Taas vaikeita laskuja - auttakaa

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

olin harjoittelemassa kokeeseen, kun törmäsin tällaiseen kysymykseen:

Tutki ovatko vektorit u # 0 ja v # 0 yhdensuuntaiset kun u = a - 3b, v = 3a + 4b ja a (nuoli ylös ja alas) b.

osaisin laskea tuon jos a ja b eivät olisi yhden suuntaisia, mutta kun ne ovat.. eli jos joku auttaisi olisin todella kiitollinen. ratkaisun tiedän, mutta olisi kiva tietää välivaiheet, että osaa jatkossa itse ratkaista tämän tyyppiset tehtävät.

Sivut

Kommentit (47)

Heksu
Seuraa 
Viestejä5463
Liittynyt16.3.2005
katty
olin harjoittelemassa kokeeseen, kun törmäsin tällaiseen kysymykseen:

Tutki ovatko vektorit u # 0 ja v # 0 yhdensuuntaiset kun u = a - 3b, v = 3a + 4b ja a (nuoli ylös ja alas) b.

osaisin laskea tuon jos a ja b eivät olisi yhden suuntaisia, mutta kun ne ovat.. eli jos joku auttaisi olisin todella kiitollinen. ratkaisun tiedän, mutta olisi kiva tietää välivaiheet, että osaa jatkossa itse ratkaista tämän tyyppiset tehtävät.




Jos vektorit ovat yhdensuuntaisia, niiden ristitulovektori on nollavektori. Eli ota vektoreista ristitulo, jos tulos on (0,0), vektorit ovat yhdensuuntaisia, muussa tapauksessa eivät ole.

Edit: lisättäköön vielä, että voit tarvittaessa vielä tarkistaa mikä on vektoreiden pistetulon etumerkki. Jos etumerkki on positiivinen, vektorit ovat samansuuntaisia, muutoin vastakkaissuuntaisia.

Voin olla toki väärässäkin, mutta näin väittäisin perstuntumalta.

Edit 2: Empäs tullut ajatelleeksi, ettei ristituloa ole määritelty 2-ulotteisille vektoreille, lähinnä on tullut pyöriteltyä kolmiulotteisia vektoreita.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Jos a ja b ovat yhdensuuntaisia, niin noin määritellyt u ja v ovat taatusti yhdensuuntaisia. Tutki yhdensuuntaisuuden määritelmää. Sellainen on varmaan annettu.

We're all mad here.

Vierailija

Vektorit eivät liene yhdensuuntaisia jos toinen on nollavektori? Eli a =/= 3b ja 3a =/= -4b. Vai onko nollavektori yhdensuuntainen kaikkien kanssa?

Heksu
Seuraa 
Viestejä5463
Liittynyt16.3.2005
abskissa
Jos a ja b ovat yhdensuuntaisia, niin noin määritellyt u ja v ovat taatusti yhdensuuntaisia. Tutki yhdensuuntaisuuden määritelmää. Sellainen on varmaan annettu.



Lol, tajusinpa vasta tämän jälkeen mitä alunperin kysyttiin Tätäpä pitää vallan miettiä.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
ruhtinas routa
Vai onko nollavektori yhdensuuntainen kaikkien kanssa?

Riippuu määritelmästä. Jossain (mm. suomenkielinen Wikipedia) sanotaan vain, että "nollasta poikkeavat vektorit a,b ovat yhdensuuntaisia, jos ...". Tämä on huonosti muotoiltu määritelmä, sillä se ei oikein selvästi sano mitään 0-vektorista. Toisaalla taas 0-vektori määritellään yhdensuuntaiseksi kaikkien vektorien kanssa.

Löydätkö katty oppikirjastasi (?) yhdensuuntaisuuden määritelmän?

We're all mad here.

Guarani River Oil
Seuraa 
Viestejä467
Liittynyt19.8.2010

Jos a ja b vastakkaissuuntaisia, tästä seuraa että a=-b.

u ja v ovat yhdensuuntaisia jos u=av. (a jokin kerroin millä kertomalla v:sta saadaan u)
saadaan siis

u=av ---> a-3b= a(3a + 4b) I a=-b
---> -b-3b=a(-3b+4b) ------> -4b= ab. Eli a=-4.

Vektorit ovat yhdensuuntaiset
//

Outo tehtävä. Yhdensuuntaisuudenhan näkee jo ehdosta että a ja b ovat vastakkaissuuntaisia. Tietenkin jos toinen olisi ollut nollavektori...

EDIT: Perkele unohdin että missään ei sanota että a ja b yksikkövektoreita. ÄLKÄÄ KUUNNELKO MUA. Ja vielä tosiaan toi a:n käyttö kahdessa eri merkityksessä. Olin liian hätänen. Pitää ajatuksen kanssa kohta ajatella toi.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
Guarani River Oil
Jos a ja b vastakkaissuuntaisia, tästä seuraa että a=-b.

