Vastakkaiset pyörähdyskappaleet

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Jos funktiot f(x) ja -f(x) pyörähtävät x-akselin ympäri välillä [a.b] onko saatu tilavuus 0?

Sivut

Kommentit (17)

Saw
Seuraa 
Viestejä6251
Liittynyt20.6.2009

Pyörähtävä vekotin on siis x-akselia myötäilevä käyrä, joten tällä ei voi olla tilavuutta. Näin mennään derivoituvilla, jatkuvilla reaalitason funktioilla.

Young man, there's a place you can go.
I said, young man, when you're short on your dough.
You can stay there, and I'm sure you will find
Many ways to have a good time.

It's fun to stay at the Y.M.C.A.
It's fun to stay at the Y.M.C.A.

Vierailija

Kysymys siis kuuluu, mikä on tilavuus kun käyrä f(x) ja -f(x) pyörähtävät x-akselin ympäri. Molemmissa suorat x=a ja x=b toimivat rajaavina.

Vierailija

Itse ajattelen, että tilavuudet tavallaan kumoaisivat toisensa, kuten tässä seuraavassa on tapahduttava: Pahoittelen sotkuja, aivot olivat niin jäässä, että kesti ajatella, että kumpi olikaan sin ja kumpi cos. Akselijaoituksella tuli todella rumat käyrät, mutta mittasuhteet säilyvät silti. En tosin muutenkaan osaa piirtää ettei sen puoleen.

Kun tuo härpäke pyörähtää tuosta ympäri niin vaakaraidoitetun ja pystyraidoitetun alueen tilavuus ovat yhtäsuuret.
Välit ovat siis [0,pii/4] ja [pii/4,pii]. Integroi vaikka itse.

Vierailija

Pyörähdyskappaleen tilavuuden lausekkeessa on funktion f(x) neliö joten oli sen arvo negatiivinen tai positiivinen tilavuudelle ei koskaan tule negatiivista arvoa jos sen oikein laskee.

Vierailija

Tiedän kyllä laskutavan ja kaavan. Vaikka hommassa onkin neliöönkorotus ei se silti laskusta miinuksia poista. Eikä tilavuus tietenkään voi olla negatiivinen, sanoohan sen jo arkijärkikin (korkeamman tason teoreettisessa jossain ehkä onkin negatiivinen, en tiedä).

Laskut joilla saadaan kummankin tilavuus on useampaan kertaan tarkistettu, maikkakaan ei löytänyt fibaa.

pystyraidoitettu: (käytän // integraalimerkkinä)

pii[0//pii/4((cosx)^2-(sinx)^2)dx]=pii[0/pii/4(1/2(sinx2))]=pii(1/2sin(pii/2))=1/2pii

Vaakaraidoitettu: (sama merkintä)

pii[pii/4//pii((sinx)^2-(cosx)^2)dx]=pii[pii/4/pii(-1/2sin2x)=pii[(-1/2sin(2pii)-(-1/2sin(2pii/4)]=1/2pii

Oikaisin suht monta mahdollista välivaihetta, tämä ei ole paras pohja matematiikalle.

Laskin molemmat määrätyt integraalit vielä laskimella ja tulokset olivat identtiset. (Laskin tosin käyttää simpsonin menetelmää, muistaakseni jakovälillä 1/1000 tmv.)

Vierailija
Ielmoere
Jos funktiot f(x) ja -f(x) pyörähtävät x-akselin ympäri välillä [a.b] onko saatu tilavuus 0?



Tilavuusintegraali f(x) = V
Tilavuusintegraali -f(x) = V

Sinulla on 2 tilavuutta, jotka ovat yhtä suuria koska funktiot ovat symmetrisiä. V = 0 jos f(x) = 0 (muoks. tai luonnollisesti integrointiväli on 0).

Jotenkin minusta kuitenkin tuntuu, että haet jotain noiden kahden funktion yhdistelmää, ja haluat tietää sen yhdistelmän tilavuuden. Mitä tarkoitat sanalla "ja"? Lasketko integraalia jostain oudosta kehitelmästä, joka antaa yhdelle määrittelyjoukon arvolle useampia arvojoukon arvoja: g(x) = f(x) JA -f(x)? Saat määritellä funktion ja integraalin aivan uudestaan jos näin teet.

Vierailija
Ielmoere
Laskut joilla saadaan kummankin tilavuus on useampaan kertaan tarkistettu, maikkakaan ei löytänyt fibaa. ...
Eihän siinä mitään varsinaista fibaa ole paitsi että lasket kahden erillisen pyörähdyskappaleen tilavuuksien erotusta. Sehän voi tietysti olla nolla tai negatiivinenkin.

Vierailija

Kysymys tuohon trigonometristen funktioiden tehtävään kuuluu: Käyrät y=sinx ja y=cosx rajoittavat alueen välillä [0,pii], laske syntyvä tilavuus kun alue pyörähtää x-akselin ympäri.

Mietin vain kun tuota kuvaa katsoo niin ei tunnu ollenkaan järkevältä, että nuo 2 tilavuutta, jotka pitää erikseen laskea olisivat yhtäsuuret ellei se, että samasta kohtaa pyörähdä ala kahta kertaa tavallaan kumoa sitä. En tiedä ymmärrättekö ideaani.

Meinaan kysymykselläni, että f(x) ja -f(x) rajaavat tason, joka pyörähtää x-akselin ympäri. Onko sen tilavuus 0?

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Ielmoere
Kysymys tuohon trigonometristen funktioiden tehtävään kuuluu: Käyrät y=sinx ja y=cosx rajoittavat alueen välillä [0,pii], laske syntyvä tilavuus kun alue pyörähtää x-akselin ympäri.

Mietin vain kun tuota kuvaa katsoo niin ei tunnu ollenkaan järkevältä, että nuo 2 tilavuutta, jotka pitää erikseen laskea olisivat yhtäsuuret ellei se, että samasta kohtaa pyörähdä ala kahta kertaa tavallaan kumoa sitä. En tiedä ymmärrättekö ideaani.

Meinaan kysymykselläni, että f(x) ja -f(x) rajaavat tason, joka pyörähtää x-akselin ympäri. Onko sen tilavuus 0?


Riippuu mitä kysytään eli tarkoitetaanko esim. käyrien välin rajaamaa tilavuutta vai erikseen kummankin käyrän ja x-akselin välin muodostamaa yhteenlaskettua tilavuutta tai niiden erotusta (niiden pyörähtäessä x-aklselin ympäri). Tehtävän asettelu vaikuttaa tuolta osin joko puutteelliselta tai virheellisesti tulkitulta / esitetyltä.

Edit; Kannattaa nimittäin huomata että se x-akselikin on eräs käyrä, tosin aika suora sellainen.

Edit2: Olettaisin kyllä, että tarkoitetaan nimenomaan käyrien välin tuottamaa tilavuutta, kun ne pyörähtävät x-akselin ympäri. Tällöin vain ne pisteet joilla on täysin samat x,y-arvot eivät lisää tilavuutta.

Vierailija

Kyseessä on itseasiassa vanha yo-tehtävä, tosin väliä on hieman kasvatettu. Tarkoitetaan käyrien ja mielivaltaisten käyrien x=a ja x=b väliin jäävän pinnan pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvää tilavuutta.

Loogisesta ajateltuna ne pisteet joiden x on sama ja y:n itseisarvo pienempi kuin toisen käyrän eivät lisää tilavuutta.

Ensimmäinen pystyviiva on x=0 toinen x=pii/2 ja kolmas pii.

Sama tilanne, tosin nyt kuva on laskimesta peräisin. Laskujen perusteella, jotka jo tuolla ylempänä ovat, on punaisen alueen pyörähtäessa muodostama tilavuus sama, kuin vihreän+mustan alueen pyörähtäessa syntyvä tilavuus. Kaikki pyörii x:än ympäri. Toisaalta jos katsoo kuvaa ovat punainen ja vihreä alue kooltaan ja sijainniltaan identtiset, peilikuvat toisistaan, eli eikö niiden muodostamien pyörähdyskappaleiden tilavuuksien ole oltava samat? Mihin katoaa mustan alueen pyörähdyskappaleen muodostama tilavuus?

Vierailija

Laskit siis sinikäyrän pyörähdyskappaleen ja cosinikäyrän pyörähdyskappaleen tilavuuksien erotuksia. Jos alue rajataan mustalla merkityn mukaiseksi, kyseiset tilavuudet ovat yhtäsuuret ja tottakai niiden erotus on silloin = 0. Erotus ei kuitenkaan vastaa kyseisen pyörähdyskappaleen tilavuutta. Sillä osalla x-akselia, jolla sin ja cos ovat erimerkkiset, on laskettava ainoastaan itseisarvoltaan suuremman funktion osalta tilavuus. Eli vain cos kohtaan 3/4 pii ja sen jälkeen vain sin.

Vierailija

Voitaisiin varmaan myös ajatella, että itseisarvoltaan pienempi säde kovertaa suurempaan aukkoa huolimatta siitä, ovatko ne erimerkkisiä.

Vierailija

Kyllä, olet täysin oikeassa, lasku onkin siis tehtävä 3 osassa. Luulin vain itse olevani oikeassa, koska maikkakin sanoi, että noin tuo lasketaan (annettakoon ensimmäinen virhe 10 kurssin aikana anteeksi). Pitäisikin varmaan miettiä vähän enempi itseisarvojen suuruuksien todistusta, mutta ei tähän kellonaikaan. Ellei muistini täysin petä oli yo:ssa väli [0,pii/4], jolloin tehtävä helpottuu paljon. Kiitokset avusta.

Toinen asiaa tavallaan mutkistava seikka on se, että kun lasketaan pinta-alaa voi ottaa tylysti ylempi-alempi riippumatta mistään muusta.

Edit. Loogista on, että "koverrus" tapahtuu jos ne ovat samanmerkkisiä, sillä silloin niiden välinen pinta-ala jää pienemmäksi. Täysin alkuperäinen kysymys olikin juuri tuo, kovertaako erimerkkinen se, jolla on pienempi itseisarvo siitä toisesta tilavuutta pois?

Vierailija
Ielmoere
Täysin alkuperäinen kysymys olikin juuri tuo, kovertaako erimerkkinen se, jolla on pienempi itseisarvo siitä toisesta tilavuutta pois?
Minusta tuo seikka pitäisi määritellä erikseen. Jos kovertaa, silloin tilavuuden laskemiseksi on käytettävä erotuksien itseisarvoja. Eli jälleen on laskettava kolmessa osassa eli |cos² - sin²|. Kaikki neljä pätkää välillä 0...pii antavat siis saman tilavuuden.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat