Brouwerin kiintopistelause

Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Analyysissä ja topologiassa on eräs kova tulos: Brouwerin kiintopistelause

Kiintopistelausehan kertoo, että jatkuva kuvaus f yksikköpallosta yksikköpalloon omaa kiintopisteen, siis f(x) = x.

Lauseen yleinen todistus on yllättävän hankala ja vaatii melkoisesti matematiikkaa, mutta itse aloin miettimään että eikö tuota voisi todistaa helpomminkin. Approksimoisi vain funktiota Stone-Weierstrass Lauseen mukaisesti polynomilla ja sitten toteaisi, että Algebran peruslauseen nojalla hommaan on ratkaisu.

Jos approksimaatiopolynomi on P, niin silloinhan yhtälöllä P - x = 0 on ainakin yksi ratkaisu, joka on juurikin tuo kiintopiste f(x) = x.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Kommentit (12)

Läskiperse
Seuraa 
Viestejä950
Liittynyt11.12.2010

Ajattelusi on pahasti metsässä. Juju on juuri siinä, ettei polynomiapproksimaatiota Stone-Weierstrass Lauseelle ole olemassa. Kannattaisi kerrata edes lukion suppean kurssin matematiikka, jossa kiintopistelause on sangen ytimekkäästi käsitelty.

Vierailija

Hei,

näin äkkiseltään kommentoin eli idea on ihan ok, jos ollaan tasossa R^2, korkeampiulotteisessa avaruudessa R^n polynomit ovat useamman muuttujan (koordinaatin) funktioita, joilla ei ole yleisesti diskreettiä joukkoa nollakohtia. Lisäksi yhtälö P(x)=x implikoi sen että P on vektori, jolla on n kpl komponenttipolynomeja P_i, i = 1,..,n. Tällöin vektoriyhtälöä
P(x) = x vastaa n kpl komponenttiyhtälöitä P_i(x_1,..,x_n) = x_i. Näillä pollynomiyhtälöillä ei välttämättä ole yhtä yhteistä ratkaisua x=(x_1,...,x_n).

Ongelmia syntyy myös tasossa, sillä vaikka algebran peruslauseen mukaan annetulla approksimoivalla polynomilla P(x), yhtälöllä P(x)-x=0 on aina juuri x, tämä x ei välttämättä ole enää yksikköpallossa, eli siis |x |> 1.

Voi kyllä toki olla mahdollista, että sopivasti kikkailemalla voidaan B:n kiintopistelauseen todistus palauttaa jonkin sopivan approksimoivan polynomiyhtälön ratkaisuihin...

Läskiperse
Seuraa 
Viestejä950
Liittynyt11.12.2010

Haloo Spanish Inquisitor (=Cargo). On tietysti hyvä, että osaa analysoida heikoilta perustoilta väännettyä omaa siirappia, mutta kertaa nyt se perusmatematiikka, niin huomaat, kuinka hakoteillä olet.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Joo, itekki aloin melkein heti ton postaamisen jälkeen pohtiin että ei se juuri välttämättä tietenkään oo enää yksikköpallossa.
Tarvis tossa tason tapauksessa jakaa paloittain jatkuvasti polynomi yksikköpallon sisä- ja ulkopuolelle, ja sitten normeerata koko paska yksikköpalloon... En tiä, menee liian vaikeeks.

Brouwerin kiintopistelauseelle ei tunneta mitään triviaalia todistusta, joten ei ihmekkään ettei kieliposkella vetämäni idea toimi. Ehkä simppelein (siis ei mitään vedet silmiin saavaa topologiaa sisältävä) johtaminen löytyy Evansin osittaisdifferentiaaliyhtälöitten oppikirjasta.

Jännää miten yksinkertaiselta tuntuvaan lauseeseen ei löydy suoraviivaista todistusta.

Yksiuloitteinen tapaus on tietysti päivänselvä, mutta jos aprikoi mitä kiintopistelause kertoo tasossa, niin seuraava ajatusmalli on hyvä: Mieti, että maailma on täysin tasainen ja tiputat Suomen kartan maahan olematta Suomen maantieteellisen rajan ulkopuolella. Nyt tietysti jokin piste sekä kartalla että luonnossa sattuvat samalle kohdalle (punainen piste opastaululla, "olet tässä"). Vaikka karttaa nyt kuinka venyttäisi rikkomatta sitä, niin kiintopiste liikkuu mukana ja siis säilyy. Jatkuva kuvaus "kartta" voi olla millainen vain kunhan jatkuva.
Kolmiuloitteinen tapaus taas toimii tismalleen samalla periaatteella, esim. vietäessä laivan pienoismalli oikean laivan sisäpuolelle.

Jos joku opiskelija hallitsee mitta- ja integraaliteorian, niin Brouwerin kiintopistelauseesta saa hyvän gradun/dipan aiheen, ja sovelluskohteita on rajattomasti sillä monet matematiikan olemassaolo probleemat voidaan muokata kysymykseksi kiintopisteen olemassaolosta.

Stokesin lauseeseen perustuva todistus on muuten aika kiva, mutta tarkka Stokesin todistus monistoille on ikävä ja hankala pyöritys approksimoimalla särmiöillä.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Vierailija

Hei,

tein tässä hieman lisäselvitystä kiintopistelauseesta.

Cargo
Jännää miten yksinkertaiselta tuntuvaan lauseeseen ei löydy suoraviivaista todistusta.

Joo, näin on, lause on helposti formuloitavissa ja ymmärrettävissä. Mutta, tavallaan kuitenkin Brouwerin kp-lause on aika vahva väite, sillä siinä oletetaan vain että kuvaus f yksikköpallolta itselleen on vain jatkuva, eikä mitään muuta. Se todistamisen vaikeus käsittääkseni piilee juuri tässä jatkuvuudessa. Onhan olemassa esimerkiksi Banachin kiintopistelause kontraktiokuvaukselle so. kuvaukselle f, jolle |f(x)-f(y)|
Cargo
Yksiuloitteinen tapaus on tietysti päivänselvä, mutta jos aprikoi mitä kiintopistelause kertoo tasossa, niin seuraava ajatusmalli on hyvä: Mieti, että maailma on täysin tasainen ja tiputat Suomen kartan maahan olematta Suomen maantieteellisen rajan ulkopuolella. Nyt tietysti jokin piste sekä kartalla että luonnossa sattuvat samalle kohdalle (punainen piste opastaululla, "olet tässä"). Vaikka karttaa nyt kuinka venyttäisi rikkomatta sitä, niin kiintopiste liikkuu mukana ja siis säilyy. Jatkuva kuvaus "kartta" voi olla millainen vain kunhan jatkuva.
Kolmiuloitteinen tapaus taas toimii tismalleen samalla periaatteella, esim. vietäessä laivan pienoismalli oikean laivan sisäpuolelle.

Tämä on hyvä havainnollistus. Lisäisin siihen kuitenkin seuraavan huomautuksen. Kun tämä pudotetun kartan muoto muuttuu venytyksen ansiosta, muuttuu myös kiintopisteen paikka, kuten totesit. Epäilen kuitenkin, että pudotetun kartan muuntaminen matemaattisesti jatkuvalla tavalla tuottaisi kiintopisteen jatkuvan muutoksen, ainakaan yleisessä Brouwerin tapauksessa. Esimerkkisi on tavallaan ehkä parempi Banachin kiintopistelauseeseen, sillä karttahan on kontraktio todellisesta Suomesta ja Banach takaa että kiintopiste on yksikäsitteinen. Banachin kp-lauseesta eroten Brouwerin lauseessa kiintopisteitä voi olla useita. Lisäksi kiintopisteitä voi syntyä jä hävitä, jos kuvausta muunnetaan, kuitenkin siten että aina yksi löytyy.

Cargo
Brouwerin kiintopistelauseelle ei tunneta mitään triviaalia todistusta, joten ei ihmekkään ettei kieliposkella vetämäni idea toimi.

Ideat ovat aina tervetulleita, vaikka ne joskus osoittautuisivat toimimattomiksi, niistä aina oppii jotakin.
Cargo

Stokesin lauseeseen perustuva todistus on muuten aika kiva, mutta tarkka Stokesin todistus monistoille on ikävä ja hankala pyöritys approksimoimalla särmiöillä.

Stokesin lause voidaan muotoilla ja todistaa yleiselle monistolle usealla eri tavalla. Eräs tapa joka välttää mainitsemasi k-ketjujen käytön on määritellä ensin integraali lokaalisti annetussa moniston kartassa ja sitten käyttää ns. ykkösen ositusta, jolla voidaan "laskea yhteen" nämä lokaalit integraalit ja siten saada määriteltyä globaali, koko moniston yli ulottuva integraali annetulle differentiaalimuodolle.

Ideasi Stone-Weierstrassin käytöstä ei sellaisenaan toimi, mutta kyseisellä lauseella on kyllä käyttöä todistettaessa Brouwerin kp-lausetta. Kirjassa Manifolds, Tensor Analysis and Applications todistetaan kp-lause ensin sileille funktioille käyttäen Stokesin lausetta, ja todistettaessa kp-lausetta jatkuvalle f, käytetään juurikin Stone-Weierstrassin lausettta approksimoimaan kuvausta f sopivalla tavalla.Todistus on tavallinen epsilon-delta mylläkkä, jossa käytetään Stokesin avulla todistettua sileiden kuvausten kp-lausetta ovelasti valitun approksimaatiopolynomin kiintopisteominaisuuden todistamiseksi. Sen jälkeen todistetaan kuvauksen f kiintopisteominaisuus vastaoletuksen kautta.

Tavallaan kai luontevin todistus Brouwerin lauseelle saadaan algebrallisen topologian avulla. Näissä todistuksissa jokaiseen topologiseen avaruuteen voidaan liittää tiettyjä ryhmiä (=matemaattinen ryhmä , jossa laskutoimitus) ja jos oletetaan kuvaus esimerkiksi f : X -> Y, niin tällöin indusoituu myös avaruuksia vastaavien ryhmien välille kuvauksia, joita sitten voidaan tutkia. Algebrallinen topologiassa myös tulee tavallaan näkyviin "syyt" sille, miksi kuvauksella on kiintopiste. Aina näin ei tarvitse olla, jos esimerkiksi tarkastellaan jatkuvaa kuvausta f torukselta T^2 torukselle T^2, ei tällä tarvitse olla kiintopistettä (sopivat rotaatiot ). Eli kiintopisteen olemassaolo on riippuvainen siitä ,millainen kiintopistelauseessa käytetyn avaruuden globaali "muoto" on.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Cargo
Analyysissä ja topologiassa on eräs kova tulos: Brouwerin kiintopistelause

Kiintopistelausehan kertoo, että jatkuva kuvaus f yksikköpallosta yksikköpalloon omaa kiintopisteen, siis f(x) = x.

Lauseen yleinen todistus on yllättävän hankala ja vaatii melkoisesti matematiikkaa, mutta itse aloin miettimään että eikö tuota voisi todistaa helpomminkin. Approksimoisi vain funktiota Stone-Weierstrass Lauseen mukaisesti polynomilla ja sitten toteaisi, että Algebran peruslauseen nojalla hommaan on ratkaisu.

Jos approksimaatiopolynomi on P, niin silloinhan yhtälöllä P - x = 0 on ainakin yksi ratkaisu, joka on juurikin tuo kiintopiste f(x) = x.




Enpä nyt tiedä,onko todistus "yllättävän hankala". Esim. teoksessa :James R. Munkres:Elements of Algebraic Topology (Addison-Wesley 1984) sivulla 117 on todistus, jonka pituus on alle puoli sivua. Kannattaneeko tälle uusia todistuksia yrittää keksiä?

Ohman

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007
Ohman

Enpä nyt tiedä,onko todistus "yllättävän hankala". Esim. teoksessa :James R. Munkres:Elements of Algebraic Topology (Addison-Wesley 1984) sivulla 117 on todistus, jonka pituus on alle puoli sivua. Kannattaneeko tälle uusia todistuksia yrittää keksiä?
Ohman



Voi olla vaan hidas lukee se puolisivua, jos edeltävät 116,5 s. on täyttä hebreaa.... Monikaan ei ole tutustunut algebraaliseen topologiaan, ja siittä syystä aihe kiinnostaa kuin laatikollinen tapolaa....

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005
Cargo
Voi olla vaan hidas lukee se puolisivua, jos edeltävät 116,5 s. on täyttä hebreaa.... Monikaan ei ole tutustunut algebraaliseen topologiaan, ja siittä syystä aihe kiinnostaa kuin laatikollinen tapolaa....

Yleensä tuo riippuu lähinnä siitä, kuinka tarkasti todistukset on esitetty kirjassa. Esimerkiksi omassa gradussani luin todistukset Riemannin hypoteesille käyrille eli Weilin lauseelle sekä Tsebotarevin tiheyslauseelle. Vaikka lauseet olivatkin alussa hepreaa ja esimerkiksi Tsebotarevin tiheyslause esiintyy Neukirchin algebrallisen lukuteorian kirjassa sivulla 545, pystyin selvittämään todistukset siedettävässä ajassa. Mulla oli paras tapa vilkaista ensin päälauseen todistus, sitten katsoa mitä uusia määritelmiä ja lauseita tuon lauseen todistamiseen pitää opetella ja jatkaa tätä kunnes asiat ovat selvillä. Näin pystyin koko ajan keskittymään teorian kannalta oleellisiin asioihin ja pystyin varmistamaan Tsebotarevin tiheyslauseen ja Weilin lauseen oikeellisuuden, vaikka muutoin tietoni algebrallisesta geometriasta, algebrallisesta lukuteoriasta ja luokkakuntateoriasta jäikin pirstaleiseksi.

Toisaalta jos joku on kiinnostunut Brouwerin kiintopistelauseen todistuksesta, niin ehkäpä hän on kiinnostunut myös niistä edeltävistä 116,5 sivusta topologiaa, mikäli hänellä on aikaa opetella asia kunnolla.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Aluen pitäen kiinnostuin tuosta Brouwerin kiintopistelauseesta siittä syystä, että sillä olisi voinut johtaa jonkinlaisen Algebran Peruslauseen Cliffordin arvoisille polynomeille. Motivaationa tähän toimi pari 60 vuotta vanhaa julkaisua. Jälkeenpäin huomasinkin, ettei homma mennytkään aivan niin:

# A Topological Proof of the Fundamental Theorem of Algebra (in Mathematical Notes)
B. H. Arnold
American Mathematical Monthly, Vol. 56, No. 7. (Aug. - Sep., 1949), pp. 465-466, Jstor.

Arnold kertoo miten on johtanut kompleksipolynomille tavanomaisen algebran peruslauseen Brouwerin kiintopistelauseen avulla.

# Extension of a Topological Proof of the Fundamental Theorem of Algebra (in Mathematical Notes)
Ivan Niven
American Mathematical Monthly, Vol. 57, No. 4. (Apr., 1950), pp. 246-248, Jstor.

Niven soveltaa Arnoldin menetelmää kvaternioille.

# A Correction A Topological Proof of the Fundamental Theorem of Algebra (in Mathematical Notes)
B. H. Arnold; Ivan Niven
American Mathematical Monthly, Vol. 58, No. 2. (Feb., 1951), p. 104, Jstor.

Arnold ja Niven kertoo, miten hommat menivätkin vituiksi kun jatkuvuusehto ei täytykkään kaikkialla!

Pikku mokat eivät kuitenkaan haittaa kaikkia tutkijoita, ja noita virheellisiä artikkeleita on käytetty surutta lähdemateriaalina.

Puuhikki eikö olisi mielekkäämpää tehdä lopputyö aihepiiristä, jonka itse jotenkin hallitsee? Ite ku oon tutkaillu muitten tekemiä graduja/dippoja, joissa on käsitelty kijoittajalle vieraita aihepiirejä, niin esitys on ollut järjestään kamalaa: kieli keskellä suuta seurattu orjallisesti paria lähdettä - ja se näkyy! Totta kai hyvä opiskelija tekee hyvän työn aiheesta ku aiheesta, mutta ei päde kaikkiin.

Eräs gradu oli hyvä (3 lähdettä, joista 2 oli koulun peruskurssien monisteita), kun siinä käytännössä copy-pastattiin erään kirjan yksi luku lineaarialgebraa ja normeja, mutta esitietona vaadittiin kevyesti hahn-banachin lausetta! Liekö sitten tarkastaja vaatinut loppuun jotain advanced matskua vai mitä, mutta jos tuollaisten esitietojen jälkeen aletaan pokkana määrittelemään vektoriavaruuden perusteita niin voi vittu.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005
Cargo
Puuhikki eikö olisi mielekkäämpää tehdä lopputyö aihepiiristä, jonka itse jotenkin hallitsee?

Olisi. Olin vähän ennen gradun aloittamista tehnyt parista lähteestä seuraten noin 30-sivuisen alkeellisen todistuksen Dirichlet'n lauseelle alkulukujen esiintymisestä aritmeettisessa lukujonossa. Eräs dosentti sanoi kuitenkin, että ei siitä saa asiaa tarpeeksi graduun. Mulle ei ollut sen jälkeen oikein ideaa sille, mitä kaikkea graduun vaaditaan, joten annoin ohjaajan päättää aiheen. Alussa pystyin kirjoittamaan pikku-g:tä ihan hyvin, mutta loppupuolella alkoi ilmetä ongelmia. Ajattelin, että kyllä ne aikanaan ratkeavat helposti, mutta eipä ne ratkenneetkaan, joten aloin opetella vaadittavan kovan välineistön, jolla viimeisetkin ongelmat ratkesivat.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007
Läskiperse
Haloo Spanish Inquisitor (=Cargo). On tietysti hyvä, että osaa analysoida heikoilta perustoilta väännettyä omaa siirappia, mutta kertaa nyt se perusmatematiikka, niin huomaat, kuinka hakoteillä olet.



Mutta missä on "sovelletun matematiikan ammattilainen" _jone_ , multipersoonansa sekä Tammertekniikan kaavaston kanssa, kun pohditaan visaisia kysymysiä?

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Uusimmat

Suosituimmat