Fraktaaliset kaavat

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Eli tarkoitus olisi kerätä ne fysiikan lait yhteen, joiden peruskaava on ´"fraktaalinen" muodoltaan, eli sisältää jotakuinkin samoja suhteita ja elementtejä kuin Mandelbrotin kaava.
(tarkemmin linkistä: http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set)

Zn+1 = Zn^2 + c, jossa Z kasvaa nollasta äärettömyyteen ja c on kompleksiluku, eli jokin vakio, vaikka 1. c kuuluu Mandelbrotin joukkoon jos sen arvolla kaava tuottaa lukuarvoja jotka eivät karkaa äärettömyyteen.

Tällöin c: ollessa 1, Z0 = 0 ja Z1 = 1, Z2 = 2, Z3 = 5, Z4 = 26 jne äärettömyyteen asti, joten 1 ei kuulu joukkoon. Jos c taas on vaikka i (i² = -1) , niin se kuuluu joukkoon.

Onko esimerkiksi kaavassa e = 1/2 mv^2 fraktaalisia ominaisuuksia vai ei? Mitkä fysiikan lait saavat vuorijonot aikaiseksi, tai lumihiutaleet? Ovatko ne fraktaalisia laadultaan ja siksi tuottavat fraktaalisia kuvioita? Ovatko fraktaaliset ilmiöt keino huomata jokin fraktaalinen lainalaisuus jota luonto noudattaa? Gravitaation (EDIT: ja biosfäärin) vaikutus maapallon kivikerrokseen vaikuttaa fraktaaliselta. Mikäköhän sen kaava on? Entä kiteytyminen?

Ovatko kaoottiset (ggl. kaaosteoria) ilmiöt yleisesti ottaen fraktaalisia?

Fraktaalikaavat...

Kommentit (6)

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
Armitage
Eli tarkoitus olisi kerätä ne fysiikan lait yhteen, joiden peruskaava on ´"fraktaalinen" muodoltaan, eli sisältää jotakuinkin samoja suhteita ja elementtejä kuin Mandelbrotin kaava.
(tarkemmin linkistä: http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set)

Zn+1 = Zn^2 + c, jossa Z kasvaa nollasta äärettömyyteen ja c on kompleksiluku, eli jokin vakio, vaikka 1. c kuuluu Mandelbrotin joukkoon jos sen arvolla kaava tuottaa lukuarvoja jotka eivät karkaa äärettömyyteen.

Tällöin c: ollessa 1, Z0 = 0 ja Z1 = 1, Z2 = 2, Z3 = 5, Z4 = 26 jne äärettömyyteen asti, joten 1 ei kuulu joukkoon. Jos c taas on vaikka i (i² = -1) , niin se kuuluu joukkoon.


Niin siis yleensä Mandebrotin joukon visualisointi perustuu siihen, että c:n paikalle laitetaan c = x + i y, jossa (x,y) ovat pikselin koordinaatit. Ja väri on sitten iteraatioitten lukumäärä, jolla ylitettiin annettu raja-arvo (esim. |c| > 2). Tälle hyvin paljon sukua on Julian joukko, jossa c:n paikalle laitetaankin vakio ja alkupisteenä käytetään nollan sijaan pikseliä z0 = x + i y:

http://www.edpizzi.com/cjb/docs/mandel.html

Armitage
Onko esimerkiksi kaavassa e = 1/2 mv^2 fraktaalisia ominaisuuksia vai ei? Mitkä fysiikan lait saavat vuorijonot aikaiseksi, tai lumihiutaleet? Ovatko ne fraktaalisia laadultaan ja siksi tuottavat fraktaalisia kuvioita? Ovatko fraktaaliset ilmiöt keino huomata jokin fraktaalinen lainalaisuus jota luonto noudattaa? Gravitaation (EDIT: ja biosfäärin) vaikutus maapallon kivikerrokseen vaikuttaa fraktaaliselta. Mikäköhän sen kaava on? Entä kiteytyminen?

Fraktaaleiksi kutsutaan monenlaisia juttuja, mutta yleensä kai niihin viitataan ilmiöillä jotka ovat epälineaarisia ja itsesimilaarisia. Ei tarvitse olla kaavaa, vaan prosessi, jolla ne muodostetaan (ks. http://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake). Yhdistelmänä iteraatioita ja satunnaisuutta saadaan myös aikaan samankaltaisia juttuja (ks. http://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_function_system). Myös ihan tavallisilla stokastisilla prosesseilla voi olla fraktaalisia piirteitä (ks. http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_Brownian_motion).

Se, että luonnossa on fraktaalisia piirteitä johtuu veikkaukseni mukaan tuosta stokastisten prosessien fraktaaliominaisuudesta. Hiukkasia on vaan hyvin paljon ja mukana on niin paljon satunnaisia tai satunnaisen kaltaisia ilmiöitä, että niihin alkaa tulla stokastisten prosessien piirteitä. Newtonin liike-energiassa tai gravitaatiossa ei kai sinänsä ole mitään fraktaalista, vaikka esimerkiksi usean kappaleen systeemit ovat kaoottisia (tai en ole tiedä).

Armitage
Ovatko kaoottiset (ggl. kaaosteoria) ilmiöt yleisesti ottaen fraktaalisia?

Eivät kai sentään yleisesti ottaen, koska mikä tahansa stokastinen prosessikin tai huonosti aseteltu differentiaaliyhtälö voidaan laskea kaoottiseksi ilmiöksi, eikä näillä yleensä ole mitään fraktaaliominaisuuksia. Toki tietysti Mandelbrotin ja Julian joukot, IFS-systeemit sekä Brownin liikkeet ovat kaoottisia ilmiöitä, joilla on fraktaaliominaisuuksia.

Vierailija
Armitage
Eli tarkoitus olisi kerätä ne fysiikan lait yhteen, joiden peruskaava on ´"fraktaalinen" muodoltaan



Noise-induced order
Journal Journal of Statistical Physics
http://www.springerlink.com/content/q6250p342388g634/

Jo 1981 Meyer-Kress ja Haken osoittivat, että tiettyyn kaoottisia moodeja tuottavaan iterointikaavaan liitetty melutermi "romautti" kaaoksen ja "paljasti" sen rakenteissa piilevän periodisuuden. Ilmiötä on sittemmin tutkittu erilaisissa kaaoksissa ja erilaisilla melutermeillä. Mitä ilmiö kertoo kaaoksen ja koko maailmankaikkeuden sekä matematiikan itsensä rakenteesta?

Veikkaan, että mitä enemmän ilmiötä tutkittaisiin, sitä selvemmin se viittaisi siihen, että matematiikan "perusavaruuden" muodostaa "sub-planckinen" defektijärjestelmä lukujen edustaessa sub-planckisten defektien ja defektikollektiivien erilaisia vapausasteita. Ja tässä järjestelmässä tapahtumia, siis matematiikkaa, hallitsisi pienimmän vaikutuksen periaate. Mutta myös aistimaailma mitattavine suureineen kehkeytyisi tästä samasta järjestelmästä, mikä selittäisi Wignerin tähdentämän "matematiikan käsittämättömän tehokkuuden luonnontieteissä"

viewtopic.php?f=3&t=44438&view=previous

Pienimmän vaikutuksen periaate on jo tiedostettu biologisen evoluutionkin ymmärtämisen perustaksi:

http://en.scientificcommons.org/57556338

Jos oletetaan deterministisen kaaoksen olevan sub-planckisen vakuumin perus"liike", voidaan ajatella, että kaikki epäkaoottiset ilmiöt, niin matemaattiset luonnonlait (invarianssilait) kuin biologiset rakenteet kuten organellit ynnä näitä kuvaava matematiikka saadaan peruskaaoksesta erilaisilla melu- tai kaaos-kaaos -kytkennöillä.

Vierailija

Kiitos mielenkiintoisista vastauksista, tuli ihan noviisi olo.

Tuo prosessinäkökulma pitänee varmasti paikkansa luonnonilmiöiden fraktaalisuuden suhteen.

Sub-planckinen vakuumi jossa on defectejä. Aika hIljaiseksi vetää.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
P.S.V.
Veikkaan, että mitä enemmän ilmiötä tutkittaisiin, sitä selvemmin se viittaisi siihen, että matematiikan "perusavaruuden" muodostaa "sub-planckinen" defektijärjestelmä lukujen edustaessa sub-planckisten defektien ja defektikollektiivien erilaisia vapausasteita.

Mikä ihmeen "perusavaruus"?

P.S.V.
Mutta myös aistimaailma mitattavine suureineen kehkeytyisi tästä samasta järjestelmästä, mikä selittäisi Wignerin tähdentämän "matematiikan käsittämättömän tehokkuuden luonnontieteissä"

Mikähän siinä on käsittämätöntä?

We're all mad here.

amandrai
Seuraa 
Viestejä205
Liittynyt26.4.2010

Tässä yhteydessä fraktaalien tärkein ominaisuushan on herkkyys alkuehdoille; esim. Mandelbrotin joukossa sen reunan lähellä olevat pisteet ovat mielivaltaisen herkkiä pienille vaihteluille.

Sen sijaan lineaarinen yhtälö kuten E = mv^2/2 ei ole, vaan jos tuohon nopeustermiin laitettaisiin pieni häiriötermi, energian häiriö Delta E = mv delta v, joka on edelleen pieni.

Klassisestakin mekaanikasta tosin löytyy paljon tilanteita joissa pienet häiriöt kasvavat ajan myötä suuriksi. Tässä on hyvä esimerkki yksinkertaisesta kokeesta: http://www.youtube.com/watch?v=Whvl6CikDxA

Vierailija
abskissa
P.S.V.
Veikkaan, että mitä enemmän ilmiötä tutkittaisiin, sitä selvemmin se viittaisi siihen, että matematiikan "perusavaruuden" muodostaa "sub-planckinen" defektijärjestelmä lukujen edustaessa sub-planckisten defektien ja defektikollektiivien erilaisia vapausasteita.

Mikä ihmeen "perusavaruus"?

P.S.V.
Mutta myös aistimaailma mitattavine suureineen kehkeytyisi tästä samasta järjestelmästä, mikä selittäisi Wignerin tähdentämän "matematiikan käsittämättömän tehokkuuden luonnontieteissä"

Mikähän siinä on käsittämätöntä?



Eiköhän käsittämätöntä ole yksinkertaisimmillaan matematiikan kyky kytkeä täysin erilaisia mitattavia suureita invarianteiksi yhdelmiksi kuten Ft^2/ms=2 tai U/IR=1. Syvemmälle fysiikkaan mentäessä tulevat sitten vastaan mm. pienimmän vaikutuksen laki ja erilaiset symmetriaperiaatteet rikkoineen, joiden matemaattiset esitykset usein ovat ikäänkuin mitattavien suureiden järjestelmien kuvauksia, kts. myös esim:

http://www.google.fi/#hl=fi&q=wigner+ma ... d01e1f291d

Abskissa kirjoitti: Mikä ihmeen "perusavaruus"?

Paikka, tila tai rakenne, jossa matemaattiset oliot tai niiden esimuodot syntyvät tai ovat.

Defekteistä:

viewtopic.php?f=14&t=21601

http://www.google.fi/webhp?hl=fi#hl=fi& ... &aql=&oq=&

Uusimmat

Suosituimmat