Miten lasketaan a^x + b^x = c ?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

2^x + 3^x = 10 tuli hommissani vastaan ja kokeilemalla hain x:lle riittävän tarkan arvon, koska omat tiedot ja taidot eivät riitä sitä omalle puolelleen siirtämään. Samalla mietiskelin, että mitenköhän matemaatikko vastaavan tehtävän ratkaisee..

Onko tuntematonta edes mahdollista laskea tarkasti?

Sivut

Kommentit (17)

Vierailija

Iteroimalla varmaankin. 3^x=10-2^x, josta x=ln(10-2^x)/ln3.
Sijoitetaan aluksi x-eksponentin paikalle 1 , lasketaan mitä tulee, ja sijoitetaan saatu luku aina uudestaan x-eksponentin paikalle. Saatu luku on aika pian noin 1,7293

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1557
Liittynyt12.4.2005
viikset
2^x + 3^x = 10 tuli hommissani vastaan ja kokeilemalla hain x:lle riittävän tarkan arvon, koska omat tiedot ja taidot eivät riitä sitä omalle puolelleen siirtämään. Samalla mietiskelin, että mitenköhän matemaatikko vastaavan tehtävän ratkaisee..

Onko tuntematonta edes mahdollista laskea tarkasti?


Matemaatikoista en tiedä, mutta itse ratkaisen tuollaiset tehtävät vanhalla kunnon Newtonin-Raphsonin iteraatiolla.

Siinä arvataan ensin yhtälön f(x)=0 juuren likiarvo x[0] ja sitten iteroidaan

x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n]),

kunnes juuren likiarvo on riittävän tarkka, eli joko |f(x[n])| < ε tai |x[n+1]-x[n]| < ε.

Näin menetellen sain yhtälöllesi arvauksella x[0] = 1 neljällä iteraatiokierroksella arvon x = 1.729256433, jossa on jo kuusi numeroa oikein.

Yhtälösi kuuluu transkendentaalisiin yhtälöihin, joiden ratkaisuja on mahdotonta saada yleisesti alkeisfunktioiden avulla. Näin numeerinen ratkaisu on ainoa mahdollisuus.

Vanha jäärä

Guarani River Oil
Seuraa 
Viestejä467
Liittynyt19.8.2010
Vanha jäärä

Yhtälösi kuuluu transkendentaalisiin yhtälöihin, joiden ratkaisuja on mahdotonta saada yleisesti alkeisfunktioiden avulla. Näin numeerinen ratkaisu on ainoa mahdollisuus.



Ihan vaan mielenkiinnosta kysyn, että onko toi jotenkin osoitettavissa?

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005
Vanha jäärä
Yhtälösi kuuluu transkendentaalisiin yhtälöihin, joiden ratkaisuja on mahdotonta saada yleisesti alkeisfunktioiden avulla. Näin numeerinen ratkaisu on ainoa mahdollisuus.



Alkeisfunktioista puhutaan lähinnä silloin, kun muodostetaan uusia funktioita vaikkapa integraalien avulla. Sen sijaan yhden muuttujan yhtälöissä ratkaisuksi tulee vakioita jos on tullakseen. Vakiot ovat kyllä alkeisfunktioita. Tarkoitatkohan sitä, että ratkaisu ei ole minkään rationaalikertoimisen tai rationaaliparametrisen alkeisfunktion nollakohta?

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1557
Liittynyt12.4.2005
Puuhikki
Tarkoitatkohan sitä, että ratkaisu ei ole minkään rationaalikertoimisen tai rationaaliparametrisen alkeisfunktion nollakohta?

Kun sanoin, en ole matemaatikko, ja siksi minua ei niin suuresti kiinnosta tällaiset lähinnä määritelmälliset asiat. Muistelin vain, mitä minulle joskus vuonna miekka ja kilpi on asiasta opetettu. Minulle tärkeintä on ollut ymmärtää, milloin yhtälöille ei kannata edes yrittää algebrallista ratkaisua, vaan on siirryttävä numeerisiin menetelmiin.

Vanha jäärä

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Keskustelun aloittajaa voi kiinnostaa määritelmät, sillä en tiedä hänen taustatietojaan matikasta. Siksi vastauksissa kannataa olla huolellinen. Eli siis voidaan osoittaa, että yhtälöllä on ratkaisu, sanotaan vaikka x=c, ja tällöin funktio f(x)=c on alkeisfunktio, joten ratkaisu voidaan esittää alkeisfunktion avulla.

Vierailija
Puuhikki
Keskustelun aloittajaa voi kiinnostaa määritelmät, sillä en tiedä hänen taustatietojaan matikasta. Siksi vastauksissa kannataa olla huolellinen. Eli siis voidaan osoittaa, että yhtälöllä on ratkaisu, sanotaan vaikka x=c, ja tällöin funktio f(x)=c on alkeisfunktio, joten ratkaisu voidaan esittää alkeisfunktion avulla.

Taustatiedot ovat tosiaan rapistuneet hyvin paljon kouluajoista ja siksi onkin kiinnostavaa kuulla miksi yhtälöä ei voi ratkaista suoraan ja mistä sen näkee.

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Ongelma on siinä, miten määritellään tarkka ratkaisu ja mikä lasketaan suljetuksi muodoksi ja mikä ei? Ovatko esim sarjakehitelmät suljettuja muotoja? Kysymykseesi ei ole järkevää vastausta ennen kuin tämä on selvitetty.

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1557
Liittynyt12.4.2005
viikset

Taustatiedot ovat tosiaan rapistuneet hyvin paljon kouluajoista ja siksi onkin kiinnostavaa kuulla miksi yhtälöä ei voi ratkaista suoraan ja mistä sen näkee.

Taas aivan käytännön kannalta: Jos yhtälö on muotoa P(x) = g(x), missä P(x) on jokin matala-asteinen polynomi ja g(x) on trigonometrinen tai hyperbolinen funktio, arkus- tai eksponenttifunktio, niin numeeriseksi menee. Esimerkkeinä olkoot tan(x) - x = 1 ja e^x - x² = 5.

Lisäksi muistanet, ettei edes neljättä astetta korkeamman täydellisen polynomin juurta voida löytää analyyttisesti, eli ratkaisukaavaa ei voida johtaa.

Vanha jäärä

Vierailija

Onpa kummaa että "matemaatikot" ei sitten osaa edes toisen asteen yhtälön yleistä ratkaisua esittää.

Kyseisen yhtälön ratkaisuun ei todellakaan tarvita mitään iterointeja tms...

Näin menetellen sain yhtälöllesi arvauksella x[0] = 1 neljällä iteraatiokierroksella arvon x = 1.729256433, jossa on jo kuusi numeroa oikein.

Yhtälösi kuuluu transkendentaalisiin yhtälöihin, joiden ratkaisuja on mahdotonta saada yleisesti alkeisfunktioiden avulla. Näin numeerinen ratkaisu on ainoa mahdollisuus.

Tämä on huuhaata...

ykskivi
Seuraa 
Viestejä1950
Liittynyt27.3.2006
KBolt
Onpa kummaa että "matemaatikot" ei sitten osaa edes toisen asteen yhtälön yleistä ratkaisua esittää.

Kyseisen yhtälön ratkaisuun ei todellakaan tarvita mitään iterointeja tms...




On se kummaa, että haukutaan toisia osaamattomuudesta vaikka itsekään ei vastausta osata antaa..
Jos olet niin paljon näitä 'matemaatikkoja' parempi, niin kerropas sitten ratkaisu tähän 'toisen' asteen yhtälöön...

To refuse a hearing to an opinion, because one is sure that it is false, is to assume that one's own certainty is the same thing as absolute certainty. All silencing of discussion is an assumption of infallibility. - John Stuart Mill -

Vierailija
KBolt
Onpa kummaa että "matemaatikot" ei sitten osaa edes toisen asteen yhtälön yleistä ratkaisua esittää.

Kyseisen yhtälön ratkaisuun ei todellakaan tarvita mitään iterointeja tms...


Noin minäkin ajattelin ensin, mutta kun tarkkaan lukee niin se x on siellä eksponentissa.

myl
Seuraa 
Viestejä224
Liittynyt18.11.2010

Kysyjä etsii analyyttista ratkaisua transkendenttiselle yhtälölle.
Ja kyllä, yhtälö on transkendenttinen (kirjoita vaikka ratkaisu käyttäen parametrejä a,b ja c, niin toteat asian).

Ratkaisua voidaan etsiä seuraavasti.
Kehitetään a^x sarjaksi
a^x = 1+xlna+(xlna)^2/2+(xlna)^3/3!+(xlna)^4/4!+....
Tehdään samoin b^x:lle ja lasketaan yhteen
a^x + b^x = 2+B1x+B2x^2+B3x^3+....
jossa
Bn=(lna^n+lnb^n)/n!
Nyt yhtälö on saatu muotoon
B1x+B2x^2+B3x^3+....=8
Kyseessä on siis ääretön suppeneva summa.
Merkitään vasemman puolen polynomia P(x).
Kysytty x on siis yhtälön P(x)-8=0 nollakohta.
Jos polynomiin otetaan vain neljä ensimmäistä termiä,
yhtälö voidaan ratkaista paperilla analyyttisesti ja saadaan kohtuullinen likiarvo alkuperäiselle yhtälölle.
Tarkkaa ratkaisu varten on määritettävä polynomin P(x)=y käänteispolynomi
G(y)=x, jolloin tarkka ratkaisu on x=G(8).
Astetta n olevalla polynomilla voi olla n nollakohtaa, joten alkuperäisellä yhtälöllä voi olla useita ratkaisuja.

-myl

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat