Trigonometriaa

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Mitä ihmettä luvulle 0,57735027 tehdään kun siitä otetaan arctan? Siitä tulee 30, mutta miten?

Sivut

Kommentit (18)

Nupo
Seuraa 
Viestejä208
Liittynyt20.1.2010

Sille voidaan tehdä vaikka näin:

Leonhard Euler keksi nopeammin suppenevan sarjan, jolla arkustangentin arvot voidaan laskea:

Tietenkin pitää vielä konvertoida arvot asteiksi, jotta saa arvoksi tuon 30, eli kerro 360:lla ja jaa 2*piillä.

Edit: MOT: (0,57735027-0,57735027^3/3+0,57735027^5/5-0,57735027^7/7+0,57735027^9/9-0,57735027^11
/11+0,57735027^13/13-0,57735027^15/15)*360/(2*pi) = 30,000

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009

Arkustangentti palauttaa kulman. Kun tiedät vaikkapa suorakulmaisen kolmion pysty- ja vaakakateetit, olkoot x ja y, niin saat kulman a:
tan(a) = y/x.
a = arctan(y/x)

Arkustangentti on tangentin käänteisfunktio, joten tangentin kulmalle a suorittama operaatio kumoutuu ottamalla siitä arkustangentin. Yhtälössä sama toimenpide on tehtävä molemmille puolille, jotta yhtäsuuruus säilyy. Eli tuossa tapahtui oikeasti:
tan(a) = y/x
arctan(tan(a)) = arctan(y/x)
a = arctan(y/x)
Vastaavasti:
e^x = c
ln(e^x) = ln(c)
x = ln(c)
Funktio ja käänteisfunktio kumoavat, ainakin näissä tapauksissa, toisensa.

Tuo 0,57735027 on kateettien suhde ja 30 vastinkulma, kun pelataan asteilla eikä radiaaneilla.

Nupo esittikin yleisemmän määritelmän.

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
Kuramalli
Miten toi alin rivi jatkuu? En oikeen pääse käsiksi siihen miten noi luvut muodostuu.


Seuraavan termin saat, kun sijoitat summalausekkeessa olevaan kaavaan n:n tilalle luvun 5. Sitä seuraavan termin sijoittamalla 6 jne.

Vierailija
petsku
Kuramalli
Miten toi alin rivi jatkuu? En oikeen pääse käsiksi siihen miten noi luvut muodostuu.


Seuraavan termin saat, kun sijoitat summalausekkeessa olevaan kaavaan n:n tilalle luvun 5. Sitä seuraavan termin sijoittamalla 6 jne.

Lisäksi tuosta olisi ihan hyvä laittaa merkille, että B[size=70:3mcj4lls]2n[/size:3mcj4lls] tarkoittaa Bernoullin numeroa 2n, jonka laskeminen vaatii omat sarjakikkailunsa:
http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number

Ylemmällä rivillä U[size=70:3mcj4lls]2n+1[/size:3mcj4lls] puolestaan tarkoittaa ylös/alas-numeroa (up/down number), jota myös Eulerin zigzag-numeroiksi kutsutaan:
http://en.wikipedia.org/wiki/Up/down_number

Vierailija
klk
Arkustangenttiin liittyen:
Miten saan tarkan arvon tälle lausekkeelle ilman laskinta?

sin(2arctan4)


Ainakin näin.
Piirretään suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on 1, kulma=A, vastainen sivu=sin(2arctan4) ja viereinen sivu=cos(2arctan4). Kolmiosta saadaan:

sin(A)=sin(2arctan4)
A=2arctan4
A/2=arctan4
4=tan(A/2)

Piirretään uusi suorakulmainen kolmio, jonka kulma=A/2,vastainen sivu=4 ja viereinen sivu=1.

Hypotenuusa on tällöin sqrt(17),sekä
sin(A/2)=4/sqrt(17)
cos(A/2)=1/sqrt(17)

Sin(A)=2*4/sqrt(17)*1/sqrt(17)=8/17. Sitä kysyttiin.

Vierailija
mölkhö
klk
Arkustangenttiin liittyen:
Miten saan tarkan arvon tälle lausekkeelle ilman laskinta?

sin(2arctan4)


Ainakin näin.
Piirretään suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on 1, kulma=A, vastainen sivu=sin(2arctan4) ja viereinen sivu=cos(2arctan4). Kolmiosta saadaan:

sin(A)=sin(2arctan4)
A=2arctan4
A/2=arctan4
4=tan(A/2)

Piirretään uusi suorakulmainen kolmio, jonka kulma=A/2,vastainen sivu=4 ja viereinen sivu=1.

Hypotenuusa on tällöin sqrt(17),sekä
sin(A/2)=4/sqrt(17)
cos(A/2)=1/sqrt(17)

Sin(A)=2*4/sqrt(17)*1/sqrt(17)=8/17. Sitä kysyttiin.


Otetaas uus aloitus.
arctan4 tarkoittaa kulmaa, jonka tangentti on neljä. Kulma siis sijaitsee ensimmäisessä tai kolmannessa koordinaatiston neljänneksessä, ja 2arctan4 sijaitsee toisessa tai ensimmäisessä neljänneksessä. Kummassakin tapauksessa
sin(2arctan4) on positiivinen, ja kummatkin tapaukset voidaan käsitellä yhdessä ja samassa eli ensimmäisessä neljänneksessä, samalla kulmalla..
Jos suorakulmaisen kolmion kulman tangentti on 4, niin vastainen on 4, viereinen 1 ja hypotenuusa sqrt17.
kulman sin=4/sqrt17, kulman cos=1/sqrt17, ja kaksinkertaisen kulman
sin=2*sin(kulma)*cos(kulma)
Kun kerran kulma oli arctan4, niin sin(2arctan4)=2*4/sqrt17*1/sqrt17=8/17

jjw
Seuraa 
Viestejä521
Liittynyt20.9.2010
Kuramalli
Milläs kaavalla mä saan otettua luvusta sinin? Tarttis mikrokontrolleriin saada sellanen funktio.



Tarvitsetko tarkkuutta vai laskennan nopeutta ?

Sinin sarjakehitelmä: x -x^3/3!+x^5/5!-x^7/7! ...
Virheen itseisarvo < ensimmäinen poisjätetty termi.

Nopeampia tapoja: taulukko, approksimointi esim. 2. asteen polynomilla ...

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1557
Liittynyt12.4.2005
Kuramalli
Milläs kaavalla mä saan otettua luvusta sinin? Tarttis mikrokontrolleriin saada sellanen funktio.

Tämä onnistuu sarjoja käyttämällä. Muitsta kuitenkin, että trigonometriset sarjat vaativat kulman radiaaneina, ja lisäksi jotkut niistä toimivat vain rajatuilla argumentin arvoilla.

Vanha jäärä

Vierailija

Yhä arkusfunktioista: palauttavatko ne siis vain yhden arvon? Esimerkiksi lähtölukua 1 voi vastata kulmat 45 + n*180 (astetta), mutta onhan neliöjuurifunktiokin niin määritelty, että se saa vain positiivisen arvon.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
sakvaka
Yhä arkusfunktioista: palauttavatko ne siis vain yhden arvon? Esimerkiksi lähtölukua 1 voi vastata kulmat 45 + n*180 (astetta), mutta onhan neliöjuurifunktiokin niin määritelty, että se saa vain positiivisen arvon.



Kyllä neliöjuurellakin on kaksi eri arvoa, itseisarvoltaan samat, mutta eri merkkiset. Usein vain tarvitaan sitä positiivista,josta ehkä väärinkäsityksesi.

Samoin, koska tg(t + pii) = tg(t) ja yleisesti tg(t + n pii) = tg(t) (180 astetta = pii radiaania) niin arctg(x) "palauttaa" kaikki arvot t + n pii, misssä tg(t) =
tg(t + n pii) = x. Usein kuitenkin käytetään vain tuota "päähaaran" arvoa, missä
- pii / 2 <= t <= pii / 2.

Tuon sin(2 arctg(4)) - lausekkeen arvon voi laskea myös ilman mitään "kolmioajattelua" näin:

Olkoon arctg(4) = t, jolloin 4 = tg(t) = sin(t) / cos(t) = sin(t) / sqrt(1 - sin^2(t).
Tästä seuraa,että

4^2 = sin^2(t) / (1- sin^2(t) , josta seuraa, että

sin^2(t) = 4^2 (1 - sin^2(t)) ja edelleen sin^2(t) = 4^2 / (1 + 4^2) ja neliöjuuren positiivista arvoa käyttäen

sin(t) = 4/sqrt(17). Tällöin cos(t) = sqrt(1 - sin^2(t)) = 1 / sqrt(17). Koska sin(2t) = 2 sin(t) cos(t), on sin(2 arctg(4)) = 2 x 4/sqrt(17) x 1/sqrt(17) = 8/ 17,
kuten muutkin ovat laskeneet.

Totean vielä,mahdollisia viisastelijoita ajatellen, että koska tehtävässä tg(t) = 4, niin yllä olevassa sin(t) ei voi olla 1 eikä - 1.

Noista sarjakehitelmistä vielä sen verran, ett'ä funktioiden sin(t) ja cos(t) eräät kehitelmät on helppo johtaa jos ei sattuisi muistamaan niitä.

Maclaurin- kehitelmä funktiolle f(t) = f(0) + f'(0) t + (1/2!) f''(0) t^2 + (1/3!) f'''(0) t^3 + ...
ja koska sin'(t) = d/dt (sin(t) ) = cos(t),cos'(t) = d/dt(cos(t)) = - sin(t), sin(0) = 0 ja cos(0) = 1,saa kehitelmät helposti.

Ohman

Vierailija

Ennen kuin kulmafunktioita tai niiden käänteisfuntioita
ryhtyy ratkaisemaan, on sovittava, onko kulma
radiaaneissa vai asteissa.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat