Snellin laki jatkuvasti muuttuvan tiheyden tapauksessa

Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009

Haluaisin mallintaa fotonin liikettä väliaineessa, jossa on jatkuva optisen tiheyden skalaarikenttä. Siis yritän haukata kerralla vähän enemmän, kuin pelkän fotonien kulun rajapintojen ympäri.
Voisin toteuttaa tämän iteroimalla hiukkasten liikettä kentässä. Hiukkasen nopeusvektorin suuruuden määrää skalaarikentän arvo (vrt. valo kulkee hitaammin tiheämmässä väliaineessa). Olettamalla hiukkasen sijaintipisteeseen tiheyskentän gradientin suuntainen taso ja taitekertoimeksi gradientin arvo saadaan Snellin lain avulla määritettyä hiukkasen nopeusvektorin uusi suunta.
Kysynkin: minkälaiseen matemaattiseen yhteyteen valonsäteen nopeusvektori ja väliaineen tiheysgradientti ovat kytketyt? Tuo esittämääni Snellin lakiin nojaava malli ei ole kovin elegantti - tuskin kovin tehokaskaan iteroida kolmessa ulottuvuudessa.
Hiukkasen nopeusvektorin ja väliaineen tiheysgradientin ollessa saman-/vastakkaissuuntaiset ei hiukkasen nopeusvektorin suunnassa tapahdu muutosta mutta sen suuruudessa kylläkin, koska väliaine tihenee/harvenee. Näiden ollessa kohtisuorassa ei muutosta esiinny, sillä hiukkanen näkee väliaineen etenemissuunnassaan samantiheyksisenä. Näillä reunaehdoilla en heti näe yhteyttä.
Tuon yhteyden on pädettävä snellinlakimaisessa rajapinnassakin, joten voisihan tuota paremmalla ajalla lähteä empiirisesti hakemaan simuloimalla, mutta arvelen jonkun täällä osaavan auttaa.
Fotoneillani ei ole (vielä) taajuutta eikä siten taajuudesta riippuvia taitekertoimia, eivätkä ne täten myöskään interferoi - olen siis (toistaiseksi) kiinnostunut vain niiden liikeradoista.

Kiitos.

Kommentit (14)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Snellin lain pystyy johtamaan sellaisesta periaatteesta lähtien että valo kulkee aina nopeinta mahdollista reittiä. (Fermatin periaate) Eikös tuo periaatteessa palaudu jatkuvan muutoksen tapauksessa variaatiolaskuksi, jossa minimoidaan kulkuaika. Tilanteesta riippuu, miten helposti ratkaisu löytyy ja löytyykö. Kun alku ja loppupiste on valittu ja taitekerroin on tunnettu funktio, niin kai siitä periaatteessa on ainakin muodostettavissa ongelma differentiaaliyhtälöksi. (jonka ratkaiseminen voi mennä hankalaksi)

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
bosoni
Snellin lain pystyy johtamaan sellaisesta periaatteesta lähtien että valo kulkee aina nopeinta mahdollista reittiä. (Fermatin periaate) Eikös tuo periaatteessa palaudu jatkuvan muutoksen tapauksessa variaatiolaskuksi, jossa minimoidaan kulkuaika. Tilanteesta riippuu, miten helposti ratkaisu löytyy ja löytyykö. Kun alku ja loppupiste on valittu ja taitekerroin on tunnettu funktio, niin kai siitä periaatteessa on ainakin muodostettavissa ongelma differentiaaliyhtälöksi. (jonka ratkaiseminen voi mennä hankalaksi)

D'oh!
Enpäs osannut/muistanut Fermat'n kantilta ajatella... Eli siis pitäisi löytää se polku kaikista mahdollisista, jota pitkin hiukkanen kulkee pisteiden välillä joutuisimmin. Haiskahtaa kyllä hyvin ikävältä iteroida lukemattomat reittivaihtoehdot. Olettaisin, että ratkaisun löytäminen matemaattisella osaamisellani rajoittaa minut hyvin alkeellisiin tapauksiin.
Kai nyt joku yksinkertaisempi jatkuvan taittumisen laki on olemassa?

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1557
Liittynyt12.4.2005
petsku

Enpäs osannut/muistanut Fermat'n kantilta ajatella... Eli siis pitäisi löytää se polku kaikista mahdollisista, jota pitkin hiukkanen kulkee pisteiden välillä joutuisimmin. Haiskahtaa kyllä hyvin ikävältä iteroida lukemattomat reittivaihtoehdot. Olettaisin, että ratkaisun löytäminen matemaattisella osaamisellani rajoittaa minut hyvin alkeellisiin tapauksiin.
Kai nyt joku yksinkertaisempi jatkuvan taittumisen laki on olemassa?

Pikaisen hakuoperaation pohjalta täällä näkyisi asiaa käsiteltävän melkein ymmärrettävästi. En ole itse koskaan juuri tällaisia minimipolkumäärityksiä pyöritellyt, joten en osaa niihin ottaa tarkempaa kantaa.

Vanha jäärä

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
Vanha jäärä
Pikaisen hakuoperaation pohjalta täällä näkyisi asiaa käsiteltävän melkein ymmärrettävästi. En ole itse koskaan juuri tällaisia minimipolkumäärityksiä pyöritellyt, joten en osaa niihin ottaa tarkempaa kantaa.

Auts, pikaisella vilkaisulla voin melkein väittää, ettei allekirjoittaneen pelimerkit riitä tuon tavaran soveltamiseen, mutta ompahan kotosalla näin juhlapyhinä pikkuoravat ja Disney-piirretyt voittavaa luettavaa. Kiitokset siitä ja bosonille myös.
Taidan sitten koodata tuon oman näkemykseni mukaisen härpäkkeen joskus joulun jälkeen, jollen vielä koe valaistumista oman tai muiden ajattelun seurauksena tämän probleeman suhteen.

myl
Seuraa 
Viestejä224
Liittynyt18.11.2010

Fermat'n periaate on työläs soveltaa numeerisesti.
Snellin laki seuraa Maxwellin yhtälöistä, mutta sen yleistäminen saattaa viedä harhaan.
Paras (ja varmin keino) on lähteä liikkeelle Maxwellin yhtälöistä. Taittumislaki seuraa sähkö- ja magneettikentän jatkuvuudesta. Yhtälöistä saadaan Fresnelin kertoimet, joiden avulla voidaan laskea eri polarisaatiotasojen käyttäytyminen.
Myös moninkertaiset heijastumiset tulevat oikein.
Snellin laki ei erottele eri polarisaatioita ja moninkertaisen heijastumisen huomioiminen johtaa hyvin hankaliin rekursiivisiin kaavoihin.

Lopputulos on yksinkertainen ja elegantti.

-myl

Vierailija
bosoni
Snellin lain pystyy johtamaan sellaisesta periaatteesta lähtien että valo kulkee aina nopeinta mahdollista reittiä. (Fermatin periaate) Eikös tuo periaatteessa palaudu jatkuvan muutoksen tapauksessa variaatiolaskuksi, jossa minimoidaan kulkuaika. Tilanteesta riippuu, miten helposti ratkaisu löytyy ja löytyykö. Kun alku ja loppupiste on valittu ja taitekerroin on tunnettu funktio, niin kai siitä periaatteessa on ainakin muodostettavissa ongelma differentiaaliyhtälöksi. (jonka ratkaiseminen voi mennä hankalaksi)


Hmm... jos kerran valo, eli fotoni pyrkii aina kulkemaan lyhintä reittiä, niin miksi se sitten menee painovoimakenttien mukaan? Eihän se ole lyhin reitti kulkea?

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
petsku
Enpäs osannut/muistanut Fermat'n kantilta ajatella... Eli siis pitäisi löytää se polku kaikista mahdollisista, jota pitkin hiukkanen kulkee pisteiden välillä joutuisimmin. Haiskahtaa kyllä hyvin ikävältä iteroida lukemattomat reittivaihtoehdot. Olettaisin, että ratkaisun löytäminen matemaattisella osaamisellani rajoittaa minut hyvin alkeellisiin tapauksiin.
Kai nyt joku yksinkertaisempi jatkuvan taittumisen laki on olemassa?

Valonnopeus c kohdassa r on annettu eli tämä funktio on tunnettu:

c(r) = annettu

jossa r = (r1,r2,r3). Kulkuaika differentiaalisen välin dr yli on tällöin

dt = |dr| / c(r) = [√(|dr/dt|^2) / c(r)] dt,

Siispä kokonaisaika reittiä r(t) on

T[r] = ∫ √(|dr/dt|^2) / c(r) dt

Sitten vaan lasket funktionaaliderivaatan T:lle ja merkitset sen nollaksi:

δT/δr = 0

eli käytännössä siistä tulee joku tällainen Euler-Lagrange-yhtälö (http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Lagrange_equation):

∂L/∂ri - d/dt ∂L/∂ri' = 0, i = 1,2,3

jossa r' = dr/dt ja

L(r,r') = √(|r'|^2) / c(r)

Tästä tulee osittaisdifferentiaaliyhtälösysteemi r:lle, joka ratkaistaan sitten alkuehdolla r(0) = annettu, olettaen, että haluat laskea fotonin reitin lähtien jostain alkupisteestä. Tuota voi sitten ratkoa iteroimalla tai miten ikinä haluaakaan.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
FacotaFI
Hmm... jos kerran valo, eli fotoni pyrkii aina kulkemaan lyhintä reittiä, niin miksi se sitten menee painovoimakenttien mukaan? Eihän se ole lyhin reitti kulkea?

Se oikeasti lyhin reitti on lyhin sen suhteellisuusteorian metriikan mukaan, mikä ei ole sama asia kuin lyhin reitti (x,y,z)-koordinaatistossa Euklidisen metriikan mukaan. Kuitenkin heikossa painovoimakentässä Euklidisenkin metriikan mukaan laskettu tulos toimii aika hyvin.

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
Stratonovich
Valonnopeus c kohdassa r on annettu eli tämä funktio on tunnettu:

c(r) = annettu

jossa r = (r1,r2,r3). Kulkuaika differentiaalisen välin dr yli on tällöin

dt = |dr| / c(r) = [√(|dr/dt|^2) / c(r)] dt,

Siispä kokonaisaika reittiä r(t) on

T[r] = ∫ √(|dr/dt|^2) / c(r) dt

Sitten vaan lasket funktionaaliderivaatan T:lle ja merkitset sen nollaksi:

δT/δr = 0

eli käytännössä siistä tulee joku tällainen Euler-Lagrange-yhtälö (http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Lagrange_equation):

∂L/∂ri - d/dt ∂L/∂ri' = 0, i = 1,2,3

jossa r' = dr/dt ja

L(r,r') = √(|r'|^2) / c(r)

Tästä tulee osittaisdifferentiaaliyhtälösysteemi r:lle, joka ratkaistaan sitten alkuehdolla r(0) = annettu, olettaen, että haluat laskea fotonin reitin lähtien jostain alkupisteestä. Tuota voi sitten ratkoa iteroimalla tai miten ikinä haluaakaan.


Viinipullollisen jälkeen tuo ei edes näytä pahalta, vaikka Euler-Lagrange-yhtälöt minulle entuudestaan vieraita ovatkin. Kunhan vuoden vaihtumisesta on selvitty niin palannen huutelemaan apua, kun tuon yleistäminen kolmeen ulottuvuuteen ja vähän jännempään optisen tiheyden skalaarikenttään sitten lopulta osoittautuukin hankalammaksi. Kiitoksia.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
petsku
Stratonovich
Tästä tulee osittaisdifferentiaaliyhtälösysteemi r:lle, joka ratkaistaan sitten alkuehdolla r(0) = annettu, olettaen, että haluat laskea fotonin reitin lähtien jostain alkupisteestä. Tuota voi sitten ratkoa iteroimalla tai miten ikinä haluaakaan.

Viinipullollisen jälkeen tuo ei edes näytä pahalta, vaikka Euler-Lagrange-yhtälöt minulle entuudestaan vieraita ovatkin. Kunhan vuoden vaihtumisesta on selvitty niin palannen huutelemaan apua, kun tuon yleistäminen kolmeen ulottuvuuteen ja vähän jännempään optisen tiheyden skalaarikenttään sitten lopulta osoittautuukin hankalammaksi. Kiitoksia.

Ja sellainen korjaus vielä, että tästä tulee peräti tavallinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälösysteemi, ei osittaisdifferentiaaliyhtälösysteemi, mikä on jopa ihan numeerisesti ratkaistavissa. Ja alkuehtoina tarvitaan myös nopeus alussa r'(0). Kyllä tuo ratkaisu on jo kolmessa ulottuvuudessa, koska r = (x,y,z) ja se c(r) saa olla ihan minkälainen tahansa optisen tiheyden kenttä.

edit: ratkaisuehdotus poistettu, koska siinä oli fiba.

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
Stratonovich
Ja sellainen korjaus vielä, että tästä tulee peräti tavallinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälösysteemi, ei osittaisdifferentiaaliyhtälösysteemi, mikä on jopa ihan numeerisesti ratkaistavissa.

Gut, pystynen sitten muokkaamaan siitä ensimmäisen kertaluvun diffissysteemin valitsemalla sopivat muuttujat ja näyttämään tälle Runge-Kuttaa.
Stratonovich
Ja alkuehtoina tarvitaan myös nopeus alussa r'(0).

Suunnan vedän hatusta ja r'(0) = c_tyhjiö/n(r=r(0))_väliaine
Stratonovich
edit: ratkaisuehdotus poistettu, koska siinä oli fiba.

Saanpahan pohtia itse.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
petsku
Stratonovich
Ja sellainen korjaus vielä, että tästä tulee peräti tavallinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälösysteemi, ei osittaisdifferentiaaliyhtälösysteemi, mikä on jopa ihan numeerisesti ratkaistavissa.

Gut, pystynen sitten muokkaamaan siitä ensimmäisen kertaluvun diffissysteemin valitsemalla sopivat muuttujat ja näyttämään tälle Runge-Kuttaa.
Stratonovich
Ja alkuehtoina tarvitaan myös nopeus alussa r'(0).

Suunnan vedän hatusta ja r'(0) = c_tyhjiö/n(r=r(0))_väliaine

Jep, joku 6-dimensioinen ensimmäisen kertaluvun systeemi, mikä on ratkaistavissa RK:lla, siitä pitäisi tulla. Sitten kun sitä yhtälöä on ensin itse koittanut johtaa, voi välituloksia tarkistaa vertaamalla niitä aiemmin annetussa linkissä oleviin differentiaaliyhtälöihin.

xork
Seuraa 
Viestejä383
Liittynyt6.11.2010

Kuinka mallintaminen onnistui? Kiinnostaa siksi, että itse haluaisin saada aikaiseksi saman mallin Mathcadilla.

Jos meillä olisi ensin tieto jokaisen pisteen tiheydenmuutoksesta (laskettavissa vaikkapa jostain yhtälöstä jokaiselle pisteelle), jonka tulos on siis vektori, niin sitten tässä pisteessä lasketaan tiheyden muutoksen vaikutus fotoniin. Vai?

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
xork
Kuinka mallintaminen onnistui? Kiinnostaa siksi, että itse haluaisin saada aikaiseksi saman mallin Mathcadilla.

En ole vielä ehtinyt asialle mitään tehdä, enkä näillä näkymin tämän kuun puolella ehdikään.
xork
Jos meillä olisi ensin tieto jokaisen pisteen tiheydenmuutoksesta (laskettavissa vaikkapa jostain yhtälöstä jokaiselle pisteelle), jonka tulos on siis vektori, niin sitten tässä pisteessä lasketaan tiheyden muutoksen vaikutus fotoniin. Vai?

Itse ajattelin alunperin aina iteroida fotonia yhden askeleen etiäpäin, laskea optisen tiheyskentän gradientin ja käyttää gradientin määräämää tasoa tässä pisteessä Snellin lain mukaisena rajapintana. Englanninkielisessä wikipediassa oli laki esitetty [url="http://en.wikipedia.org/wiki/Snell%27s_law#Vector_form"]vektorimuodossaan), niin sen avullahan se lähtisi ratkeamaan. En ehtinyt vielä niin pitkälle, että olisin arvioinut minkä sortin prediktori-korrektori-menetelmällä sen seuraavan pisteen sitten iteroisin, kun Stratonovich jo tarjosi toisen vaihtoehdon. Yksinkertaisimmillaan voisi tietysti käyttää pisteiden r_t ja r_t-1 optista tiheyttä siinä vektorimuotoisessa Snellin laissa ja Eulerin menetelmällä arvioida sitten seuraavan pisteen r_t+1 käyttäen pisteen r_t optista tiheyttä (v=c/n, r_t+1=r_t+vt, taittuneen säteen suunta v/v sieltä Snellin laista).

Uusimmat

Suosituimmat