Induktiotodistus ei etene?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Hei,

Vieläkö täällä saa tyhmänä kysellä? 2008 täällä kyselinkin vastauksia pariin ongelmaani ja sain erittäin asiallista neuvoa, kiitos siitä!

Ongelmani on seuraava:

Olkoon a1=a2=5 ja a(n+1)=an+6a(n-1) . Todista induktiolla, että an=3^n - ((-2)^n), kun n on kokonaisluku. (n, n+1, n-1 ovat siis alaindeksejä)

Ratkaisuni etenee näin:

1. Alkuaskel. olk. n=1

a1=3^1-((-2)^1)
a1=3+5
5=5 OK

2. Induktioaskel n=k

Oletus: a(k)=3^k-((-2)^k)

Väite: a(k+1)=3^(k+1)-((-2)^(k+1))

Todistus:

a(k+1) = 3*3^k - (-2)*(-2)^k I Tässä kohtaa vaihdoin a(k+1)=a(k)+6a(k-1)

a(k)+6a(k-1) = 3*3^k + 2*(-2)^k

6a(k-1) = (3-1)3^k + (2+1)(-2)^k

a(k-1) = 3^(k-1) - 2^(k-1)

Tuosta en pääse ollenkaan eteenpäin. Osaisiko joku auttaa? Olenko edes oikeilla jäljillä?

Kiitos paljon etukäteen!

Kommentit (11)

Vierailija
Mixer

2. Induktioaskel n=k

Oletus: a(k)=3^k-((-2)^k)

Väite: a(k+1)=3^(k+1)-((-2)^(k+1))

Todistus:

a(k+1) = 3*3^k - (-2)*(-2)^k I Tässä kohtaa vaihdoin a(k+1)=a(k)+6a(k-1)




Olet lähtenyt liikkeelle väitteestä ja pyrit muokkaamaan sen triviaalisti todeksi osoitettavaan muotoon. Makuasia, mutta itse lähtisin mieluummin vain muokkaamaan lauseketta a(k+1):lle. Siis a(k+1) = a(k) + 6a(k-1), ja sitten sieventäisin tätä rekursiokaavan avulla, kunnes haluttu muoto 3^(n+1) - (-2)^(n+1) on saatu. Ei mene montaa riviä.


a(k)+6a(k-1) = 3*3^k + 2*(-2)^k

6a(k-1) = (3-1)3^k + (2+1)(-2)^k

a(k-1) = 3^(k-1) - 2^(k-1)

Tuosta en pääse ollenkaan eteenpäin. Osaisiko joku auttaa? Olenko edes oikeilla jäljillä?




Olet melkein perillä, mutta hienosäätöä tarvitaan:

(1) Muokkaa viimeinen termi muotoon -(-2)^(k-1) muodon -2^(k-1) sijasta.
(2) Ajattele induktio-oletusta uudella tavalla: oletus pätee, kun n = k tai n < k.
(3) Joudut tarkistamaan perusaskeleessa erään toisenkin yhtälön pätevyyden.

Tavoitteena on, että induktioaskeleessa viimeiseksi saamasi yhtälö on triviaalisti totta.

Kysy lisää, jos ei näillä aukea.

(Editoin viestistäni ensimmäisen version typeryydet pois. Toivottavasti ei jäänyt enää typeryyksiä.)

(Jäi typeryyksiä. En nyt kumminkaan ole siivonnut niitä pois.)

Vierailija
Samuli
sitten sieventäisin tätä rekursiokaavan avulla, kunnes haluttu muoto 3^(n+1) - (-2)^(n+1) on saatu. Ei mene montaa riviä.



Nyt meni yli meikäläisen pään. Eli siis millä rekursiokaavalla?

(2) Ajattele induktio-oletusta uudella tavalla: oletus pätee, kun n = k tai n < k.
(3) Joudut tarkistamaan perusaskeleessa erään toisenkin yhtälön pätevyyden.



Kolmoskohta on ainakin arvelluttava? Pitääkö minun tarkistaa onko a(n+1)=a(n)+6a(n-1) pätevä?

Kiitos paljon jo tähän asti!

Vierailija
Mixer

Nyt meni yli meikäläisen pään. Eli siis millä rekursiokaavalla?



Älä huoli, minä sekoilin. Ei pitänyt puhua mistään rekursiokaavasta vaan induktio-oletuksesta. Olet nyt olettanut, että a(n) = 3^n - (-2)^n pätee, kun n = k. Saat kuitenkin olettaa enemmän: saat olettaa, että kaava pätee, kun n = k, ja myös, kun n < k. Siis pätee a(k) = 3^k - (-2)^k ja myös a(k-1) = 3^(k-1) - (-2)^(k-1). Näillä kaavoilla saat sievennettyä lauseketta a(k) + 6a(k-1).


Kolmoskohta on ainakin arvelluttava? Pitääkö minun tarkistaa onko a(n+1)=a(n)+6a(n-1) pätevä?



Ei vaan on tutkittava, päteekö myös tapaus n = 2. Käytät nimittäin todistuksessasi sitä tietoa, että k on vähintään 3.

Vierailija

Hei,

Kiitos paljon avusta! Sain tuon a(n+1)=a(n)+6a(n+1) sievennettyä tuohon induktioväitteen muotoon. Tätä ilmeisesti haettiinkin? Vai?

Saanko vielä sen verran häiritä, että kertoisit, että miksi saa olettaa, että kaava pätee k-1 ja k arvoilla? Miksei sitten voisi yhtä hyvin olettaa että kaava pätee k+1 arvolla? Saatan kuulostaa noviisilta, mutta olen nyt yliopistossa ja intti/muiden seikkailujen jälkeen on matematiikka vähän hukassa, eikä luennoitsijakaan ehtinyt auttamaan, siksi kyselin täältä neuvoa.

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
Mixer
miksi saa olettaa, että kaava pätee k-1 ja k arvoilla? Miksei sitten voisi yhtä hyvin olettaa että kaava pätee k+1 arvolla?

k on mielivaltainen luonnollinen luku. Jos k=7, niin k-1=6. Toisaalta mikäli k=6, k+1=7. On siis aivan yhdentekevää, vaikka tutkisi arvoja k+298 ja k+300-1. Pointti on, että tuloksen on oltava yhtäpitävä kaikilla peräkkäisillä arvoilla.
Joskus arvojen k-1 ja k käyttäminen vain voi helpottaa algebrallista pyörittelyä arvoihin k ja k+1 nähden. Joskus ei ole mitään väliä.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
Mixer
Saanko vielä sen verran häiritä, että kertoisit, että miksi saa olettaa, että kaava pätee k-1 ja k arvoilla? Miksei sitten voisi yhtä hyvin olettaa että kaava pätee k+1 arvolla? Saatan kuulostaa noviisilta, mutta olen nyt yliopistossa ja intti/muiden seikkailujen jälkeen on matematiikka vähän hukassa, eikä luennoitsijakaan ehtinyt auttamaan, siksi kyselin täältä neuvoa.

Tavoitteena on todistaa väite

"JOS kaava pätee arvolla k, NIIN se pätee arvolla k+1".

Väite on siis muotoa "jos A, niin B". Tätä muotoa oleva väite todistetaan yleensä olettamalla A ja osoittamalla (oletuksen avulla) B. Tuollaista todistustapaa kutsutaan suoraksi. Oletus tehdään siis todistusteknisistä syistä, eikä kyseessä ole mikään induktiotodistuksen erikoisuus.

Suorassa todistuksessa on toki pidettävä huolta siitä, että oletus A ei ole ristiriitainen. Induktion tapauksessa on ensin otettu alkuaskel, joten tiedetään, että kaava pätee ainakin jollain k. Siksi oletus "kaava pätee arvolla k" ei ole ristiriitainen, kun k on vapaa.

We're all mad here.

Vierailija
Mixer

Kiitos paljon avusta! Sain tuon a(n+1)=a(n)+6a(n+1) sievennettyä tuohon induktioväitteen muotoon. Tätä ilmeisesti haettiinkin? Vai?



Jos olet osoittanut, että a(k+1) = 3^(k+1) - (-2)^(k+1), niin induktioaskel on valmis.


Saanko vielä sen verran häiritä, että kertoisit, että miksi saa olettaa, että kaava pätee k-1 ja k arvoilla?



Siis miksi saa olettaa, että kaava pätee myös arvolla k - 1 eikä ainoastaan arvolla k. Ajattele näin: Jos perusaskeleessa tarkistat tapauksen n = 1 lisäksi tapauksen n = 2, olet varmistanut kaavan toimivuuden ainakin kahdella peräkkäisellä luvulla. Kun nyt induktio-oletukseksi oletat, että kaava pätee kahdella peräkkäisellä luvulla k - 1 ja k, ei tämä oletus ole tyhjän päällä. Olethan nimittäin juuri varmistanut, että se pätee ainakin luvuilla 1 ja 2. Jos voit osoittaa kaavan pätevyydestä arvoilla k - 1 ja k, että kaava pätee myös arvolla k + 1, tiedät kaavan pätevän ainakin arvoilla 1, 2 ja 3. Mutta nyt, koska kaava pätee arvoilla 2 ja 3, se pätee myös arvolla 4. Ja koska se pätee arvoilla 3 ja 4, se pätee myös arvolla 5, jne.


Miksei sitten voisi yhtä hyvin olettaa että kaava pätee k+1 arvolla?



Tarkoitat ilmeisesti, että miksi ei varsinaista väitettä tai ihan mitä hyvänsä sitten voi olettaa, jos kerran tapauksen n = k lisäksi saa olettaa myös tapauksen n = k - 1. No siksi, että perusaskeleessa testaamasi tapaukset eivät anna mitään takeita siitä, että kaava pätisi suurinta testattua lukua *seuraavallakin* arvolla.

Minun ei muuten olisi kannattanut ehdottaa, että olettaisit tapaukset n = k ja n < k. Tapaukset n = k ja n = k -1 riittävät hyvin.

Vatkain
Seuraa 
Viestejä27432
Liittynyt4.3.2008
Mixer
Saatan kuulostaa noviisilta, mutta olen nyt yliopistossa ja intti/muiden seikkailujen jälkeen on matematiikka vähän hukassa, eikä luennoitsijakaan ehtinyt auttamaan, siksi kyselin täältä neuvoa.

Joo eikoo kauheeta, mullon sama!

[size=50:22gepn2o](eivaiskaaneneestajuamistätässäpuhutaan)[/size:22gepn2o]

Hämmentää.

Vierailija
Samuli
Jos olet osoittanut, että a(k+1) = 3^(k+1) - (-2)^(k+1), niin induktioaskel on valmis.



Näin tein, eli kiitos sinun ja muiden ratkaisin tehtävän! Onpa oikea voittajafiilis


Siis miksi saa olettaa, että kaava pätee myös arvolla k - 1 eikä ainoastaan arvolla k. Ajattele näin: Jos perusaskeleessa tarkistat tapauksen n = 1 lisäksi tapauksen n = 2, olet varmistanut kaavan toimivuuden ainakin kahdella peräkkäisellä luvulla. Kun nyt induktio-oletukseksi oletat, että kaava pätee kahdella peräkkäisellä luvulla k - 1 ja k, ei tämä oletus ole tyhjän päällä. Olethan nimittäin juuri varmistanut, että se pätee ainakin luvuilla 1 ja 2. Jos voit osoittaa kaavan pätevyydestä arvoilla k - 1 ja k, että kaava pätee myös arvolla k + 1, tiedät kaavan pätevän ainakin arvoilla 1, 2 ja 3. Mutta nyt, koska kaava pätee arvoilla 2 ja 3, se pätee myös arvolla 4. Ja koska se pätee arvoilla 3 ja 4, se pätee myös arvolla 5, jne.



Hei, tämähän kuulostaa järkevältä, enemmänkin järkevältä kuin luennoitsijan ihme höpinät! Kiitos!

Tarkoitat ilmeisesti, että miksi ei varsinaista väitettä tai ihan mitä hyvänsä sitten voi olettaa, jos kerran tapauksen n = k lisäksi saa olettaa myös tapauksen n = k - 1. No siksi, että perusaskeleessa testaamasi tapaukset eivät anna mitään takeita siitä, että kaava pätisi suurinta testattua lukua *seuraavallakin* arvolla.



Kiitos paljon selvityksestä!

Ps. Tehtävässä oli myös että n on suurempi tai yhtä suuri kuin 2. Se ei aiheuttane ongelmaa?

Vierailija

Heips

Laitan tämän tänne aloittamani ketjun jälkeen, etten koko palstaa täyttäisi kysymyksilläni

Ongelma on, etten saa seuraavaa tehtävää edes aluilleen:

Kappale on kitkattomalla vaakasuuntaisella alustalla siten, että se on molemmista päistään kiinnitetty jousella, joiden jousivakiot ovat k1= 0,050 ja k2=0,063 N/m. Jouset ovat kiinni seinässä toisesta päästään. Kappale pääsee siis värähtelemään jousien välissä. Mikä on värähdysliikkeen jakso?

En tahdo ratkaisua, mutta edes jonkun lähtökohdan mistä tämän tehtävän voisi ratkaista. Koetin ratkaista systeemin yhteistä jousivakiota mutta eikai se kuitenkaan ole k1+k2? Mietin kuitenkin että harmoniset voimat ovat samaan suuntaan, mutta päättelyni ei tunnu kuitenkaan validilta.. Mitä tehdä?

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
Mixer
En tahdo ratkaisua, mutta edes jonkun lähtökohdan mistä tämän tehtävän voisi ratkaista. Koetin ratkaista systeemin yhteistä jousivakiota mutta eikai se kuitenkaan ole k1+k2? Mietin kuitenkin että harmoniset voimat ovat samaan suuntaan, mutta päättelyni ei tunnu kuitenkaan validilta.. Mitä tehdä?

Kyllä se taitaa näin mennä, mutta kyllä varmaan kannattaisi muodostaa systeemin differentiaaliyhtälö ja tehdä päätelmä sen perusteella.

Uusimmat

Suosituimmat