jos hän kirjoittaa jotain tällaista:

"Reaalilukuja on enemmän kuin kokonaislukuja.".

Jotta lukijalle välittyy asiasta oikeampi mielikuva, asia pitäisi ilmaista (ja usein ilmaistaankin) jotenkin näin:

"Reaalilukuja on tietyssä mielessä enemmän kuin kokonaislukuja.".

Näin varoitetaan lukijaa siitä, että äärettömistä joukoista puhuttaessa alkioiden lukumääriä ei enää voi tulkita tutulla tavalla, ja alkioiden lukumääriä ajattelemalla ei saada täydellistä havainnollistusta sille, mitä kardinaliteetin käsite oikein tarkoittaa.


Jos kahdessa joukossa on molemmissa ääretön määrä alkioita , on vain mahdotonta, että toisessa olisi niitä jotenkin enemmän kuin toisessa.



Aivan totta. Sen sijaan ei ole mahdotonta, että joukoilla olisi eri kardinaliteetit.

Siksi kysynkin juuri sitä, miten voidaan asiallisesti perustella se, että nimenomaan yksi-yhteen-kuvauksen (siis bijektion) olemassaolo joukkojen välillä on paitsi riittävä myös välttämätön ehto sille, että kahdessa joukossa on alkioita sama määrä. "Asiallisella" perusteella tarkoitan siis jotakin muuta kuin määritelmällistä perustetta, siis esim. joko intuitiivista tai todistettua perustetta.

Bijektion olemassaolo ei olekaan välttämätöntä sille, että kahdessa joukossa on sama määrä alkioita. Se taas on välttämätöntä sille, että kahdella joukolla on sama kardinaliteetti. Alkioiden lukumäärä ja kardinaliteetti ovat edelleen kaksi eri asiaa.

Mitä tahansahan voidaan määritellä miten vain, ja jos niiden määritelmien pohjalta johdetaan loogisesti epätosia lauseita (kuten että jossakin joukossa voi olla enemmän alkioita kuin toisessa joukossa, jossa jo on ääretön määrä alkioita), on syytä kysyä asioiden perusteiden perään.



Johdetut lauseet ova aina tosia. Epätosia lauseita ei ole olemassa. Tarkoitat varmaankin sitä, että haluat asioille lisäperusteluja, jos johdetaan sellaisia tuloksia, jotka ovat ristiriidassa arkiajattelun kanssa. Ymmärtäisin huolesi, jos tilanne olisi se, että joukko-oppi väittäisi R:ssä ja Z:ssä olevan eri määrän alkioita, sillä selvästi kummassakin on äärettömästi alkioita. Joukko-oppi sanoo kuitenkin vain, että näillä kummallakin äärettömällä joukolla on eri kardinaliteetit. Arkiajattelussa kardinaliteetin käsitteelle ei löydy hyvää analogiaa.

Ymmärrän kyllä, että varsinkin populaarikirjallisuudessa kardinaliteetin käsitettä havainnollistetaan nimenomaan joukon alkioiden lukumäärän käsitteen avulla. Tällöin ei ole mikään ihme, että kirjailijan kirjoittaessa

"On olemassa eri suuruisia äärettömyyksiä."

lukija luulee tämän tarkoittavan, että

"On olemassa äärettömiä joukkoja, joissa on keskenään eri määrä alkioita.".

Oikeasti kirjailija tarkoittaa vain, että äärettömiä joukkoja voidaan karsinoida erilaisiin kategorioihin sen perusteella, miten niiden välillä on bijektioita. Mutta eihän tällaisen kirjoittaminen luo ollenkaan sitä ihmetyksen ja mystiikan ilmapiiriä, jonka ääretöntä suuremmista äärettömyyksistä puhuminen lukijalle välittää.


(Toispuolinen yksi-yhteen-kuvaus ei riitä; tältä osin olet varmaankin ajatellut jotain väärin.)



Tällaista en suinkaan ole väittänyt.



Pahoittelen. Luulin, että termi yksi-yhteen-kuvaus on käännöksesi englannin mm. injektiota tarkoittavalle one-to-one mappingille. Itse olen tottunut puhumaan vain in-, sur- ja bijektioista, joten käyttämäsi termi oli minulle uusi.

Kirjekuori
Seuraa 
Viestejä2144
Liittynyt27.5.2010
Samuli
(Seuraavassa yritän parhaani mukaan pelkistää selvästi näkyviin virheen jonka mielestäni ajattelussasi teet. Ei ole siis tarkoitus vaikuttaa tylyltä.)

Kirjekuori
Niin, en ole tyytyväinen kardinaliteetin tekniseen määritelmään siksi, että kardinaalilukuja käytetään kuvaamaan joukkojen mahtavuutta, siis niiden alkioiden lukumäärää.



Tämä ei mene näin. Kardinaalilukuja kyllä käytetään kuvaamaan joukon mahtavuutta mutta mahtavuus ei ole sama asia kuin alkioiden lukumäärä. Alkioiden lukumäärän käsitteelle on selvä intuitiivinen tulkinta, mahtavuus (eli kardinaliteetti) taas on puhtaasti tekninen käsite, jollaista ei arkiajattelussa esiinny. Äärelliselle joukolle alkioiden lukumäärä on kyllä sama kuin joukon kardinaliteetti, mutta äärettömän joukon alkioiden lukumäärä on vain ääretön riippumatta siitä, mikä on joukon kardinaliteettia kuvaava transfiniittinen kardinaali.

Karkeasti ottaen, joukko-opista kirjoittava kirjailija tekee pienen pedagogisen virheen, jos hän kirjoittaa jotain tällaista:

"Reaalilukuja on enemmän kuin kokonaislukuja.".

Jotta lukijalle välittyy asiasta oikeampi mielikuva, asia pitäisi ilmaista (ja usein ilmaistaankin) jotenkin näin:

"Reaalilukuja on tietyssä mielessä enemmän kuin kokonaislukuja.".

Näin varoitetaan lukijaa siitä, että äärettömistä joukoista puhuttaessa alkioiden lukumääriä ei enää voi tulkita tutulla tavalla, ja alkioiden lukumääriä ajattelemalla ei saada täydellistä havainnollistusta sille, mitä kardinaliteetin käsite oikein tarkoittaa.


Jos kahdessa joukossa on molemmissa ääretön määrä alkioita , on vain mahdotonta, että toisessa olisi niitä jotenkin enemmän kuin toisessa.



Aivan totta. Sen sijaan ei ole mahdotonta, että joukoilla olisi eri kardinaliteetit.




Hienoa, ymmärsit mitä ajoin takaa.

Siksi kysynkin juuri sitä, miten voidaan asiallisesti perustella se, että nimenomaan yksi-yhteen-kuvauksen (siis bijektion) olemassaolo joukkojen välillä on paitsi riittävä myös välttämätön ehto sille, että kahdessa joukossa on alkioita sama määrä. "Asiallisella" perusteella tarkoitan siis jotakin muuta kuin määritelmällistä perustetta, siis esim. joko intuitiivista tai todistettua perustetta.

Bijektion olemassaolo ei olekaan välttämätöntä sille, että kahdessa joukossa on sama määrä alkioita. Se taas on välttämätöntä sille, että kahdella joukolla on sama kardinaliteetti. Alkioiden lukumäärä ja kardinaliteetti ovat edelleen kaksi eri asiaa.




Hyvä, tästäkin olemme siis samaa mieltä.

Käsittääkseni kardinaliteettikäsite on kuitenkin luotu nimenomaan kuvaamaan joukkojen kokoa, sitä joukkojen mahtavuutta samalla tavalla kuin ordinaaliluvut kuvaavat keskinäistä järjestystä. Äärellisillä joukoilla kardinaliteetti tarkoittaa aivan oikein luonnollisella tavalla lukumäärää, äärettömille tästä sitten on johdettu näiden välisiä "erisuuruisuuksia". Kyseessä on siis oikea kardinaalivirhe.

Mitä tahansahan voidaan määritellä miten vain, ja jos niiden määritelmien pohjalta johdetaan loogisesti epätosia lauseita (kuten että jossakin joukossa voi olla enemmän alkioita kuin toisessa joukossa, jossa jo on ääretön määrä alkioita), on syytä kysyä asioiden perusteiden perään.



Johdetut lauseet ova aina tosia. Epätosia lauseita ei ole olemassa.



Kyllä epätosien tai hämärien premissien pohjalta voidaan todistaa epätosia tai hämäriä lauseita. Ristiriidasta voidaan todistaa mikä tahansa lause "todeksi".


Tarkoitat varmaankin sitä, että haluat asioille lisäperusteluja, jos johdetaan sellaisia tuloksia, jotka ovat ristiriidassa arkiajattelun kanssa. Ymmärtäisin huolesi, jos tilanne olisi se, että joukko-oppi väittäisi R:ssä ja Z:ssä olevan eri määrän alkioita, sillä selvästi kummassakin on äärettömästi alkioita. Joukko-oppi sanoo kuitenkin vain, että näillä kummallakin äärettömällä joukolla on eri kardinaliteetit. Arkiajattelussa kardinaliteetin käsitteelle ei löydy hyvää analogiaa.



Osaatko kertoa mitä hyödyllistä kardinaaliluvuilla voidaan tehdä (ja hyödyllisellä en tarkoita sadunomaisten "erisuuruuksien" todistelua).


Ymmärrän kyllä, että varsinkin populaarikirjallisuudessa kardinaliteetin käsitettä havainnollistetaan nimenomaan joukon alkioiden lukumäärän käsitteen avulla. Tällöin ei ole mikään ihme, että kirjailijan kirjoittaessa

"On olemassa eri suuruisia äärettömyyksiä."

lukija luulee tämän tarkoittavan, että

"On olemassa äärettömiä joukkoja, joissa on keskenään eri määrä alkioita.".

Oikeasti kirjailija tarkoittaa vain, että äärettömiä joukkoja voidaan karsinoida erilaisiin kategorioihin sen perusteella, miten niiden välillä on bijektioita. Mutta eihän tällaisen kirjoittaminen luo ollenkaan sitä ihmetyksen ja mystiikan ilmapiiriä, jonka ääretöntä suuremmista äärettömyyksistä puhuminen lukijalle välittää.




Kyllä se sikäli sotkee, että siinä tuli taas se "koko/suuruus"(size)-käsite kylkiäisenä. Mutta tämän lauseesi sisältö on hyvä ja sen sivulauseesta olen samaa mieltä:

"Oikeasti kirjailija tarkoittaa vain, että äärettömiä joukkoja voidaan karsinoida erilaisiin kategorioihin sen perusteella, miten niiden välillä on bijektioita."

Päälauseen totuudesta tosin en ole aivan varma. Kirjailija saattaa nimittäin todella mielessään tarkoittaa joukkojen erisuuruutta.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
Kirjekuori
Siksi kysynkin juuri sitä, miten voidaan asiallisesti perustella se, että nimenomaan yksi-yhteen-kuvauksen (siis bijektion) olemassaolo joukkojen välillä on paitsi riittävä myös välttämätön ehto sille, että kahdessa joukossa on alkioita sama määrä.

Se on eräs näkemys siitä, mitä joukkojen yhtäsuuruus tarkoittaa. Jos sinulla on asiasta erilainen mutta toimiva näkemys ja osaat sen täsmällisesti muotoilla, niin eihän siinä mitään väärää ole. Minä en vaan oikein näe, miten sellainen määritelmä, joka erottelisi joukkoja huonommin kuin nykyinen, voisi olla millään tavalla hyödyllisempi.

Yksi perustelu sille lukumäärän käsitteen perustamiselle kuvauksille on se, että se kuvaa hyvin sitä, miten äärellisiä lukumääriä käytännössä lasketaan (siis lasketaan ihan osoittamalla alkioita ja luettelemalla 1, 2, 3, ... ) , ja lisäksi sillä voidaan yleistää lukumäärän käsite myös äärettömille joukoille.

Kirjekuori
Mitä tahansahan voidaan määritellä miten vain, ja jos niiden määritelmien pohjalta johdetaan loogisesti epätosia lauseita (kuten että jossakin joukossa voi olla enemmän alkioita kuin toisessa joukossa, jossa jo on ääretön määrä alkioita), on syytä kysyä asioiden perusteiden perään. Transfiniittiset luvut pohjautuvat tällaiseen määritelmään ollen siten ristiriitaisia objekteja.

Tässä kohtaa sinulla menee puurot ja vellit sekaisin. "Loogisesti epätosi" ei ole sama asia kuin (jonkun mielestä) "epäintuitiivinen".

Ei se kardinaalisuus minusta ole missään tapauksessa eri asia kuin lukumäärä, kuten Samuli esitti. Sehän on lukumäärän käsitteen yleistys. Finiittiset kardinaaliluvut vastaavat ihan niitä arkisia lukumääriä, ja äärettömistä lukumääristä ei ole oikein mitään järkeä puhuakaan, ellei niillä tarkoita kardinaalilukuja (tai ellei ole muuten antanut asialle tarkkaa määritelmää).

Samuli
Mutta eihän tällaisen kirjoittaminen luo ollenkaan sitä ihmetyksen ja mystiikan ilmapiiriä, jonka ääretöntä suuremmista äärettömyyksistä puhuminen lukijalle välittää.

Miten pitäisi kertoa, että on olemassa äärettömiä joukkoja, joissa on keskenään eri määrä alkioita, jos mitään sellaista ei saa ääneen sanoa? Kyseinen väite tiivistää asiat helposti ymmärrettävään muotoon, eikä se ainakaan valetta ole.

Minusta se mystiikan ilmapiiri ei synny siitä, että ideoita esitetään yksinkertaistettuna, vaan siitä, että esitetään tällaisten matemaattisten ideoiden olevan jotenkin täysin arkiajattelusta erillisiä. Matematiikan perusluonteen ymmärtävä lukija tietää kyllä, että yksinkertaistuksien taustalla on aina sivukaupalla teoriaa.

Se "tietyssä mielessä" -fraasi on tietenkin joissakin tilanteissa aivan paikallaan, mutta ei sitäkään voi kaikkialle ripotella. Jokainen matematiikan lause on totta "vain tietyssä mielessä".

We're all mad here.

Vierailija
Kirjekuori
Käsittääkseni kardinaliteettikäsite on kuitenkin luotu nimenomaan kuvaamaan joukkojen kokoa, sitä joukkojen mahtavuutta samalla tavalla kuin ordinaaliluvut kuvaavat keskinäistä järjestystä. Äärellisillä joukoilla kardinaliteetti tarkoittaa aivan oikein luonnollisella tavalla lukumäärää, äärettömille tästä sitten on johdettu näiden välisiä "erisuuruisuuksia". Kyseessä on siis oikea kardinaalivirhe.



Saan tästä yhä sen mielikuvan, että tiedät aivan oikein kardinaliteetin käsitteellä tietyllä tavalla kuvattavan joukon kokoa, mutta tästä virheellisesti päättelet, että kardinaliteetin käsitteen sisältö on sama kuin alkioiden lukumäärä. Ei näin ole, kardinaliteetti on ilmaisuvoimaisempi, yleisempi käsite. Sinun ei tarvitse ajatella, että kardinaliteetin käsitteen pitäisi jotenkin korvata alkioiden lukumäärän käsite. Kun tekstissä puhutaan erisuuruisista äärettömistä joukoista, voit aivan huoleti ajatella, että kirjoittaja puhuu kardinaliteeteista, ei alkioiden lukumääristä. Siinä suhteessa sana "erisuuruinen" on huono, kuten huomautitkin, mutta parempaa havainnollistusta ei taida olla olemassa.


Kyllä epätosien tai hämärien premissien pohjalta voidaan todistaa epätosia tai hämäriä lauseita. Ristiriidasta voidaan todistaa mikä tahansa lause "todeksi".



Tässä yrität ujuttaa teoriaan mukaan jotain sellaista, mitä siellä ei ole. Minkä joukko-opin teoriaan kuuluvan asian kanssa kardinaliteetin määritelmä on mielestäsi ristiriitainen?


Osaatko kertoa mitä hyödyllistä kardinaaliluvuilla voidaan tehdä (ja hyödyllisellä en tarkoita sadunomaisten "erisuuruuksien" todistelua).



En tiedä, mikä sinusta on hyödyllistä. Toisaalta, miksi matemaattisilla olioilla pitäisi voida tehdä jotain hyödyllistä? Joukko-opin harrastajalle hyödyksi riittänee jo se, että kardinaaliluvuilla saadaan pilkottua äärettömien joukkojen katrasta helpommin hallittaviin karsinoihin. Mutta valitettavasti en tunne joukko-opin tutkimusta tai edes perusteita niin hyvin, että osaisin vastata tähän kysymykseesi kunnolla.

Kirjekuori
Seuraa 
Viestejä2144
Liittynyt27.5.2010
Samuli
Kirjekuori

Kyllä epätosien tai hämärien premissien pohjalta voidaan todistaa epätosia tai hämäriä lauseita. Ristiriidasta voidaan todistaa mikä tahansa lause "todeksi".



Tässä yrität ujuttaa teoriaan mukaan jotain sellaista, mitä siellä ei ole. Minkä joukko-opin teoriaan kuuluvan asian kanssa kardinaliteetin määritelmä on mielestäsi ristiriitainen?



Tarkoitin tätä yleisellä tasolla, kun sanoit että kaikki johdetut lauseet ovat tosia.

Vierailija
abskissa

Ei se kardinaalisuus minusta ole missään tapauksessa eri asia kuin lukumäärä, kuten Samuli esitti. Sehän on lukumäärän käsitteen yleistys.



Nimimerkki Kirjekuori on ollut sitä mieltä, että äärettömien joukkojen erilaisista mahtavuuksista puhuminen ei ole järkevää. Hän on perustellut tätä sillä, että äärettömässä joukossa on äärettömän monta alkiota eikä enempää. Tähän oli minusta perusteltua huomauttaa, että voi olla olemassa kaksi erilaista joukon kokoa kuvaavaa käsitettä. Kardinaliteetti on tosiaan alkioiden lukumäärän käsitteen yleistys, ja siksi käsitteet eivät ole samoja.

Miten pitäisi kertoa, että on olemassa äärettömiä joukkoja, joissa on keskenään eri määrä alkioita, jos mitään sellaista ei saa ääneen sanoa? Kyseinen väite tiivistää asiat helposti ymmärrettävään muotoon, eikä se ainakaan valetta ole.



Kyllä noin saa kirjoittaa, ja monesti on varmaan järkevääkin kirjoittaa juuri noin. Kuitenkin jos halutaan välttää sitä väärinkäsitystä, joka Kirjekuorelle näyttää tulleen, kannattaa välttää äärettömien joukkojen erisuurista lukumääristä puhumista ja puhua vain kardinaliteeteista.


Minusta se mystiikan ilmapiiri ei synny siitä, että ideoita esitetään yksinkertaistettuna, vaan siitä, että esitetään tällaisten matemaattisten ideoiden olevan jotenkin täysin arkiajattelusta erillisiä. Matematiikan perusluonteen ymmärtävä lukija tietää kyllä, että yksinkertaistuksien taustalla on aina sivukaupalla teoriaa.



En tarkoittanut mystiikalla mitään negatiivista, vaan ihastelun, arkisen ylittävyyden, juhlallisuuden ja kutkuttavan hämmästyksen tunteita. Erityisesti en tarkoittanut mystiikalla jotain vaikeaselkoisuuteen viittaavaa.


Se "tietyssä mielessä" -fraasi on tietenkin joissakin tilanteissa aivan paikallaan, mutta ei sitäkään voi kaikkialle ripotella. Jokainen matematiikan lause on totta "vain tietyssä mielessä".



