MAOLin kaavoja - a^n/n! = 0

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Selailin sattumalta vanhoja MAOLin kaavoja ja seuraava raja-arvo jäi mietityttämään

lim n->ääretön a^n / n! = 0

Olisiko jollain tarjota eksaktia todistusta?

Lähdin insinöörimäisesti kokeilemaan n:n ja a:n arvoja toteuttavatko nämä tämän suppenemisen nollaan. Pienillä a:n arvoilla yhtälö suppenee nopeasti kohti nollaa ännän kasvaessa mutta isoilla a:n arvoilla se vie pitkään. Esim. excelillä leikittäessä a:n arvolla 100 tulos ensin nousee arvoon 1.07151 E+42 ännän ollessa 99 ja lähtee tämän jälkeen laskemaan kohti nollaa ännän lisää kasvaessa. Hienon gaussin käyrän piirtää tämä yhtälö tuossa taitekohdassaan.

Kommentit (6)

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26848
Liittynyt16.3.2005

Tuo voidaan muokata muotoon (a/1) * (a/2) * (a/3) * (a/4) * ...

Olkoonpa a mikä tahansa, kun tuota tarpeeksi jatkaa, tulon tekijät lähestyvät nollaa koska nimittäjä kasvaa aina suuremmaksi. Joku muu saa formuloida tuon matemaatikkojen ymmärtämään muotoon.

Vierailija

Neutronihan tuon idean jo selittikin. Jos a=0, niin väite on triviaali. Oletetaan, että a ei ole 0 ja tarkastellaan jonoa

x_n = |a|^n / n!

Kahden peräkkäisen termin suhde

x_{n+1} / x_n = |a| / (n+1),

joka painuu nollaan, kun n kasvaa rajatta. Nyt on olemassa sellainen vakio 0

x_{n+1} / x_n < c

aina, kun n > N. Induktiivisesti voidaan siis päätellä, että

x_{N+p} < c^p * x_N

jokaisella luonnollisella luvulla p. Koska c on vakio ja 0 < c < 1, niin c^p suppenee nollaan, kun p kasvaa rajatta. Ja väite seuraa.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009

Koska haluttiin matemaattisesti eksaktia todistusta, tässä lienee lupa nipottaa.

kurnimaha
Kahden peräkkäisen termin suhde

x_{n+1} / x_n = |a| / (n+1),

joka painuu nollaan, kun n kasvaa rajatta.


Tämä lienee vain informaali toteamus...

kurnimaha
Nyt on olemassa sellainen vakio 0

x_{n+1} / x_n < c

aina, kun n > N.


Tarkoitit varmaan, että jokaisella c > 0 on olemassa N s.e. x_{n+1} / x_n < c kun n > N. Tai kompaktimmin:

∀c>0 ∃N s.e. n>N ⇒ x_{n+1}/x_n

kurnimaha
Induktiivisesti voidaan siis päätellä, että

x_{N+p} < c^p * x_N

jokaisella luonnollisella luvulla p. Koska c on vakio ja 0 < c < 1, niin c^p suppenee nollaan, kun p kasvaa rajatta. Ja väite seuraa.


Tässä on hypätty nyt jotain välivaiheita yli, koska tuossa on taustalla joku oletus x_N:n äärellisyydestä. Tämä on kyllä kieltämättä nipotusta, koska tuo kriteeri on hyvin tunnettu ja pelkästään vittaamalla tuohon kriteeriin tuosta saa eksaktin:

http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test

Vierailija
Stratonovich
Koska haluttiin matemaattisesti eksaktia todistusta, tässä lienee lupa nipottaa.

kurnimaha
Kahden peräkkäisen termin suhde

x_{n+1} / x_n = |a| / (n+1),

joka painuu nollaan, kun n kasvaa rajatta.


Tämä lienee vain informaali toteamus...

Niin. No täsmennetään: olkoon e > 0 annettu. Kun n > |a| / e, niin

x_{n+1} / x_n < e.

Koska x_n \ge 0 kaikilla n, niin väite seuraa.


kurnimaha
Nyt on olemassa sellainen vakio 0

x_{n+1} / x_n < c

aina, kun n > N.


Tarkoitit varmaan, että jokaisella c > 0 on olemassa N s.e. x_{n+1} / x_n < c kun n > N. Tai kompaktimmin:

∀c>0 ∃N s.e. n>N ⇒ x_{n+1}/x_n


Tuossa on valittu yksi tällainen luku c. Silläkin pärjää.


kurnimaha
Induktiivisesti voidaan siis päätellä, että

x_{N+p} < c^p * x_N

jokaisella luonnollisella luvulla p. Koska c on vakio ja 0 < c < 1, niin c^p suppenee nollaan, kun p kasvaa rajatta. Ja väite seuraa.


Tässä on hypätty nyt jotain välivaiheita yli, koska tuossa on taustalla joku oletus x_N:n äärellisyydestä. Tämä on kyllä kieltämättä nipotusta, koska tuo kriteeri on hyvin tunnettu ja pelkästään vittaamalla tuohon kriteeriin tuosta saa eksaktin:

http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test


Koska c on kiinnitetty, on luku N voitu valita kiinteäksi. Silloin x_N on myös kiinteä positiiviluku. Mielestäni tuossa ei muuta ole skipattu kuin todistus tälle:

Olkoon 0

Tod. Olkoon u > 0. Kun p > log u / log c, niin c^p < u. Täten lim c^p = 0.

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005
Stratonovich
Olkoon 0

Tod. Olkoon u > 0. Kun p > log u / log c, niin c^p < u. Täten lim c^p = 0.



Toisaalta jos lähdetään rakentamaan reaalilukujen systeemiä alkeista, niin tuon raja-arvon voi todistaa tietämättä mitään logaritmeistä.

Selvästi c^p=1/(1/c)^p. Nyt 1/c>1, joten on olemassa sellainen b>0, että 1/c=1+b. Nyt Bernoullin epäyhtälön mukaan
(1+b)^p>=1+bp=1+p(1/c-1), joka kasvaa rajatta kun p kasvaa rajatta. No joo, makuasia mitä kaikkea haluaa olettaa tunnetuksi.

Vierailija
Puuhikki
Toisaalta jos lähdetään rakentamaan reaalilukujen systeemiä alkeista, niin tuon raja-arvon voi todistaa tietämättä mitään logaritmeistä.

Totta. Tässä mielessä "eksaktia todistusta" onkin aika työlästä alkaa kirjoittaa, kun oikeastaan pitäisi alkaa ihan alusta ja ensin konstruoida reaaliluvut jollain tavalla. Nyt kun konstruktiota ei tehty, on aika hankala vetää rajaa sille, mikä vaatii perustelua ja millainen perustelun tulisi olla.

Uusimmat

Suosituimmat