Kaksi tehtävää

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Isoisäni kertoi, että kun hän 50-luvulla pyrki teknilliseen opistoon, ainoat kaksi kysymystä pääsykokeessa, joita hän ei osannut olivat seuraavat:

1) Vene, jossa on 1 m^3 rautaa on uima-altaassa. Mitä altaan vedenpinnalle tapahtuu ja miksi, kun rautakuutio pudetotetaan altaaseen?

Jotenkin tuntuisi, että veden pinta ei muutu, koska vene ui painon vuoksi syvemmällä ja syrjäyttää täsmälleen saman verran vettä.

2)Avaruudessa risteilee kaksi suoraa. Määritä näiden välinen lyhin etäisyys.

Yritin tuota ratkaista ilmaisemalla suorat vektoreina, joissa on määräämätön kerroin edessä ja derivoimalla etäisyyttä kuvaavaa neliöjuurilauseketta, mutta ei ratkennut.

Ovatko pohdintani edes oikeaan suuntaan?

Kommentit (8)

Vierailija
stume618
Isoisäni kertoi, että kun hän 50-luvulla pyrki teknilliseen opistoon, ainoat kaksi kysymystä pääsykokeessa, joita hän ei osannut olivat seuraavat:

1) Vene, jossa on 1 m^3 rautaa on uima-altaassa. Mitä altaan vedenpinnalle tapahtuu ja miksi, kun rautakuutio pudetotetaan altaaseen?

Jotenkin tuntuisi, että veden pinta ei muutu, koska vene ui painon vuoksi syvemmällä ja syrjäyttää täsmälleen saman verran vettä.

2)Avaruudessa risteilee kaksi suoraa. Määritä näiden välinen lyhin etäisyys.

Yritin tuota ratkaista ilmaisemalla suorat vektoreina, joissa on määräämätön kerroin edessä ja derivoimalla etäisyyttä kuvaavaa neliöjuurilauseketta, mutta ei ratkennut.

Ovatko pohdintani edes oikeaan suuntaan?




Eka on ikivanha. Veneessä ollessaan rautakuutio syrjäyttää painonsa vettä, vedessä ollessaan vain tilavuutensa. Koska rauta painaa enmmän kuin vesi, niin vesihän laskee.

Toista pitää hetki hahmottaa.

Sepi
Seuraa 
Viestejä3262
Liittynyt16.3.2005

Risteilee?
Muistan joskus kuulleeni samantapaisen komman, jonka lopputulemana todettiin kahden yhdensuuntaisen suoran leikkaavan toisensa, kun tarpeeksi pitkälle mennään..

Vierailija
Sepi
Risteilee?
Muistan joskus kuulleeni samantapaisen komman, jonka lopputulemana todettiin kahden yhdensuuntaisen suoran leikkaavan toisensa, kun tarpeeksi pitkälle mennään..



Ei ole kompa. Kyse on 3-ulotteisesta avaruudesta. Risteilee tarkoittaa sitä, että suorat eivät leikkaa. (Eli suorat ovat täysin satunnaisia, jolloin leikkauksen todennäköisyys on 0)

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009

Eiköhän tuo toinen ratkea vaikkapa muuttamalla toisen suoran yhtälö parametrimuotoon ja sijoittamalla muuttujien parametriesitykset ensimmäisen suoran pisteen-etäisyys-suorasta -kaavaan ja sitten derivoimalla parametrin suhteen.

E: Niin ja se nollakohtakin pitää sitten ratkaista.
En jaksanut laskea, mutta eiköhän se kutakuinkin noin euklidisissa avaruuksissa mene.

JAM
Seuraa 
Viestejä192
Liittynyt5.4.2006
stume618
Isoisäni kertoi, että kun hän 50-luvulla pyrki teknilliseen opistoon, ainoat kaksi kysymystä pääsykokeessa, joita hän ei osannut olivat seuraavat:
.....
2)Avaruudessa risteilee kaksi suoraa. Määritä näiden välinen lyhin etäisyys.



50-luvulla tekuun pyrittiin keskikoulun jälkeen, joten tuskin derivointia vaadittiin.

Piirretään toisen suoran jonkin pisteen kautta ensimmäisen suoran suuntainen suora ja muodostetaan taso näiden leikkaavien suorien avulla. Sitten mitataan, kuinka kaukana ensimmäinen suora on ko. tasosta tason normaalin avulla.

Vierailija

Vaikea tehtävä pääsykokeeseen, koska käytännössä lyhin etäisyys saadaan näin:

Suorat vektorimuodossa esm: L1=(i+j+k)+t(i+j-k), ja L2=(4i+2j+2k)+s(i-j)

Valitaan piste P1 suoralta L1. Paikkavektori siihen on: (1+t)i+(1+t)j+(1-t)k

Valitaan piste P2 suoralta L2. Paikkavektori siihen on: (4+s)i+(2-s)j+2k

Näiden pisteiden paikkavektoreiden erotusvektori (P2-P1) on (4+s-1-t)i+(2-s-1-t)j+(2-1+t)k=

(3-t+s)i+(1-t-s)j+(1+t)k

Noiden suorien suuntavektoreiden ristitulo on kohtisuorassa molempia suuntavektoreita vastaan, joten suorien lyhin etäisyys on tuon ristitulovektorin ”suuntainen”.

Ristitulo on (s1)x(s2)= (i+j-k)x( i-j)=-i-j-2k

Tämä on siis oltava samansuuntainen kuin paikkavektoreiden erotusvektori, jotta etäisyys olisi lyhin, eli erotusvektori=a*ristitulovektori, joten:

3-t+s=-a
1-t-s=-a
1+t=-2a, joista:
t=1, s=-1 ja a=-1

Piste P1:n paikkavektori on 2i+2j , eli piste P1=(2,2,0)
Piste P2:n paikkavektori on 3i+3j+2k,eli piste P2=(3,3,2)

Näiden pisteiden välinen etäisyys on SQRT((3-2)^2+(3-2)^2+(2-0)^2)=SQRT(6), joka on siis näiden suorien lyhin etäisyys.
Tässä kyllä varmaan haetaan jotain muuta...

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
Kuuba-Pete
mölkhö
Vaikea tehtävä pääsykokeeseen, koska käytännössä lyhin etäisyys saadaan näin:

Ja yleisessä tapauksessa näin: http://planetmath.org/encyclopedia/SkewLines.html.[/quote]
Ei näytä keskikoulun/keskiasteen tehtävältä. Kysymyksenä on voinut olla joku yksinkertainen erikoistapaus.
Ensimmäinen kysymys on sen sijaan aivan mahdollinen, vieläpä helppo.
Itse pyrin 60-luvun alussa, sitä ennen olin käynyt läpi aikaisempien vuosien tehtävät. Tietenkään en enää muista.oliko niiden joukossa ensimmäisessä viestissä mainittuja.

Uusimmat

Suosituimmat