Ei pidä paikkaansa.

Guarani River Oil

u ja v ovat yhdensuuntaisia jos u=av. (a jokin kerroin millä kertomalla v:sta saadaan u)
saadaan siis

u=av ---> a-3b= a(3a + 4b) I a=-b
---> -b-3b=a(-3b+4b) ------> -4b= ab. Eli a=-4.

Vektorit ovat yhdensuuntaiset


Ei mene oikein. Etenet perse edellä puuhun. Sinun pitäisi päätellä u=av, ei olettaa. Miksi käytät a:ta merkkaamaan tuota skaalauskerrointa, kun sitä on jo käytetty tehtävänannossa? Sekavaa.

We're all mad here.

Vierailija
abskissa
Jossain (mm. suomenkielinen Wikipedia) sanotaan vain, että "nollasta poikkeavat vektorit a,b ovat yhdensuuntaisia, jos ...". Tämä on huonosti muotoiltu määritelmä, sillä se ei oikein selvästi sano mitään 0-vektorista. Toisaalla taas 0-vektori määritellään yhdensuuntaiseksi kaikkien vektorien kanssa.



Oliko tuolle määrittelylle jokin järkevä perustelu? Äkkiseltään tuntuisi, että tuo lähinnä hankaloittaisi asioita. Tuostahan nimittäin seuraa, ettei vektorien yhdensuuntaisuus olisi symmetrinen ominaisuus (eli ehdosta a || b ei seuraisi, että b || a).

Itse jättäisin yhdensuuntaisuuden määritelmästä nollavektorin pois.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
kurnimaha
Tuostahan nimittäin seuraa, ettei vektorien yhdensuuntaisuus olisi symmetrinen ominaisuus (eli ehdosta a || b ei seuraisi, että b || a).

Itse jättäisin yhdensuuntaisuuden määritelmästä nollavektorin pois.


Minä en jättäisi 0-vektoria määritelmästä pois, vaan kertoisin myös selvästi, onko se yhdensuuntainen jonkun vektorin kanssa vai not, vai jätetäänkö se tarkoituksella relaation ulkopuolelle. Ei kai sitä symmetrisyyttä ole pakko rikkoa.

Tarkoituksena oli vaan kaivaa esille kysyjän käsillä oleva yhdensuuntaisuuden määritelmä, onko tehty ristitulon kautta vai suoremmin. Tehtävä ratkeaa sitä soveltamalla, oli määritelmän muoto mikä hyvänsä.

We're all mad here.

Vierailija
abskissa
Minä en jättäisi 0-vektoria määritelmästä pois, vaan kertoisin myös selvästi, onko se yhdensuuntainen jonkun vektorin kanssa vai not, vai jätetäänkö se tarkoituksella relaation ulkopuolelle. Ei kai sitä symmetrisyyttä ole pakko rikkoa.

Tarkoituksena oli vaan kaivaa esille kysyjän käsillä oleva yhdensuuntaisuuden määritelmä, onko tehty ristitulon kautta vai suoremmin. Tehtävä ratkeaa sitä soveltamalla, oli määritelmän muoto mikä hyvänsä.




No joo, totta. Riippuu tietty siitä, miten yhdensuuntaisuuden määrittelee. Ristituloa ei mielestäni yhdensuuntaisuuden määritelmään kannata puskea, kun se rajaa dimensiota.

En muista lineaarialgebrassa yhdensuuntaisuuden määritelmään törmänneeni, mutta jos nyt jokin määritelmä pitäisi vetäistä, niin tämä tuntuisi ihan järkevältä:

Vektorit a ja b ovat yhdensuuntaisia, mikäli span{a} = span{b}.

Tuosta luontevasti seuraisi, että nolla on yhdensuuntainen vain itsensä kanssa. Tämä olisi siinäkin mielessä luontevaa, että sisätuloavaruuksissa nolla on ortogonaalinen jokaisen vektorin kanssa.

Jos nolla määritellään yhdensuuntaiseksi jonkin muun kuin itsensä kanssa, niin symmetriarikko taitaa olla väistämätön: 0 = 0*a jokaisella vektorilla a, mutta jos a \neq 0, niin ei ole sellaista skalaaria c, että a = c*0. Jos yhdensuuntaisuusrelaation haluaa olevan symmetrinen ja transitiivinen, niin tällöin kaikki vektorit olisivat keskenään yhdensuuntaisia (sillä kaikki ovat yhdensuuntaisia nollan kanssa). Aika turha relaatio siis.

