Neperin luvun likiarvo

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Pitäisi arvioida kahden merkitsevän numeron tarkkuudella lukua e - (1 + 1/n)^n, kun e on neperin luku ja n = 10^30. Laskinta ei ole käytettävissä ja tehtävä pitäisi ilmeisesti laskea taylorin polynomien avulla.

Kommentit (6)

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Wolfram Alpha antaa vastaukseksi noin 1.4*10^{-30}, eli sinun tulee laskea e ja (1+10^{-30})^{10^30} noin 30 desimaalin tarkkuudella. Ei vaikuta kovinkaan mielenkiintoiselta tehtävältä.

Vierailija

Aihetta sivuten sellainen kysymys, että miksi ko. luku on englanniksi Eulerin luku (Euler's number, e) kun taas suomeksi Neperin luku? Kuuluuko logaritmin keksijän kunnia John Napierille vai Leonhard Eulerille?

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
Puuhikki
Wolfram Alpha antaa vastaukseksi noin 1.4*10^{-30}, eli sinun tulee laskea e ja (1+10^{-30})^{10^30} noin 30 desimaalin tarkkuudella. Ei vaikuta kovinkaan mielenkiintoiselta tehtävältä.



Päinvastoin. (1+1/n)^n = e^(n*ln(1+1/n). Tässä käytetään kehitelmää ln(1+x) = x - ½x^2 + 1/3x^3 -...
Josta kyseinen erotus saadaan e^x:n sarakehitelmällä muotoon e[ 1/(2n) - vakio/n^2]
Niinpä kysytty erotus on noin e/(2n) = 1,4*10^(-30).

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Hauskaa, että löytyi yksinkertaisempi ratkaisu. Tuossa pitäisi vielä osoittaa, että e*vakio/(n^2) on kyllin pieni. Taitaa seurata suoraan Lagrangen virhetermimuodosta.

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
Puuhikki
Hauskaa, että löytyi yksinkertaisempi ratkaisu. Tyossa pitäisi vielä osoittaa, että e*vakio/(n^2) on kyllin pieni. Taitaa seurata suoraan Lagrangen virhetermimuodosta.



Joo vakio ei ole iso, koska logaritmin sarjakehitelmä on vuorotteleva.

Uusimmat

Suosituimmat