Hyvin totta.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
Kirjekuori
Osaatko kertoa mitä hyödyllistä kardinaaliluvuilla voidaan tehdä (ja hyödyllisellä en tarkoita sadunomaisten "erisuuruuksien" todistelua).

Ne edustavat joukkojen mahtavuusluokkia. Ei sen kummempaa. Mitä tarkoitat hyödyllisellä? Etsitkö transfiniittisille kardinaaliluvuille ihan jotain välitöntä ja konkreettista, ei-matemaattista sovellusta?

Monessa tilanteessa on aivan oleellista erotella äärelliset, numeroituvasti äärettömät ja ylinumeroituvat joukot, ja muutenkin joukkojen mahtavuuksien vertailu voi olla tärkeää. Siis matematiikassa. Muuten niillä kardinaaliluvuilla ei kai mitään kovin yleistä merkitystä ole. Nehän on vain mahtavuusluokkia. Eipä niitä "aleph"-merkintöjä kai kovin paljon käytetä.

Matemaatikot ovat löytäneet oikeinkin paljon käyttöä tuollaiselle sadunomaiselle erisuuruuksien todistelulle. Onko sinulla jotain parempaa tarjota tilalle, jos ja kun se mahtavuuskäsite on jollain tavalla huono? Sitähän se huonous tarkoittaa, että jokin vaihtoehto on parempi, eikö totta?

Samuli
En tarkoittanut mystiikalla mitään negatiivista, vaan ihastelun, arkisen ylittävyyden, juhlallisuuden ja kutkuttavan hämmästyksen tunteita. Erityisesti en tarkoittanut mystiikalla jotain vaikeaselkoisuuteen viittaavaa.

Ah, juu. No tuossa tapauksessahan pieni ripaus mystiikkaa ei ole ollenkaan huono asia.

We're all mad here.

Kirjekuori
Seuraa 
Viestejä2144
Liittynyt27.5.2010
abskissa
Kirjekuori
Siksi kysynkin juuri sitä, miten voidaan asiallisesti perustella se, että nimenomaan yksi-yhteen-kuvauksen (siis bijektion) olemassaolo joukkojen välillä on paitsi riittävä myös välttämätön ehto sille, että kahdessa joukossa on alkioita sama määrä.

Se on eräs näkemys siitä, mitä joukkojen yhtäsuuruus tarkoittaa. Jos sinulla on asiasta erilainen mutta toimiva näkemys ja osaat sen täsmällisesti muotoilla, niin eihän siinä mitään väärää ole. Minä en vaan oikein näe, miten sellainen määritelmä, joka erottelisi joukkoja huonommin kuin nykyinen, voisi olla millään tavalla hyödyllisempi.

Samuli

Kyllä noin saa kirjoittaa, ja monesti on varmaan järkevääkin kirjoittaa juuri noin. Kuitenkin jos halutaan välttää sitä väärinkäsitystä, joka Kirjekuorelle näyttää tulleen, kannattaa välttää äärettömien joukkojen erisuurista lukumääristä puhumista ja puhua vain kardinaliteeteista.



Haluan tässä yhteydessä huomauttaa, että en mielestäni ole sekoittanut mitään, vaan vain kysellyt sen perään, onko ylipäätään järkevää puhua erikokoisista äärettömyyksistä (kardinaalien tapauksessa) ja transfiniittisistä luvuista (ordinaalien tapauksessa). En siis ole sekoittanut samalukuisuutta ja bijektioiden olemassaoloa kahden joukon välillä, vaan se on juuri kardinaliteetin käsite joka ei kykene tekemään tätä eroa samaistaessaan nämä kaksi. Huomaako tätä kukaan? Ja, mikään tähän mennessä esitetty ei ole poistanut sitä vaikutelmaa, että transfiniittiset luvut ovat vain merkkipeliä, puhtaita abstraktioita jotka voivat olla ihan jänniä mutta joita ei tarvita todellisuuden kuvaamiseen.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat