Vaikea matematiikantehtävä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Pyörän ylitse riippuu köysi, jonka toisessa päässä roikkuu apina ja toiseen päähän on ripustettu paino. Apina ja paino ovat tasapainossa. Apina ja apinan äiti ovat yhteensä 4 vuotta ja köysi painaa 400g/metri. Apinan paino sadoissa grammoissa on 16 kertaa apinan ikä vuosissa. Apinan äiti on kaksi kertaa niin vanha kuin apina oli silloin, kun äiti oli puoleksi niin vanha, kuin apina tulee olemaan silloin, kun se on kolme kertaa niin vanha, kun äiti oli silloin kun äiti oli kolme kertaa niin vanha kuin apina oli.
Paino ja apina painavat yhteensä puolitoista kertaa niin paljon, kuin köysi. Kitkaa ei oteta huomioon
ja oletetaan, että apina ja sen äiti voivat saavuttaa korkean iän.
Kuinka vanhoja ovat apina ja apinan äiti, sekä kuinka pitkä on köysi?

Sivut

Kommentit (16)

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Iät mielivaltaisellä yksiköllä pienen jaollisuuspäättelyn ja kokeilun avulla:

Apinan äiti on kaksi kertaa niin vanha (=10) kuin apina oli (=5) silloin, kun äiti oli puoleksi niin vanha (=9), kuin apina tulee olemaan silloin (=18), kun se on kolme kertaa niin vanha, kun äiti oli silloin (=6) kun äiti oli kolme kertaa niin vanha kuin apina oli (=2).

Apina = 6
Äiti = 10

Skaalattuna niin, että summa on 4v:

Apina = 1,5v
Äiti = 2,5v

Köyden pituus:

Merk.
köyden pituus = x = x1 + x2, missä x1 on painon puoli ja x2 on apinan puoli
painon paino = z

Tiedetään, että apinan paino = 2,4 (kg), ja että köyden paino = 0,4x.

Apina ja paino puolitoista kertaa köysi:
2,4 + z = 0,6x
z = 0,6x - 2,4

Painopuolen yhteispaino:
a = 0,4x1 + z = 0,4x1 + 0,6x - 2,4

Apinapuolen yhteispaino:
b = 0,4x2 + 2,4 = 0,4(x-x1) + 2,4

Tasapainoehto:
a = b
->
0,4x1 + 0,6x - 2,4 = 0,4(x-x1) + 2,4
0,6x = 0,4x + 4,8
0,2x = 4,8
x = 24

--

Apinoiden iät 1,5 ja 2,5 vuotta, ja köyden pituus 24 metriä. Meniköhän edes sinne päin?

We're all mad here.

Vierailija

Apinoiden iät 1,5 ja 2,5 vuotta lienee oikein. Samat vastaukset on saanut aika monikin ratkoja. Köyden pituudeksi kaksi heistä sai keskenään saman, mikä on eri, kuin sulla. Kuka sitten tietää mikä on varmasti oikein????

PS. Sitä varmasti oikeaa vastausta en ole nähnyt - ainoastaan alan harrastajien kehittämiä ratkaisuja. Kun tarpeeksi moni saa saman, niin sitä voinee pitää oikeana?

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Pitääpä tarkistaa tuo köyden pituuden laskenta sitten kun joutaa. Sehän on ihan yhtälönpyörittelyä.

Jos tuon siististi kirjoittaa ja jaksaa avata myös sen ikäkysymyksen yhtälöiksi, niin ratkaisun oikeellisuus ei jää uskonvaraiseksi.

We're all mad here.

Vierailija
faq
Kun tarpeeksi moni saa saman, niin sitä voinee pitää oikeana?

Ei voi, on hyvä kokemus aiheesta. Ala-astaen matikantehtävänä piti laskea oma paino puolitoistakertaisena ja jostain syystä 27 muuta oppilasta ja opettaja mukaan lukien laskivat paino + paino * 1.5 ja väittivät ihan pokkana, että olen väärässä paino * 1.5 vastaukseni kanssa. Hetki selvittelyä ja katohan perkele, kaikki muut olivat väärässä.

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
abskissa
Iät mielivaltaisellä yksiköllä pienen jaollisuuspäättelyn ja kokeilun avulla:

Apinan äiti on kaksi kertaa niin vanha (=10) kuin apina oli (=5) silloin, kun äiti oli puoleksi niin vanha (=9), kuin apina tulee olemaan silloin (=18), kun se on kolme kertaa niin vanha, kun äiti oli silloin (=6) kun äiti oli kolme kertaa niin vanha kuin apina oli (=2).

Apina = 6
Äiti = 10

Skaalattuna niin, että summa on 4v:

Apina = 1,5v
Äiti = 2,5v


Apinan iän olet laskenut kätevästi, itse laskin vastaavalla tavalla, olettaen viimeisen, kolmannen "silloin" aikaiset iät sopiviksi jaollisiksi luvuiksi (6 ja 18) ja purkamalla takaisin päin samaan tulokseen, jonka sait.
Mutta köyden pituus? Sehän oli tässä se yksinkertainen ja selvä osuus. Taisit lukea esimerkin väärin. (tai sitten minä luin väärin)
apinan paino = 2,4 kg = painon paino
köyden paino 2*2,4/1,5=3,2(kg)
köyden pituus 3,2/,4=8(m)
Tehtävähän on vähän sekava, mutta erittäin helppo laskea. Olen nähnyt tehtävän useinkin, mutta en ole koskaan aiemmin viitsinyt ratkaista, niin innokas kuin olenkin pähkinöitä ratkomaan.

Vierailija

Köyden pituudelle ja vastapainon painolle löytyy ääretön määrä ratkaisuja riippuen siitä missä kohtaa köyttä pyörä sijaitsee.

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
ville-v
Köyden pituudelle ja vastapainon painolle löytyy ääretön määrä ratkaisuja riippuen siitä missä kohtaa köyttä pyörä sijaitsee.

Tottahan se. Oletin nyt kuitenkin köyttä olevan saman verran kummallakin puolella.
Eihän sitä sellaista tietenkään saisi olettaa. Köyden pituudesta voidaan sanoa vain, että se on yli 6m.

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
Jorma
ville-v
Köyden pituudelle ja vastapainon painolle löytyy ääretön määrä ratkaisuja riippuen siitä missä kohtaa köyttä pyörä sijaitsee.

Tottahan se. Oletin nyt kuitenkin köyttä olevan saman verran kummallakin puolella.
Eihän sitä sellaista tietenkään saisi olettaa. Köyden pituudesta voidaan sanoa vain, että se on yli 6m.

Vastapaino vähintään 0,48kg ja köysi vähintään 1,92 kg eli 4,8m. Toivottavasti nyt oikein.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Juu, tuli merkkivirhe laskussa. Jos

x = x1 + x2

on köyden pituus, missä x1 on painopuolen osan ja x2 apinapuolen osan pituus, niin tasapainoehdosta

0,4x1 + 0,6x - 2,4 = 0,4(x-x1) + 2,4

saan lopulta

0,8x1 + 0,2x = 4,8.

Koska x1 < x, on

x = 0,8x + 0,2x > 4,8,

joten köyden on oltava pitempi kuin 4,8m.

Puuttuukohan tehtävästä jokin vihje?

We're all mad here.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010

Jos apinan ikä on 1,5 niin sen paino on 2400 g.Olkoon paino p, apinan puoleisen köydenpätkän pituus a ja painon puoleisen b.

a x 400 + 2400 = b x 400 + p

p + 2400 = 1,5 x (a+b) x 400

(a-b) 400 = p - 2400 = 1,5 (a+b) 400 - 4800

-0,5 a = 2,5 b - 12

a = 24 - 5b

Jos esim. b= 1, on a = 19 ja a+b = 20. p = 1,5 x 20 x 400 - 2400 = 9600
19 x 400 + 2400 = 25 x 400
1 x 400 + 9600 = 25 x 400
Jos esim. b = 4 on a = 4 ja a+b = 8. p = 1,5 x 8 x 400 - 2400 = 2400
4 x 400 + 2400 = 10 x 400 (tämä sama siis tässä tapauksessa pätee sekä apinan että painon puolella.

Ratkaisuja siis löytyy vaikka kuinka paljon kuten keskustelussa onkin jo todettu.

Ohman

Vierailija

Tehtävä on tässä jo moneenkin kertaan ratkaistu, mutta laitan kuitenkin vielä omanikin:

Tämä tehtävä oli tuolla toisellakin areenalla, jossa sitä pähkäilin, mutta ei se siellä ketään kiinnostanut tai sitten ratkaisuni on vaan käsittämätön. Laitan sen nyt kuitenkin vielä tännekin, parannettuna tosin.

0……….........äiti syntyy
ikäero…......apina syntyy
x………........äiti x, apina x/3, ja tästä saadaan yhteys x= ikäero+x/3=>x=3/2*ikäero
ikäero+3x… apina 3x
3x/2……......äiti 3x/2, ja apina (3x/2-ikäero)
nyt…….......äiti 2(3x/2-ikäero), apina 2(3x/2-ikäero)-ikäero. Näiden summa =4, eli

3x-2ik+3x-2ik-ik=4=>6x-5ik=4. Lisäksi oli x=3ik/2, joten 4ik=4, eli ik=1, ja

x=3/2, äidin ikä 2,5 , apinan ikä 1,5 ja apinan paino 2,4 kg=12/5 kg

Köyden pituuden laskemiseksi saadaan kaksi yhtälöä:

12/5+Paino=(3/2)(4/10)(L1+L2) ja 12/5+(4/10*L1)=Paino+(4/10*L2), noista tulee:

L1=(25/12)*P)-1
L2=5-(5/12*P)
Nyt on molempien oltava positiivisia, koska on köyden osien pituuksista kysymys, joten saadaan

että Painon on oltava: 12/25 < Paino < 12

Yhteen laskemalla saadaan: L=L1+L2=((5/3)*Paino)+4, ja 12/25 < Paino < 12.

Noilla rajoilla saadaan 4,8 < L <24, ja erikoistapauksena jos Paino = apinan paino = 12/5, niin L1= 4, ja L2= 4 ja L=8

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010

Ratkaistaan nyt nuo iät vielä kerran.

Apinan syntyy,kun äidin ikä on a.

Kun apinan ikä on y, on a + y = 3y.

Apina tulee olemaan 3(a+y) = 9y ja äiti on puoleksi näin vanha eli

3(a+y)/ 2 = 9y/2.Kun äiti on tämän ikäinen, on apina

3(a+y) / 2 - a = 9y /2 - a. Äiti on siis kaksi kertaa tämän ikäinen eli ikä on

3(a+y) - 2a = 9y - 2a eli

a + 3y = 9y - 2a. Apinan ikä saadaan vähentämällä tästä a eli apina on

3y = 9y - 3a. Äidin ja apinan iät ovat yhteensä 4,joten

a + 6y = 18y - 5a = 4. Siis a = 4 - 6y ja

18y - 20 + 30y = 4 eli 48y = 24 ja y = 1/2. Siis a = 4-3 = 1 .

Apinan ikä on siis 3y = 3/2 = 1,5 ja äidin ikä a + 3y = 1 + 3/2 = 5/2 = 2,5.

Ei tarvittu "skaalauksia" eikä kokeiluja.

Ohman

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Heh. No tuo tavallaan vahvistaa iän päättelyn, jos lukija jaksaa yhtälöt tarkistaa.

Esitetäänpä vielä tyypillinen matemaattinen todistus asialle.

Olkoon x = apinan ikä vuosissa ja y = äidin ikä vuosissa. Helposti nähdään, että x/y = 6/10, ja koska oletuksen nojalla x+y = 4, on oltava x = 1,5 ja y = 2,5. □

We're all mad here.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat