Seuraa 
Viestejä45973

Kysymys minua viisaammille:

x->a => f(x) -> L

ε>|f(x)-L| ja δ>|x-a|>0

,jossa L on raja-arvo kohdassa a.

Onko raja-arvo siis määrittämätön, kun voidaan määrittää niin pieni ε, että ei ole positiivista reaalilukua δ, jonka rajaamat x:n arvot täyttäisivät ehdon ε>|f(x)-f(a)|? Eli esimerkiksi funktion kuvaajan asymptootissa?

Haluaisin vain varmistaa, että ymmärsin asian oikein

EDIT: tarkensin kysymystä

Sivut

Kommentit (43)

abskissa
Hahmottelet tuossa f:n jatkuvuuden ehtoa pisteessä a. Oliko tarkoitus kirjoittaa f(a):n paikalle jotain muuta?



Tarkoitin

x->a => f(x) -> L

ε>|f(x)-L| ja δ>|x-a|>0

,jossa L on raja-arvo.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
abskissa
Seuraa 
Viestejä3654

Tuossa L on siis raja-arvokandidaatti, ei raja-arvo, eikö? Muutenhan asia olisi selvä.

Muuten homma menee niin kuin kuvasit: jos funktion f arvo karkailee a:n jokaisessa ympäristössä L:n ja jonkun ε:n määräämästä haarukasta [L-ε, L+ε] niin L ei ole f:n raja-arvo a:ssa. Raja-arvo voi olla olemassa, mutta L se ei ole.

We're all mad here.

David
Seuraa 
Viestejä8877

Eikös raja-arvo ole kuten sen nimikin kertoo, kulmakerroin argumentin osoittamassa pisteessä. Se on siis tarkka ja täsmällinen arvo, jonka selvittämiseen käytetään raja-arvomenetelmää. Lopputulemana saadaan muoto, jossa on f(h) / h kun muut tekijät ovat vähennyslaskuna supistuneet pois.

Tilanteessa f(h) / h voidaan supistaa tuolla h:lla (häviävän pienellä termillä), jonka jälkeen jäljelle jää pelkästään funktion derivaatta esim. funktion kulmakerroin xy-tasossa.

lim h-> 0 {f(x+h) - f(x)] / h

Esim: f(x) = 2x = suora xy-tasossa.
[2(x + h) - 2x] / h = (2x + 2h - 2x) / h = 2h/h = 2 = suoran kulmakerroin.

David
Eikös raja-arvo ole kuten sen nimikin kertoo, kulmakerroin argumentin osoittamassa pisteessä. Se on siis tarkka ja täsmällinen arvo, jonka selvittämiseen käytetään raja-arvomenetelmää. Lopputulemana saadaan muoto, jossa on f(h) / h kun muut tekijät ovat vähennyslaskuna supistuneet pois.

Tilanteessa f(h) / h voidaan supistaa tuolla h:lla (häviävän pienellä termillä), jonka jälkeen jäljelle jää pelkästään funktion derivaatta esim. funktion kulmakerroin xy-tasossa.

lim h-> 0 {f(x+h) - f(x)] / h

Esim: f(x) = 2x = suora xy-tasossa.
[2(x + h) - 2x] / h = (2x + 2h - 2x) / h = 2h/h = 2 = suoran kulmakerroin.


Eihän funktion raja-arvo tietyssä pisteessä ole kulmakerroin tietyssä pisteessä (eli derivaatta). Derivaatta kyllä määritellään eräänä raja-arvona, esim. esittämässäsi tapauksessa.

David
Seuraa 
Viestejä8877
intermedia
Eihän funktion raja-arvo tietyssä pisteessä ole kulmakerroin tietyssä pisteessä (eli derivaatta). Derivaatta kyllä määritellään eräänä raja-arvona, esim. esittämässäsi tapauksessa.

Ei yleisessä tapauksessa olekaan, mutta kyllä kait tuo pätee xy-koordinaastistossa jatkuvalle sileälle funktiolle. Eli jepulis - oikaisin hieman liikaa, raja-arvohan voi toki olla joku funktion arvo esim. jossain pisteessä, jossa funktio voi olla epäjatkuvakin. Tarkoitin nimenomaan että derivaatta saadaan raja-arvona, eikä niin että raja-arvo on derivaatta - sorry.

Lähinnä tarkoitus oli korostaa sitä että kyseessä ei ole mikään liki-arvo vaan nimenomaan tarkka arvo, kun kulmakertoimesta (derivaatta) tai vastaavasta sileän jatkuvan funktion sivuajasta on kyse (joka saadaan sitten osittaisderivaattojen avulla useamman muuttujan tapauksissa).

Off-Topic: Mietiskelin tässä päiväsellä että mm. funktioanalyysiin liittyen käsitellään mahdollisimman pienisäteistä ympyrää jonkun pisteen ympärillä eli ns. Epsilon-säteinen ympyrä (esim. tasotapauksissa). Itseäni alkoi hieman Ihmetyttämään moinen käsittelytapa. Eikö selkeämpää olisi puhua yleisesti ottaen marginaalista koska kyse voi olla miten monen ulottuvuuden 1->n (tai muuttujan) tapauksesta tahansa.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Ulabanderos
Kysymys minua viisaammille:

x->a => f(x) -> L

ε>|f(x)-L| ja δ>|x-a|>0

,jossa L on raja-arvo kohdassa a.

Onko raja-arvo siis määrittämätön, kun voidaan määrittää niin pieni ε, että ei ole positiivista reaalilukua δ, jonka rajaamat x:n arvot täyttäisivät ehdon ε>|f(x)-f(a)|? Eli esimerkiksi funktion kuvaajan asymptootissa?

Haluaisin vain varmistaa, että ymmärsin asian oikein

EDIT: tarkensin kysymystä


Kyllähän se näin on, olettaen, että tarkoitit viimeisessä, että ε>|f(x)-L|. En ole kyllä ihan varma mitä tarkoitat tuolla asymptoottihommalla, koska raja-arvoa tutkitaan kuitenkin jollain äärellisellä a, eikä ne x:nkään arvot mihinkään kaukaisuuteen siitä a:sta katoa jos ε on pieni. Pikemminkin mitä lähempänä a:ta x pysyy sitä paremmin tuo ehto saadaan pätemään.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
abskissa
Juu. n-ulotteisessa tapauksessa puhutaan kai yleensä n-ulotteisesta pallosta. Suoralla se on väli, tasossa se on ympyrä.

Jep, tai sitten δ-säteisestä ympäristöstä (neighborhood), joka toki on n-ulotteinen pallo.

David
Seuraa 
Viestejä8877
Stratonovich
abskissa
Juu. n-ulotteisessa tapauksessa puhutaan kai yleensä n-ulotteisesta pallosta. Suoralla se on väli, tasossa se on ympyrä.

Jep, tai sitten δ-säteisestä ympäristöstä (neighborhood), joka toki on n-ulotteinen pallo.

No sen takia tuo vähän häiritseekin, kun ei kai nyt voida pallosta puhua muutoin kuin kolmiulotteisessa tapauksessa. Marginaali sen sijaan on ulottuvuuksista tai muodoista riippumaton yleiskäsite.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
David
No sen takia tuo vähän häiritseekin, kun ei kai nyt voida pallosta puhua muutoin kuin kolmiulotteisessa tapauksessa. Marginaali sen sijaan on ulottuvuuksista tai muodoista riippumaton yleiskäsite.

Yleisesti puhutaan myös pallosta. Matematiikassa tavataan käyttää arkikielisiä nimiä vähän yleisemmässä merkityksessä.

We're all mad here.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
David
Stratonovich
abskissa
Juu. n-ulotteisessa tapauksessa puhutaan kai yleensä n-ulotteisesta pallosta. Suoralla se on väli, tasossa se on ympyrä.

Jep, tai sitten δ-säteisestä ympäristöstä (neighborhood), joka toki on n-ulotteinen pallo.

No sen takia tuo vähän häiritseekin, kun ei kai nyt voida pallosta puhua muutoin kuin kolmiulotteisessa tapauksessa. Marginaali sen sijaan on ulottuvuuksista tai muodoista riippumaton yleiskäsite.

Mikä ihmeen marginaali? Ehkä δ:tä voitaisiin kutsua marginaaliksi, mutta δ-säteinen ympäristö on "tietotyypiltään" joukko ja joukon kutsuminen marginaaliksi on mielestäni hieman harhaanjohtavaa. Enpä ole koskaan kuullut sitä nimeä käytettävänkään. n-ulotteinen pallo sen sijaan on ihan yleinen termi ... tuota... n-ulotteiselle pallolle.

David
Seuraa 
Viestejä8877
Stratonovich
Mikä ihmeen marginaali? Ehkä δ:tä voitaisiin kutsua marginaaliksi, mutta δ-säteinen ympäristö on "tietotyypiltään" joukko ja joukon kutsuminen marginaaliksi on mielestäni hieman harhaanjohtavaa. Enpä ole koskaan kuullut sitä nimeä käytettävänkään. n-ulotteinen pallo sen sijaan on ihan yleinen termi ... tuota... n-ulotteiselle pallolle.

No marginaalinen väli, marginaalinen alue. marginaalinen tila tai yleisesti ottaen vain marginaali(ympäristö), jonka sisään ao. muuttujien funktion arvo jää. Ei sitä olekaan käytetty, mutta ainahan voi yrittää muokata käsitteitä yleispätevämpään suuntaan. Suomennokset ovat sitä paitsi usein kömpelöitä käännöksiä alkuperäisistä käsitteistä.

Ehkä tuo marginaali ei ole paras mahdollinen termi, mutta tavoitteena oli kuitenkin löytää yleispätevä ilmaisu, ettei jokaista tilannetta (ulottuvuutta / muuttuja- / tulosjoukkoa) varten tarvitsisi eri käsitettä saman tyyppisestä asiasta käyttää.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
David
Stratonovich
Mikä ihmeen marginaali? Ehkä δ:tä voitaisiin kutsua marginaaliksi, mutta δ-säteinen ympäristö on "tietotyypiltään" joukko ja joukon kutsuminen marginaaliksi on mielestäni hieman harhaanjohtavaa. Enpä ole koskaan kuullut sitä nimeä käytettävänkään. n-ulotteinen pallo sen sijaan on ihan yleinen termi ... tuota... n-ulotteiselle pallolle.

No marginaalinen väli, marginaalinen alue. marginaalinen tila tai yleisesti ottaen vain marginaali(ympäristö), jonka sisään ao. muuttujien funktion arvo jää. Ei sitä olekaan käytetty, mutta ainahan voi yrittää muokata käsitteitä yleispätevämpään suuntaan. Suomennokset ovat sitä paitsi usein kömpelöitä käännöksiä alkuperäisistä käsitteistä.

Ehkä tuo marginaali ei ole paras mahdollinen termi, mutta tavoitteena oli kuitenkin löytää yleispätevä ilmaisu, ettei jokaista tilannetta (ulottuvuutta / muuttuja- / tulosjoukkoa) varten tarvitsisi eri käsitettä saman tyyppisestä asiasta käyttää.


Mitä vikaa on termissä δ-säteinen ympäristö tai lyhyemmin δ-ympäristö? Englanniksi δ-neighborhood:

http://fi.wikipedia.org/wiki/Ymp%C3%A4rist%C3%B6_(topologia)
http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_neighbourhood

Eivät suomennokset useinkaan ole kömpelöitä, vaan tottumattomaan korvaan ehkä englanninkieli vaan "kuulostaa hienommalta".

David
intermedia
Eihän funktion raja-arvo tietyssä pisteessä ole kulmakerroin tietyssä pisteessä (eli derivaatta). Derivaatta kyllä määritellään eräänä raja-arvona, esim. esittämässäsi tapauksessa.

Ei yleisessä tapauksessa olekaan, mutta kyllä kait tuo pätee xy-koordinaastistossa jatkuvalle sileälle funktiolle. Eli jepulis - oikaisin hieman liikaa, raja-arvohan voi toki olla joku funktion arvo esim. jossain pisteessä, jossa funktio voi olla epäjatkuvakin. Tarkoitin nimenomaan että derivaatta saadaan raja-arvona, eikä niin että raja-arvo on derivaatta - sorry.



Niin, onhan tuo vähän sinne päin, mutta aika intutiivisella tasolla vielä. Vaarallista pitemmän päälle. Analyysin peruskäsitteet tuppaavat olemaan sellaisia, että niiden intuitiivinen pyörittely johtaa ennemmin tai myöhemmin kehäpäätelmiin ja epätosiin väitteisiin, jotka kuitataan triviaaleina, kun tuntuu intutitiivisesti ihan selvältä.

Yleensä nämä "intutiivisesti on selvää, että" -virhepäätelmät liittyvät rajankäyntitilanteisiin: siis tilanteisiin joissa ensin käsitellään äärellistä määrää objekteja ja annetaan lopuksi niiden lukumäärän painua periferiaan (eli painetaan se äärettömyyteen). Kun äärettömyyksien kanssa jotain tekee niin nyrkkisääntöjä voisi sanoa, ettei mikään ole selvää, ellei sitä pysty kysyttäessä pitävästi todistamaan.

Tuossa jäin esimerkiksi miettimään, mitä tarkoitat raja-arvolla, jatkuvuudella ja sileydellä. Tuo jälkimmäinen on käsite, jolla ihan kirjallisuudessakin löytyy kahta eri tulkintaa. Jos itse puhun sileistä funktiosta, niin tarkoitan C^\infty-funtioita eli äärettömän monta kertaa derivoituvia funktioita. Joitkut taas tarkoittavat sileillä funktioilla vain jatkuvasti derivoituvia funktioita eli C^1-funktioita. Kummassakaan tapauksessa ei ole mitään järkeä puhua "jatkuvista ja sileistä funktioista", kun sileys implikoi jatkuvuuden välittömästi.

David
Off-Topic: Mietiskelin tässä päiväsellä että mm. funktioanalyysiin liittyen käsitellään mahdollisimman pienisäteistä ympyrää jonkun pisteen ympärillä eli ns. Epsilon-säteinen ympyrä (esim. tasotapauksissa). Itseäni alkoi hieman Ihmetyttämään moinen käsittelytapa. Eikö selkeämpää olisi puhua yleisesti ottaen marginaalista koska kyse voi olla miten monen ulottuvuuden 1->n (tai muuttujan) tapauksesta tahansa.



No jaa, minusta x-keskinen ja r-säteinen avoin pallo jossain metrisessä avaruudessa (X,d) vastaa ainakin omaa intutiivista näkemystäni pallosta. Jos noista alkaa kuvia piirtelemään, niin eivät ne toki ihan tutulta pallolta näytä, mutta täsmälleen sama idea niissä on.

Funktionaalianalyysissä on pelkän metriikan sijasta usein jopa normi. Äärellisulotteiset normiavaruudet tuppaavat vain olemaan aika tylsiä. Jokainen äärellisulotteinen normiavaruus on loppujen lopuksi rakenteeltaan täysin vastaava samaa dimensiota olevan reaalisen tai kompleksisen eukliidisen avaruuden kanssa. Yleensä se kiihottava juttu tapahtuu vasta rajalla, kun Zornin lemman (eli valinta-aksiooman) kautta mennään ääretönulotteisiin avaruuksiin. Näissä normin määräämä topologia tuppaa olemaan liian nirso, hyvät ominaisuudet tahtovat normitopologiassa olla vähän liian hyviä. Funktionaalianalyysin sydän onkin mielestäni duaalissa ja heikoissa topologioissa.

Ja noista palloista: äärellisulotteisessa normiavaruudessa nekin ovat sikäli tylsiä, kun kaikki normit ovat keskenään ekvivalentteja. Jos niistä kuvaa piirtää, niin eivät ne toki samoilta näytä, mutta eivät ne mitenkään olellisellisesti kyllä toisistaan eroakaan. Kaikki generoivat saman topologian. Tässä pari esimerkkikuvaa yksikköpalloista:
http://en.wikipedia.org/wiki/Unit_sphere

Raja-arvo ei ole määrittämätön, koska
edellisessä lauseessa juuri kirjjoitat,
että funktion f raja-arvo on L pisteessä a.
Pisteessä a funktiolla saa olla mikä
arvo hyvänsä tai ei arvoa laisinkaan.

David
Seuraa 
Viestejä8877
kurnimaha
Kummassakaan tapauksessa ei ole mitään järkeä puhua "jatkuvista ja sileistä funktioista", kun sileys implikoi jatkuvuuden välittömästi.

Paitsi että epäjatkuva funktiokin voi olla sileä, se voi olla kuitenkin epäjatkuva esim. siitä syystä että se rajoittuu jollekin määrätylle välille. Näin ollen sen välin ulkopuolella sille ei ole olemassa derivaattaa. (Ellei sitten käsitteistössäni ole porsaan mentävää reikää).

Ymmärsin kuitenkin tarkoituksesi, ei siinä mitään.

visti
Seuraa 
Viestejä6331
David
kurnimaha
Kummassakaan tapauksessa ei ole mitään järkeä puhua "jatkuvista ja sileistä funktioista", kun sileys implikoi jatkuvuuden välittömästi.

Paitsi että epäjatkuva funktiokin voi olla sileä, se voi olla kuitenkin epäjatkuva esim. siitä syystä että se rajoittuu jollekin määrätylle välille. Näin ollen sen välin ulkopuolella sille ei ole olemassa derivaattaa. (Ellei sitten käsitteistössäni ole porsaan mentävää reikää).

Ymmärsin kuitenkin tarkoituksesi, ei siinä mitään.




No annapa esimerkki funktiosta, jolla on kaikkien kertalukujen derivaatat, mutta, joka on silti epäjatkuva.

David
Seuraa 
Viestejä8877
visti
No annapa esimerkki funktiosta, jolla on kaikkien kertalukujen derivaatat, mutta, joka on silti epäjatkuva.

Anteeksi, mutta nyt en ihan ymmärtänyt kysymystä. Eikö funktion derivaatta(funktio) ole yleensä aina astetta alempi kuin itse funktio on.

Pyytämäsi esimerkki yleisesti f(x) [a,b] -> f'(x) [a,b] kun f(x) on sileä mutta rajoitettu välille a,b.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat