Luonnollisten lukujen joukon määrittelemisen mahdottomuus

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Miksi luonnollisten lukujen joukkoa {1, 2, 3, ...} ei voida määritellä tarkasti? Mitä vikaa on seuraavassa määritelmässä:

i) 1 kuuluu N:ään.
ii) Jos k kuuluu N:ään, niin k+1 kuuluu N:ään.
iii) N:ään ei kuulu muita alkioita.

Huom. viimeinen kohta sulkee pois sen, että N:ään kuuluisi myös esim. 1/2 ja siitä seuraten myös 3/2, 5/2 jne., eikö vain?

Luen Rudy Ruckerin kirjaa Mieli ja äärettömyys, jossa Rucker kirjoittaa:

"Thoralf Skolemin klassisen työn perusteella tiedetään, että keksipä N:lle minkä tahansa äärellisen kuvauksen, löytyy siitä poikkeava joukko N*, johon kuvaus pätee. Siten on kirjaimellisesti totta, että mitä "..." todella tarkoittaa, on sanoin kuvaamatonta."

Kommentit (8)

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
Aletheia
Miksi luonnollisten lukujen joukkoa {1, 2, 3, ...} ei voida määritellä tarkasti? Mitä vikaa on seuraavassa määritelmässä:

i) 1 kuuluu N:ään.
ii) Jos k kuuluu N:ään, niin k+1 kuuluu N:ään.
iii) N:ään ei kuulu muita alkioita.

Huom. viimeinen kohta sulkee pois sen, että N:ään kuuluisi myös esim. 1/2 ja siitä seuraten myös 3/2, 5/2 jne., eikö vain?


Ihan hyvä määritelmähän tämä on ja vieläpä oikeastaan sama asia kuin nuo joukko-opilliset konstruktiot:

http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number

Aletheia
Luen Rudy Ruckerin kirjaa Mieli ja äärettömyys, jossa Rucker kirjoittaa:

"Thoralf Skolemin klassisen työn perusteella tiedetään, että keksipä N:lle minkä tahansa äärellisen kuvauksen, löytyy siitä poikkeava joukko N*, johon kuvaus pätee. Siten on kirjaimellisesti totta, että mitä "..." todella tarkoittaa, on sanoin kuvaamatonta."


Missäköhän mielessä tuossa tarkoitetaan, että joukko on "poikkeava"? Sen konstruktio voi olla erilainen, samoin kuin tulkinta, mutta sama joukko tämä silti voi olla. Populaarikirjallisuusta ei kannata tehdä liian pitkälle vietyjä johtopäätöksiä.

Vierailija
Aletheia
Miksi luonnollisten lukujen joukkoa {1, 2, 3, ...} ei voida määritellä tarkasti? Mitä vikaa on seuraavassa määritelmässä:

i) 1 kuuluu N:ään.
ii) Jos k kuuluu N:ään, niin k+1 kuuluu N:ään.
iii) N:ään ei kuulu muita alkioita.


Jos vaikkapa k=-2 kuuluko se N:ään? Määritelmäsi mukaan tämä on mahdollista

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
Blackend
Aletheia
Miksi luonnollisten lukujen joukkoa {1, 2, 3, ...} ei voida määritellä tarkasti? Mitä vikaa on seuraavassa määritelmässä:

i) 1 kuuluu N:ään.
ii) Jos k kuuluu N:ään, niin k+1 kuuluu N:ään.
iii) N:ään ei kuulu muita alkioita.


Jos vaikkapa k=-2 kuuluko se N:ään? Määritelmäsi mukaan tämä on mahdollista

Tuosta yksinkertaisesta määritelmästä puuttuu pari oleellista ehtoa. Seuraajakuvauksen (+1) pitää olla injektio ja 1 ei saa olla minkään luonnollisen luvun seuraaja. Nämä ehdot takaavat sen, että joukko ei muodosta silmukkaa, vaan se on loppumaton peräkkäisten alkioiden pötkö.

We're all mad here.

Vierailija

Disclaimer: En ole pitkää aikaan ajatellut logiikkaa.Toisen kertaluvun logiikassa luonnollisten lukujen uniikkisuus voidaan todistaa induktion avulla niin kuin Dedekind aikoinaan teki. Mutta tämä _e_i ole käsittääkseni sen _enempää_ (ehkä olen kuitenkin väärässä?) kuin luonnollisten lukujen joukon joukko-opillinen karakterisointi. Silti metatasolla (ensimmäisen kertaluvun joukko-opissa) symbolit voidaan tulkita niin, että luonnolliselle luvuille löytyy tulkinta, joissa niitä esittävän joukon kardinaliteetti on esimerkiksi sama kuin reaaliluvuilla. Mutta tämä ei ole kovinkaan merkityksellistä, eikä siitä seuraa esimerkiksi epätäydellisyystuloksia. On olemassa myös luonnollisten lukujen varsinaista kardinaliteettia olevia luonnollisten lukujen epästandardeja malleja (joita skolem muistaakseni löysi), ja mikä on Gödelin epätäydellisyystulosten suora seuraus.

[Edit. poistettu kamaa]

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
Gc
Silti metatasolla (ensimmäisen kertaluvun joukko-opissa) symbolit voidaan tulkita niin, että luonnolliselle luvuille löytyy tulkinta, joissa niitä esittävän joukon kardinaliteetti on esimerkiksi sama kuin reaaliluvuilla.

Kuinka? Minulle ei aukea.

We're all mad here.

Vierailija

Abskissa, tämä on instanssi siitä kuuluisasta tuloksesta http://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6wen ... em_theorem. Olen joskus kauan sitten lukenut vastaavat todistukset läpi kuin tuossa Wikipedia sivulla. Tämä fakta todistetaan hyvin yleisellä tasolla, joten se vaatii pohjatiedot logiikasta. Hakemalla tietoa aritmetiikan non-standardeista malleista ehkä saisi käsityksen miltä nuo "suuret" 1 kertaluvun Peanon aksiiomien mallit joukkopillisina entiteetteinä näyttävät. Minulla käsitystä niistä ei paljoa ole.

[edit. korjattu karkeimpia kielioppivirheitä]

Vierailija

Eräs tapa ajatella intuitiivisesti ainakin sitä että esimerkiksi reaaliluvuilla on numeroituva malli on, että kun kaikki 1. kertaluvun teoriat koostuvat vain numeroituvasta määrästä kaavoja ja koska 1. kertaluvun muuttujat viittaavat aina alkioihin, niin "semanttisesti riittävä" universumi (mallin alkioiden joukko) mille tahansa teorialle täytyy olla numeroituva. Nämä korkeammat kardinaliteetit saadaan sitten ehkä jollakin ovelalla valinta-aksiooman käytöllä?

Uusimmat

Suosituimmat