Vierailija

Tehtävässä sanotaan, että a ja b ovat vastakkaissuuntaisia, eli a=k*b, ja k<0

Lisäksi oli

u=a-3b
v=3a+4b, kerrotaan alempi -L:llä ja lasketaan puolittain yhteen:

u-(vL)=a-(3aL)-(3b)-(4bL), josta u=(a-3aL-3b-4bL)+vL

Nyt piti tutkia ovatko u ja v yhdensuuntaisia, ja ne ovat, jos u=vL, jolloin a-3aL-3b-4bL=0

Tulee: a=(3+4L)/(1-3L)*b. Alussa todettiin, että b.n kerroin on oltava <0, joten

(3+4L)/(1-3L)<0, josta lukusuoratarkastelulla L<-3/4 tai L>1/3

Nyt todetaan, että v:lle löytyy reaalilukukerroin L, joten u ja v ovat yhdensuuntaisia

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
katty
Tutki ovatko vektorit u # 0 ja v # 0 yhdensuuntaiset kun u = a - 3b, v = 3a + 4b ja a (nuoli ylös ja alas) b.

Olkoon a = aâ ja b = bb^. Tällöin b = -bâ. Saadaan:
u = a -3b = aâ +3bâ = (a +3b)â
v = 3a +4b = 3aâ -4bâ = (3a -4b)â
Tuosta pitäisi olla jo helppo ratkaista millä a:n ja b:n arvoilla vektorit ovat yhdensuuntaiset (â:n kertoimet samanmerkkiset). a=0 ja b=0 -tapaukseen en ota kantaa. Enkä myöskään ihmettele, vaikka ratkaisumallini olisi täysin hakoteillä.

â ja b^ ovat siis yksikkövektoreita.

E: Prkl, mikä ero on yhdensuuntaisella ja samansuuntaisella? "||" ja "|^|^" vai toisinpäin? Kerpeleen terminologia...
E2: Todettakoon nyt vielä, että mikäli molemmat vektorit voidaan esittää samalla kanta(yksikkö)vektorilla, kuten tuossa yllä tein, niin varmasti ovat yhdensuuntaiset (mikäli yhdensuuntaiset oli = "||"), koska vektori on ainakin euklidisissa avaruuksissa itsensä kanssa yhdensuuntainen.

Vierailija
abskissa
ruhtinas routa
Vai onko nollavektori yhdensuuntainen kaikkien kanssa?

Riippuu määritelmästä. Jossain (mm. suomenkielinen Wikipedia) sanotaan vain, että "nollasta poikkeavat vektorit a,b ovat yhdensuuntaisia, jos ...". Tämä on huonosti muotoiltu määritelmä, sillä se ei oikein selvästi sano mitään 0-vektorista. Toisaalla taas 0-vektori määritellään yhdensuuntaiseksi kaikkien vektorien kanssa.



Missä 0-vektori määritellään kaikkien vektorien kanssa yhdensuuntaiseksi? Itse en muista törmänneen kuin täysin päinvastaiseen määritelmään, eli että 0-vektori on kohtisuorassa kaikkia vektoreita vastaan.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Niinpäs ne olikin, a ja b, vastakkaissuuntaisia. No joo, ei se asiaa muuta, yhdensuuntaisia joka tapauksessa vaikkei samansuuntaisia. Yhdensuuntaisten vektoreiden kaikki lineaarikombinaatiot ovat yhdensuuntaisia (pois 0-vektorit siten kun halutaan). Sen näkee aivan samalla idealla, kuin tämän tehtävän yksittäistapauksen, ja tuon idean mölkhö jo esitti. En tosin ymmärrä, mistä ja miksi se L piti tempaista mukaan.

Annetaan nyt vielä toinen L:tön malli, kun tehtävä on joka tapauksessa ratkaistu.

Koska a ja b ovat vastakkaissuuntaisia, niin jollakin k < 0 pätee b = ka. Tätä soveltaen saadaan

u = a - 3b = a - 3ka = (1 - 3k)a

ja

v = 3a + 4b = 3a + 4ka = (3 + 4k)a.

Tiedetään että (1 - 3k) > 0, joten voidaan kirjoittaa

v = (3 + 4k)a = ((3 + 4k) / (1 - 3k))(1 - 3k)a = ((3 + 4k) / (1 - 3k))u.

Siis u || v.

We're all mad here.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
jji
Missä 0-vektori määritellään kaikkien vektorien kanssa yhdensuuntaiseksi? Itse en muista törmänneen kuin täysin päinvastaiseen määritelmään, eli että 0-vektori on kohtisuorassa kaikkia vektoreita vastaan.

Wolfram Mathworldissa taisi ainakin olla. Siis siellä oli vaan ristitulon kautta esitetty. Samaan päätyy vaikka lineaarisen riippuvuuden kautta, jos ei halua 0-vektoria rajata pois.

Eivät nuo ole mitenkään päinvastaisia määritelmiä. Nollavektori voi aivan hyvin olla sekä kohtisuorassa että yhdensuuntainen kaikkien muiden ja itsensä kanssa, jos niin sovitaan.

We're all mad here.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat