Heittomäärän odotusarvo nopanheitossa

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Hei!

Lueskelin hellepäivän ratoksi lukion pitkän matematiikan kirjaa Matematiikan taito 13, Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi. Siellä on geometrisia sarjoja käsittelevässä kappaleessa haastavaksi merkitty tehtävä, joka kuuluu jotakuinkin näin:

"Heitetään arpakuutiota, kunnes saadaan kuutonen. Laske heittojen lukumäärään odotusarvo."

Tuonhan voi ratkaista ainakin derivoimalla erästä potenssisarjaa tai sitten geometrisen jakauman ominaisuuksia käyttäen. Kumpaakaan näistä konsteista ei lukiolainen kuitenkaan osaa. Keksiikö joku, kuinka lukiolainen voisi ratkaista tuon tehtävän, kun käytössä on vain yleisten ja geometristen sarjojen perusteet?

Voihan tietty olla, että tehtävä on merkitty haastavaksi juuri siksi, ettei sitä siinä vaiheessa opituilla tiedoilla voikaan ratkaista. Vaan onpa se sitten hieman hämäävästi sijoitettu geometrisia sarjoja käsittelevään kappaleeseen.

Sivut

Kommentit (25)

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
Samuli
Hei!

Lueskelin hellepäivän ratoksi lukion pitkän matematiikan kirjaa Matematiikan taito 13, Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi. Siellä on geometrisia sarjoja käsittelevässä kappaleessa haastavaksi merkitty tehtävä, joka kuuluu jotakuinkin näin:

"Heitetään arpakuutiota, kunnes saadaan kuutonen. Laske heittojen lukumäärään odotusarvo."

Tuonhan voi ratkaista ainakin derivoimalla erästä potenssisarjaa tai sitten geometrisen jakauman ominaisuuksia käyttäen. Kumpaakaan näistä konsteista ei lukiolainen kuitenkaan osaa. Keksiikö joku, kuinka lukiolainen voisi ratkaista tuon tehtävän, kun käytössä on vain yleisten ja geometristen sarjojen perusteet?

Voihan tietty olla, että tehtävä on merkitty haastavaksi juuri siksi, ettei sitä siinä vaiheessa opituilla tiedoilla voikaan ratkaista. Vaan onpa se sitten hieman hämäävästi sijoitettu geometrisia sarjoja käsittelevään kappaleeseen.


Kuinkahan se kuuluu niinku tarkalleen, tämmöset "jotakuinkin näin" laskut ovat kutakuinkin mahdottomia, etenkin jos on kyse todennäköisyyksistä.
Jos se kuuluu tarkalleen niin kuin esitit, voi sen tietysti laskea geometrisen sarjan avulla. Yksinkertaisempaa on kerrata vähän ja tarkastaa mitä odotusarvo tarkoittaa.

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009

Olkoon A="tulee kuutonen" ja B="ei tule kuutosta" sekä vastaavat todennäköisyydet tapahtumille: P(A)=1/6 ja P(B)=5/6.

Minkäslaisia heittosarjoja tästä voikaan sitten seurata? No tällaisia:
1 heitto, A, P=1/6
2 heittoa, BA, P=5/6*1/6
3 heittoa, BBA, P=5/6*5/6*1/6
4 heittoa, BBBA, P=5/6*5/6*5/6*1/6
..., ..., P=...

Odotusarvo on ∑_i x_i*P(x_i).
Nyt sinulta ei vaadita enää kuin sijoitusta ja kykyä tunnistaa geometrisen sarjan summa.

Vierailija
petsku

1 heitto, A, P=1/6
2 heittoa, BA, P=5/6*1/6
3 heittoa, BBA, P=5/6*5/6*1/6
4 heittoa, BBBA, P=5/6*5/6*5/6*1/6
..., ..., P=...



Noi kun laskee yhteen niin saadaan 1. Eihän se voi olla odotusarvo?
(1/6)/(1-5/6)=1

Vierailija
Keckman
Noi kun laskee yhteen niin saadaan 1. Eihän se voi olla odotusarvo?
(1/6)/(1-5/6)=1
Tuo ei ole odotusarvo vaan todennäköisyys, että joskus saat kuutosen kun heität riittävän kauan noppaa.

Vierailija
Jorma

Kuinkahan se kuuluu niinku tarkalleen, tämmöset "jotakuinkin näin" laskut ovat kutakuinkin mahdottomia, etenkin jos on kyse todennäköisyyksistä.



Tehtävä kuului oleellisesti juuri niin kuin esitin, tietenkin poislukien kirjoitusvirheeni. Kirjassa lukee siis näin:

"Noppaa heitetään, kunnes saadaan kuutonen. Laske heittojen lukumäärän odotusarvo."

Jos se kuuluu tarkalleen niin kuin esitit, voi sen tietysti laskea geometrisen sarjan avulla.



Miten ihmeessä? En millään keksi, miten tehtävästä saadaan aikaan geometrinen sarja. Jos todella olet oikeassa, näyttäisitkö vähän yksityiskohtia.

petsku
Odotusarvo on ∑_i x_i*P(x_i).
Nyt sinulta ei vaadita enää kuin sijoitusta ja kykyä tunnistaa geometrisen sarjan summa.



Tässäkin olisivat yksityiskohdat tarpeen. Onhan tuossa geometrisen sarjan summia vaikka kuinka paljon, mutta eivät ne auta odotusarvon laskemista.

Vierailija

Kyllähän petsku aivän selvästi asian ilmaisi viimeisessä viestissään. Mutta väännetään vielä rautalangasta:

O = 1*1/6 + 2*1/6*5/6 + 3*1/6*5/6*5/6 + ...

Vierailija
korant
Kyllähän petsku aivän selvästi asian ilmaisi viimeisessä viestissään. Mutta väännetään vielä rautalangasta:

O = 1*1/6 + 2*1/6*5/6 + 3*1/6*5/6*5/6 + ...




Rautalankaa olisin lähinnä kaivannut siihen, että missä tuossa on geometrisen sarjan summa. Tai totta kai jokainen tuossa sarjassa esiintyvä luku on jonkun geometrisen sarjan summa, mutta missä on se, jonka Petskun mukaan piti auttaa asiaa.

Jos jollekin jäi se mielikuva, että odotusarvo itse on geometrinen sarja, niin sitähän se ei kertoimien x_i = 1, 2, 3, ... takia ole.

Vierailija

Joo, tuossa muodossa ne ei näy. Jos otat geometriset sarjat yhteiseksi tekijäksi saat sen muotoon:
(1/6)/(1-5/6) + (5/36)/(1-5/6) + ... = ((1/6)/(1-5/6))/(1-5/6)) = 6
Odotusarvo on siis geometristen sarjojen muodostaman geometrisen sarjan summa.

Vierailija
korant
Odotusarvo on siis geometristen sarjojen muodostaman geometrisen sarjan summa.



Nyt hoksaan. Suuret kiitokset rautalangasta!

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
Samuli
korant
Odotusarvo on siis geometristen sarjojen muodostaman geometrisen sarjan summa.



Nyt hoksaan. Suuret kiitokset rautalangasta!

Kuutonen tulee keskimäärin joka kuudes kerta, joten odotusarvo on 6, odotusarvon määritelmän mukaan.
Voi tietysti olla joskus tarpeen laskea se sarjoilla, mutta jos sitä ei erikseen mainita on aivan turha laskea itsestäänselvää asiaa.

Vierailija

Jos lukiotiedot unohdetaan hetkeksi, niin varsin simppeli ratkaisu ongelmaan löytyy myös käyttämällä Markovin ketjuja. Valitaan tilansiirtotodennäköisyysmatriisiksi

P =
5/6.......1/6
0..........1

P:n vasen ylänurkka eli matriisi Q=5/6. Odotusarvomatriisi N=(I-Q)^-1 = (1/6)^-1=6.

Laitetaanpa nyt vielä toinen simppeli tehtävä noppiin liittyen:

Heitetään noppaa, kunnes saadaan neljä kutosta peräkkäin.

a) Millä todennäköisyydellä 10 heittoa riittää?
b) Montako heittoa keskimäärin tarvitaan?

Markovin ketjuilla homma menee helposti, muitakin tapoja varmasti löytyy...

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
Samuli
Nyt hoksaan. Suuret kiitokset rautalangasta!

Hyvä että aukesi, en ihan valmiiksipureksittua ratkaisua kuitenkaan halunnut tarjota. Oletin lisäksi geometristen sarjojen olevan sen verran tuttuja, että moisen oitis tunnistaisi ja osaisi yhdistää antamaani odotusarvon summakaavaan.
Jorma
Kuutonen tulee keskimäärin joka kuudes kerta, joten odotusarvo on 6, odotusarvon määritelmän mukaan.
Voi tietysti olla joskus tarpeen laskea se sarjoilla, mutta jos sitä ei erikseen mainita on aivan turha laskea itsestäänselvää asiaa.

Lukiolaisen kai kuitenkin odotettaisiin soveltavan ko. tehtävässä vasta käsiteltyjä sarjojen hienouksia. Tuskin minä ainakaan olisin lukiossa osannut todistaa tuon itsestäänselvyyttä ja matemaattisen täsmällisesti perustella miksi vastaus on "6" muuten kuin laskemalla tuon auki.

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
petsku
Samuli
Nyt hoksaan. Suuret kiitokset rautalangasta!

Hyvä että aukesi, en ihan valmiiksipureksittua ratkaisua kuitenkaan halunnut tarjota. Oletin lisäksi geometristen sarjojen olevan sen verran tuttuja, että moisen oitis tunnistaisi ja osaisi yhdistää antamaani odotusarvon summakaavaan.
Jorma
Kuutonen tulee keskimäärin joka kuudes kerta, joten odotusarvo on 6, odotusarvon määritelmän mukaan.
Voi tietysti olla joskus tarpeen laskea se sarjoilla, mutta jos sitä ei erikseen mainita on aivan turha laskea itsestäänselvää asiaa.

Lukiolaisen kai kuitenkin odotettaisiin soveltavan ko. tehtävässä vasta käsiteltyjä sarjojen hienouksia. Tuskin minä ainakaan olisin lukiossa osannut todistaa tuon itsestäänselvyyttä ja matemaattisen täsmällisesti perustella miksi vastaus on "6" muuten kuin laskemalla tuon auki.

Täytyy vain ymmärtää mitä odotusarvo tarkoittaa. Silloin se on täysin itsestäänselvä. Jos osaa vain muutamia kaavoja, joita yrittää soveltaa ymmärtämättä niitä on jokainen tehtävä hankala.
Siksi annoinkin ainoana vihjeenä kerrata odotusarvon määritelmä. Hyvin mahdollista, että lukiolaisen täytyy käyttää juuri oppimaansa. Sen varmistamiseksi kysyin kysymyksen tarkkaa muotoa.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat