Matematiikka: Pinnan parametrisointi

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Terve
Sanokaa jos tällaisille kysymyksille on joku oma ketju.

Eli kysymys kuuluu voisiko joku vääntää rautalangasta miten yleisesti tai esim. seuraavanlaiset pinnat parametrisoidaan?

1. S = f(x; y; z) € R^3 : z = 2(x^2 + y^2); z <8 tai z=8
2. S: tason 2x+3y+4z = 12 ensimmäisessä koordinaattikahdeksannessa oleva osa

Parametrioinnin tulisi olla muotoa r(x,y) = (x,y,z(x,y)) tai vektoriarvoisen funktion napakoordinaattimuoto. r tarkoittaa siis vektoria.

Kommentit (5)

Vierailija

Sijoita x = t ja y = s. Ratkaise z. Siinähän parametrisointi sitten onkin.

Tämän voisi esittää hieman selkeämmin muuttamalla sen napakoordinaatteihin (saan rajoiksi ).

Kakkosessa ratkaistaan ensin mikä on "ensimmäisessä koordinaattikahdeksannessa oleva osa" ja määrätään parametreille rajat sen avulla.

Vierailija
ville-v
Sijoita x = t ja y = s. Ratkaise z. Siinähän parametrisointi sitten onkin.

Tämän voisi esittää hieman selkeämmin muuttamalla sen napakoordinaatteihin (saan rajoiksi ).

Kakkosessa ratkaistaan ensin mikä on "ensimmäisessä koordinaattikahdeksannessa oleva osa" ja määrätään parametreille rajat sen avulla.




Ok. Seuraavaksi pitäisi laskea pinnan normaalivektori N joka erään kaavan mukaan on r[size=70:3iz8epv6]u[/size:3iz8epv6] x r[size=70:3iz8epv6]v[/size:3iz8epv6], jossa r:t ovat tangenttivektoreita (vai r:n osittaisderivaattoja?) se. r[size=70:3iz8epv6]u[/size:3iz8epv6] = (dx/du,dy/du,dz/du) ja r[size=70:3iz8epv6]v[/size:3iz8epv6] = (dx/du,dy/du,dz/du). Nämä ovat siis ihan kirjallisuudesta saatuja kaavoja. Kun sijoitan nyt esim. u=t ja v=s en saa oikeanlaisia tuloksia. Esim. pisteeseen (1,1,4) piirretyksi normaalivektoriksi tulee jostain syystä (0,0,0), joka on väärin.

muokkaus: ja laskuvirhehän siinä... on ehkä sittenkin oikeansuuntainen tapa.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010

Kyllähän tuo ville-v oikein vastasi tuohon, mutta en nyt tiedä, miksi siinä pitäisi jotain "ratkaista" ja miksi t ja s.

Pinnan yhtälönhän voi kirjoittaa suoraan

R(x,y) = x i + y j + 2(x^2 + y^2) k

Nyt dR/dx = i + 4x k ja dR/dy = j + 4y k ja

d R/dx x dR/dy = -4x i - 4yj + k (tuo x vasemmalla puolella on ristitulo,oikealla puolella taas muuttuja x, siinä mielessä valisin huonot muuttujat! )

N(1,1) = -4 i -4 j + k
R(1,1) = i + j + 4k

Ehkäpä tämä juttuni oli tarpeeton. Tai ehkä selvensi asiaa jollekulle.

Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Ohman
Kyllähän tuo ville-v oikein vastasi tuohon, mutta en nyt tiedä, miksi siinä pitäisi jotain "ratkaista" ja miksi t ja s.

Pinnan yhtälönhän voi kirjoittaa suoraan

R(x,y) = x i + y j + 2(x^2 + y^2) k

Nyt dR/dx = i + 4x k ja dR/dy = j + 4y k ja

d R/dx x dR/dy = -4x i - 4yj + k (tuo x vasemmalla puolella on ristitulo,oikealla puolella taas muuttuja x, siinä mielessä valisin huonot muuttujat! )

N(1,1) = -4 i -4 j + k
R(1,1) = i + j + 4k

Ehkäpä tämä juttuni oli tarpeeton. Tai ehkä selvensi asiaa jollekulle.

Ohman




Niin ja ne kysymäsi ovat tangenttivektoreita j a osittaisderivaattoja. Kirjoitin ne vain eri lailla,dR/dx ja dR/dy,kun en saa aikaiseksi noin hienoja merkintöjä.

Taso on annettu tasa-arvopinnan muodossa. Se parametrisoidaan yksinkertaisesti näin:

z = 3 - 1/2 x - 3/4 y josta saadaan

R(x,y) = x i + y j + (3 - 1/2 x - 3/4 y) k.

Se 1. oktantissa oleva osa on sen alueen kuva tässä parametrisoinnissa, millä alueella x >= 0, y >= 0 ja 3 >= 1/2 x + 3/4 y. Päättele itse tarkemmin,mikä x,y-tason alue tuo on.

Uudestaan Ohman

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
Arska_L

Ok. Seuraavaksi pitäisi laskea pinnan normaalivektori N joka erään kaavan mukaan on r[size=70:3kd5wuic]u[/size:3kd5wuic] x r[size=70:3kd5wuic]v[/size:3kd5wuic]

Helpompi laskentatapa lienee käyttää sitä tietoa, että jos pinnan yhtälö on annettu muodossa, f(x,y,z)=0, pinnan normaali on suoraan f:n gradientti. Pinnalle z-2x^2-2y^2=0 saadaan (-4x,-4y,1) ja pinnalle 2x+3y+4z-12=0 saadaan (2,3,4).

Uusimmat

Suosituimmat