Raja-arvon delta-epsilon -määritelmä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Kysymys minua viisaammille:

x->a => f(x) -> L

ε>|f(x)-L| ja δ>|x-a|>0

,jossa L on raja-arvo kohdassa a.

Onko raja-arvo siis määrittämätön, kun voidaan määrittää niin pieni ε, että ei ole positiivista reaalilukua δ, jonka rajaamat x:n arvot täyttäisivät ehdon ε>|f(x)-f(a)|? Eli esimerkiksi funktion kuvaajan asymptootissa?

Haluaisin vain varmistaa, että ymmärsin asian oikein

EDIT: tarkensin kysymystä

Sivut

Kommentit (43)

Vierailija
abskissa
Hahmottelet tuossa f:n jatkuvuuden ehtoa pisteessä a. Oliko tarkoitus kirjoittaa f(a):n paikalle jotain muuta?



Tarkoitin

x->a => f(x) -> L

ε>|f(x)-L| ja δ>|x-a|>0

,jossa L on raja-arvo.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Tuossa L on siis raja-arvokandidaatti, ei raja-arvo, eikö? Muutenhan asia olisi selvä.

Muuten homma menee niin kuin kuvasit: jos funktion f arvo karkailee a:n jokaisessa ympäristössä L:n ja jonkun ε:n määräämästä haarukasta [L-ε, L+ε] niin L ei ole f:n raja-arvo a:ssa. Raja-arvo voi olla olemassa, mutta L se ei ole.

We're all mad here.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Eikös raja-arvo ole kuten sen nimikin kertoo, kulmakerroin argumentin osoittamassa pisteessä. Se on siis tarkka ja täsmällinen arvo, jonka selvittämiseen käytetään raja-arvomenetelmää. Lopputulemana saadaan muoto, jossa on f(h) / h kun muut tekijät ovat vähennyslaskuna supistuneet pois.

Tilanteessa f(h) / h voidaan supistaa tuolla h:lla (häviävän pienellä termillä), jonka jälkeen jäljelle jää pelkästään funktion derivaatta esim. funktion kulmakerroin xy-tasossa.

lim h-> 0 {f(x+h) - f(x)] / h

Esim: f(x) = 2x = suora xy-tasossa.
[2(x + h) - 2x] / h = (2x + 2h - 2x) / h = 2h/h = 2 = suoran kulmakerroin.

Vierailija
David
Eikös raja-arvo ole kuten sen nimikin kertoo, kulmakerroin argumentin osoittamassa pisteessä. Se on siis tarkka ja täsmällinen arvo, jonka selvittämiseen käytetään raja-arvomenetelmää. Lopputulemana saadaan muoto, jossa on f(h) / h kun muut tekijät ovat vähennyslaskuna supistuneet pois.

Tilanteessa f(h) / h voidaan supistaa tuolla h:lla (häviävän pienellä termillä), jonka jälkeen jäljelle jää pelkästään funktion derivaatta esim. funktion kulmakerroin xy-tasossa.

lim h-> 0 {f(x+h) - f(x)] / h

Esim: f(x) = 2x = suora xy-tasossa.
[2(x + h) - 2x] / h = (2x + 2h - 2x) / h = 2h/h = 2 = suoran kulmakerroin.


Eihän funktion raja-arvo tietyssä pisteessä ole kulmakerroin tietyssä pisteessä (eli derivaatta). Derivaatta kyllä määritellään eräänä raja-arvona, esim. esittämässäsi tapauksessa.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
intermedia
Eihän funktion raja-arvo tietyssä pisteessä ole kulmakerroin tietyssä pisteessä (eli derivaatta). Derivaatta kyllä määritellään eräänä raja-arvona, esim. esittämässäsi tapauksessa.

Ei yleisessä tapauksessa olekaan, mutta kyllä kait tuo pätee xy-koordinaastistossa jatkuvalle sileälle funktiolle. Eli jepulis - oikaisin hieman liikaa, raja-arvohan voi toki olla joku funktion arvo esim. jossain pisteessä, jossa funktio voi olla epäjatkuvakin. Tarkoitin nimenomaan että derivaatta saadaan raja-arvona, eikä niin että raja-arvo on derivaatta - sorry.

Lähinnä tarkoitus oli korostaa sitä että kyseessä ei ole mikään liki-arvo vaan nimenomaan tarkka arvo, kun kulmakertoimesta (derivaatta) tai vastaavasta sileän jatkuvan funktion sivuajasta on kyse (joka saadaan sitten osittaisderivaattojen avulla useamman muuttujan tapauksissa).

Off-Topic: Mietiskelin tässä päiväsellä että mm. funktioanalyysiin liittyen käsitellään mahdollisimman pienisäteistä ympyrää jonkun pisteen ympärillä eli ns. Epsilon-säteinen ympyrä (esim. tasotapauksissa). Itseäni alkoi hieman Ihmetyttämään moinen käsittelytapa. Eikö selkeämpää olisi puhua yleisesti ottaen marginaalista koska kyse voi olla miten monen ulottuvuuden 1->n (tai muuttujan) tapauksesta tahansa.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Juu. n-ulotteisessa tapauksessa puhutaan kai yleensä n-ulotteisesta pallosta. Suoralla se on väli, tasossa se on ympyrä.

We're all mad here.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
Ulabanderos
Kysymys minua viisaammille:

x->a => f(x) -> L

ε>|f(x)-L| ja δ>|x-a|>0

,jossa L on raja-arvo kohdassa a.

Onko raja-arvo siis määrittämätön, kun voidaan määrittää niin pieni ε, että ei ole positiivista reaalilukua δ, jonka rajaamat x:n arvot täyttäisivät ehdon ε>|f(x)-f(a)|? Eli esimerkiksi funktion kuvaajan asymptootissa?

Haluaisin vain varmistaa, että ymmärsin asian oikein

EDIT: tarkensin kysymystä


Kyllähän se näin on, olettaen, että tarkoitit viimeisessä, että ε>|f(x)-L|. En ole kyllä ihan varma mitä tarkoitat tuolla asymptoottihommalla, koska raja-arvoa tutkitaan kuitenkin jollain äärellisellä a, eikä ne x:nkään arvot mihinkään kaukaisuuteen siitä a:sta katoa jos ε on pieni. Pikemminkin mitä lähempänä a:ta x pysyy sitä paremmin tuo ehto saadaan pätemään.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
abskissa
Juu. n-ulotteisessa tapauksessa puhutaan kai yleensä n-ulotteisesta pallosta. Suoralla se on väli, tasossa se on ympyrä.

Jep, tai sitten δ-säteisestä ympäristöstä (neighborhood), joka toki on n-ulotteinen pallo.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Stratonovich
abskissa
Juu. n-ulotteisessa tapauksessa puhutaan kai yleensä n-ulotteisesta pallosta. Suoralla se on väli, tasossa se on ympyrä.

Jep, tai sitten δ-säteisestä ympäristöstä (neighborhood), joka toki on n-ulotteinen pallo.

No sen takia tuo vähän häiritseekin, kun ei kai nyt voida pallosta puhua muutoin kuin kolmiulotteisessa tapauksessa. Marginaali sen sijaan on ulottuvuuksista tai muodoista riippumaton yleiskäsite.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
David
No sen takia tuo vähän häiritseekin, kun ei kai nyt voida pallosta puhua muutoin kuin kolmiulotteisessa tapauksessa. Marginaali sen sijaan on ulottuvuuksista tai muodoista riippumaton yleiskäsite.

Yleisesti puhutaan myös pallosta. Matematiikassa tavataan käyttää arkikielisiä nimiä vähän yleisemmässä merkityksessä.

We're all mad here.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
David
Stratonovich
abskissa
Juu. n-ulotteisessa tapauksessa puhutaan kai yleensä n-ulotteisesta pallosta. Suoralla se on väli, tasossa se on ympyrä.

Jep, tai sitten δ-säteisestä ympäristöstä (neighborhood), joka toki on n-ulotteinen pallo.

No sen takia tuo vähän häiritseekin, kun ei kai nyt voida pallosta puhua muutoin kuin kolmiulotteisessa tapauksessa. Marginaali sen sijaan on ulottuvuuksista tai muodoista riippumaton yleiskäsite.

Mikä ihmeen marginaali? Ehkä δ:tä voitaisiin kutsua marginaaliksi, mutta δ-säteinen ympäristö on "tietotyypiltään" joukko ja joukon kutsuminen marginaaliksi on mielestäni hieman harhaanjohtavaa. Enpä ole koskaan kuullut sitä nimeä käytettävänkään. n-ulotteinen pallo sen sijaan on ihan yleinen termi ... tuota... n-ulotteiselle pallolle.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Stratonovich
Mikä ihmeen marginaali? Ehkä δ:tä voitaisiin kutsua marginaaliksi, mutta δ-säteinen ympäristö on "tietotyypiltään" joukko ja joukon kutsuminen marginaaliksi on mielestäni hieman harhaanjohtavaa. Enpä ole koskaan kuullut sitä nimeä käytettävänkään. n-ulotteinen pallo sen sijaan on ihan yleinen termi ... tuota... n-ulotteiselle pallolle.

No marginaalinen väli, marginaalinen alue. marginaalinen tila tai yleisesti ottaen vain marginaali(ympäristö), jonka sisään ao. muuttujien funktion arvo jää. Ei sitä olekaan käytetty, mutta ainahan voi yrittää muokata käsitteitä yleispätevämpään suuntaan. Suomennokset ovat sitä paitsi usein kömpelöitä käännöksiä alkuperäisistä käsitteistä.

Ehkä tuo marginaali ei ole paras mahdollinen termi, mutta tavoitteena oli kuitenkin löytää yleispätevä ilmaisu, ettei jokaista tilannetta (ulottuvuutta / muuttuja- / tulosjoukkoa) varten tarvitsisi eri käsitettä saman tyyppisestä asiasta käyttää.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
David
Stratonovich
Mikä ihmeen marginaali? Ehkä δ:tä voitaisiin kutsua marginaaliksi, mutta δ-säteinen ympäristö on "tietotyypiltään" joukko ja joukon kutsuminen marginaaliksi on mielestäni hieman harhaanjohtavaa. Enpä ole koskaan kuullut sitä nimeä käytettävänkään. n-ulotteinen pallo sen sijaan on ihan yleinen termi ... tuota... n-ulotteiselle pallolle.

No marginaalinen väli, marginaalinen alue. marginaalinen tila tai yleisesti ottaen vain marginaali(ympäristö), jonka sisään ao. muuttujien funktion arvo jää. Ei sitä olekaan käytetty, mutta ainahan voi yrittää muokata käsitteitä yleispätevämpään suuntaan. Suomennokset ovat sitä paitsi usein kömpelöitä käännöksiä alkuperäisistä käsitteistä.

Ehkä tuo marginaali ei ole paras mahdollinen termi, mutta tavoitteena oli kuitenkin löytää yleispätevä ilmaisu, ettei jokaista tilannetta (ulottuvuutta / muuttuja- / tulosjoukkoa) varten tarvitsisi eri käsitettä saman tyyppisestä asiasta käyttää.


Mitä vikaa on termissä δ-säteinen ympäristö tai lyhyemmin δ-ympäristö? Englanniksi δ-neighborhood:

http://fi.wikipedia.org/wiki/Ymp%C3%A4rist%C3%B6_(topologia)
http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_neighbourhood

Eivät suomennokset useinkaan ole kömpelöitä, vaan tottumattomaan korvaan ehkä englanninkieli vaan "kuulostaa hienommalta".

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat