Suhteellisuusteoria ja kaksosparadoksi.

Seuraa 
Viestejä383
Liittynyt6.11.2010

Olen lukenut hieman suhteellisuusteoriasta kuitenkaan menemättä syvemmälle sen matematiikkaan. Jos tiedätte hyvän kirjan suhteellisuusteoriasta ja intervallista (sen matematiikan selittämisestä) niin kiitos!

Viestiketjun pointti koskee lähinnä suhteellisuusteorian kaksosparadoksia. A jää maan kamaralle ja B lähtee pitkälle avaruusmatkalle kulkien merkittävällä nopeudella. Kun hän palaa takaisin, hän on A:ta nuorempi. Jos valtava nopeus olisi mahdollista saavuttaa, tapahtuisiko niin todella? Tietenkin, koska A on suuremmassa painovoimakentässä, jossa aika kuluu hitaasti. Mutta entäpä jos lähtösijainti onkin avaruus? Tapahtuisiko niin todella? Tällöin molemmat kulkevat toistensa suhteen samalla nopeudella, joten heille EI voi syntyä minkäänlaista ikäeroa, ELLEI ole olemassa avaruus, joka kanssakäy kulkijan kanssa ja kulkijalle olisi todellakin määriteltävissä todellinen nopeus avaruuden suhteen. Vai olenko väärässä? Kiitos vastauksista.

Sivut

Kommentit (43)

derz
Seuraa 
Viestejä2431
Liittynyt11.4.2005

Suhteellisuusteorian ennustamaa aikadilataatiota on testattu kokeellisesti monta kertaa ja aina tulos on ollut suhteellisuusteorian mukainen. Tässä muutama aikadilataatiota mittaava koe:

http://physicsworld.com/cws/article/news/3517
http://physicsworld.com/cws/article/news/31792
http://physicsworld.com/cws/article/news/40834

Viimeisimmässä kokeessa käytettiin maailman tarkinta atomikelloa ja aikadilataatio mitattiin nopeuksien ollessa 30-40 km/h ja gravitaatiosta johtuva aikadilataatiota mitattiin 33 senttimetrin korkeuseroilla:

http://physicsworld.com/cws/article/news/43833

Luettavaksi suosittelen Robert Gerochin Yleinen suhteellisuusteoria A:sta B:hen. Siinä käydään perinpohjaisesti läpi suppea suhteellisuusteoria ja otetaan pintasilaus yleiseen suhteellisuusteoriaan. Muistaakseni mm. aika-avaruusintervalli käsiteltiin suht kattavasti.

∞ = ω^(1/Ω)

xork
Seuraa 
Viestejä383
Liittynyt6.11.2010
derz
Suhteellisuusteorian ennustamaa aikadilataatiota on testattu kokeellisesti monta kertaa ja aina tulos on ollut suhteellisuusteorian mukainen. Tässä muutama aikadilataatiota mittaava koe:

http://physicsworld.com/cws/article/news/3517
http://physicsworld.com/cws/article/news/31792
http://physicsworld.com/cws/article/news/40834

Viimeisimmässä kokeessa käytettiin maailman tarkinta atomikelloa ja aikadilataatio mitattiin nopeuksien ollessa 30-40 km/h ja gravitaatiosta johtuva aikadilataatiota mitattiin 33 senttimetrin korkeuseroilla:

http://physicsworld.com/cws/article/news/43833

Luettavaksi suosittelen Robert Gerochin Yleinen suhteellisuusteoria A:sta B:hen. Siinä käydään perinpohjaisesti läpi suppea suhteellisuusteoria ja otetaan pintasilaus yleiseen suhteellisuusteoriaan. Muistaakseni mm. aika-avaruusintervalli käsiteltiin suht kattavasti.




Kiitos vastauksesta. Tuon kirjan luin viimeisimpänä, pariin otteeseen. Siinä ei kuitenkaan mitenkään perusteltu intervallin taustalla olevaa matematiikkaa, ainoastaan väitettiin sen pitävän paikkansa. Kirja tosin opetti mittaamista tosi selkeästi.

derz
Seuraa 
Viestejä2431
Liittynyt11.4.2005

Intervalli on käytännössä Pythagoran lauseen neliulotteinen yleistys. Siinä missä saamme kolmessa ulottuvuudessa kahden pisteen väliseksi etäisyydeksi

r = √(∆x² + ∆z² + ∆y²)

niin neliulotteisessa aika-avaruudessa saamme kahden tapahtuman väliseksi aika-avaruusintervalliksi

s = √(∆x² + ∆z² + ∆y² - c²∆t²)

joka on vakio jokaisessa inertiaalikoordinaatistossa (invariantti).

Edit: intervalli kertoo mm. tapahtumien välisen kausaalisuhteen luonteen, ts. onko tapahtumilla syy-seuraus-suhdetta ja millainen se on.

http://en.wikipedia.org/wiki/Spacetime# ... _intervals

∞ = ω^(1/Ω)

xork
Seuraa 
Viestejä383
Liittynyt6.11.2010
derz
Intervalli on käytännössä Pythagoran lauseen neliulotteinen yleistys. Siinä missä saamme kolmessa ulottuvuudessa kahden pisteen väliseksi etäisyydeksi

r = √(∆x² + ∆z² + ∆y²)

niin neliulotteisessa aika-avaruudessa saamme kahden tapahtuman väliseksi aika-avaruusintervalliksi

s = √(∆x² + ∆z² + ∆y² - c²∆t²)

joka on vakio jokaisessa inertiaalikoordinaatistossa (invariantti).

Edit: intervalli kertoo mm. tapahtumien välisen kausaalisuhteen luonteen, ts. onko tapahtumilla syy-seuraus-suhdetta ja millainen se on.

http://en.wikipedia.org/wiki/Spacetime# ... _intervals




http://fi.wikipedia.org/wiki/Metrinen_tensori
Onko jokin matemaattinen tai muu syy valita aika negatiiviseksi?

Kysyisin vielä tuosta nuorentumisesta. Koejärjestely:
Henkilöt A ja B ovat samassa paikassa. B lähtee matkalle (jolloin siis B:n mielestä A lähtee matkalle) ja suhteellinen nopeus on suuri. Lopulta he palaavat yhteen. Maailmanviivojen erottua toisistaan he eivät ole samanikäiset. Molemmat ovat olleet samassa avaruudessa. Mikä tekee jommasta kummasta nuoremman, vaikka molemmat ovat kulkeneet toistensa mielestä identtisesti toisiinsa nähden?

Vierailija
xork

Kysyisin vielä tuosta nuorentumisesta. Koejärjestely:
Henkilöt A ja B ovat samassa paikassa. B lähtee matkalle (jolloin siis B:n mielestä A lähtee matkalle) ja suhteellinen nopeus on suuri. Lopulta he palaavat yhteen. Maailmanviivojen erottua toisistaan he eivät ole samanikäiset. Molemmat ovat olleet samassa avaruudessa. Mikä tekee jommasta kummasta nuoremman, vaikka molemmat ovat kulkeneet toistensa mielestä identtisesti toisiinsa nähden?



Käsittääkseni matkustussuunnan muuttuminen koordinaatistossa.

Vierailija
Homo Superior
xork

Kysyisin vielä tuosta nuorentumisesta. Koejärjestely:
Henkilöt A ja B ovat samassa paikassa. B lähtee matkalle (jolloin siis B:n mielestä A lähtee matkalle) ja suhteellinen nopeus on suuri. Lopulta he palaavat yhteen. Maailmanviivojen erottua toisistaan he eivät ole samanikäiset. Molemmat ovat olleet samassa avaruudessa. Mikä tekee jommasta kummasta nuoremman, vaikka molemmat ovat kulkeneet toistensa mielestä identtisesti toisiinsa nähden?



Käsittääkseni matkustussuunnan muuttuminen koordinaatistossa.



Mutta kumpi matkustussuuntaa muuttaa? Jos koordinaatisto o kiinnitetty avaruusalukseen, eikös maahan jäävä kaksonen muuta suuntaansa?

derz
Seuraa 
Viestejä2431
Liittynyt11.4.2005
xork
http://fi.wikipedia.org/wiki/Metrinen_tensori
Onko jokin matemaattinen tai muu syy valita aika negatiiviseksi?



Minkowskin aika-avaruuden metriikka on määritelmällisesti joko (+ + + -) tai (- - - +) (Lorentz-metriikka). Eri etumerkki kertoo periaatteessa sen, että aika on erilainen ulottuvuus kuin kolme tilaulottuvuutta. Metriikka (+ + + +) vastaisi neliulotteista tila-avaruutta. Tekninen selitys on monimutkaisempi, mutta periaatteessa sanoo saman.

http://en.wikipedia.org/wiki/Metric_signature

xork
Kysyisin vielä tuosta nuorentumisesta. Koejärjestely:
Henkilöt A ja B ovat samassa paikassa. B lähtee matkalle (jolloin siis B:n mielestä A lähtee matkalle) ja suhteellinen nopeus on suuri. Lopulta he palaavat yhteen. Maailmanviivojen erottua toisistaan he eivät ole samanikäiset. Molemmat ovat olleet samassa avaruudessa. Mikä tekee jommasta kummasta nuoremman, vaikka molemmat ovat kulkeneet toistensa mielestä identtisesti toisiinsa nähden?



A ja B ovat siis aluksi samassa inertiaalikoordinaatistossa, jolloin heidän kellonsa käyvät samaa tahtia. B:n lähtiessä matkalle hän kuitenkin joutuu kiihdyttämään haluttuun nopeuteen, jolloin B vaihtaa inertiaalikoordinaatistoa. Paluumatkalle päästäkseen B:n täytyy niin ikään kiihdyttää vastakkaiseen suuntaan; ensin jarrutus ja sitten kiihdytys kotiin päin. Koko B:n matkan ajan A on ollut levossa, eikä hän ole siten missään vaiheessa vaihtanut inertiaalikoordinaatistoa. Tilanne ei ole siis symmetrinen, ja lopputuloksena B:n kello on jätättänyt suhteessa A:n kelloon.

Mikäli sekä A että B lähtisivät matkalle esimerkiksi vastakkaisiin suuntiin ja tapaisivat samassa pisteessä tietyn ajan kuluttua, niin kummankaan kello ei olisi jätättänyt toisesta, sillä tilanne on symmetrinen.

∞ = ω^(1/Ω)

Vierailija

Derzin pitäisi kirjoittaa Wikipediaa. Täällä kun hän puuhastelee keskinkertaisuuksien ja jutteleen kaiken maailman mitättömyyksien kanssa, hukkaa hän lahjansa.

xork
Seuraa 
Viestejä383
Liittynyt6.11.2010
derz
A ja B ovat siis aluksi samassa inertiaalikoordinaatistossa, jolloin heidän kellonsa käyvät samaa tahtia. B:n lähtiessä matkalle hän kuitenkin joutuu kiihdyttämään haluttuun nopeuteen, jolloin B vaihtaa inertiaalikoordinaatistoa. Paluumatkalle päästäkseen B:n täytyy niin ikään kiihdyttää vastakkaiseen suuntaan; ensin jarrutus ja sitten kiihdytys kotiin päin. Koko B:n matkan ajan A on ollut levossa, eikä hän ole siten missään vaiheessa vaihtanut inertiaalikoordinaatistoa. Tilanne ei ole siis symmetrinen, ja lopputuloksena B:n kello on jätättänyt suhteessa A:n kelloon.

Mikäli sekä A että B lähtisivät matkalle esimerkiksi vastakkaisiin suuntiin ja tapaisivat samassa pisteessä tietyn ajan kuluttua, niin kummankaan kello ei olisi jätättänyt toisesta, sillä tilanne on symmetrinen.


En täysin vielä ymmärtänyt. Samoin kuin B kiihdyttää A:sta pois päin, A näyttää kiihdyttävän B:n mielestä. (Ainoa ero on siinä, että jomman kumman moottori on käynnissä.) Siten olisi yhtä pätevää sanoa, että A:n kello on jätättänyt heidän palatessa yhteen. Sama toisin sanoin: Molemmat vaihtavat inertiaalikoordinaatistoa riippuen, kumpaan se on kiinnitetty.

Vierailija

En täysin vielä ymmärtänyt. Samoin kuin B kiihdyttää A:sta pois päin, A näyttää kiihdyttävän B:n mielestä. (Ainoa ero on siinä, että jomman kumman moottori on käynnissä.) Siten olisi yhtä pätevää sanoa, että A:n kello on jätättänyt heidän palatessa yhteen. Sama toisin sanoin: Molemmat vaihtavat inertiaalikoordinaatistoa riippuen, kumpaan se on kiinnitetty.[/quote.

Oleellinen ero on se, että B:hen kohdistuu kiihtyvyyden aiheuttama (paino)voima, jota A:han ei kohdistu. Siksi B:n kello jätättää.

derz
Seuraa 
Viestejä2431
Liittynyt11.4.2005
xork
En täysin vielä ymmärtänyt. Samoin kuin B kiihdyttää A:sta pois päin, A näyttää kiihdyttävän B:n mielestä. (Ainoa ero on siinä, että jomman kumman moottori on käynnissä.)



Tuo onkin se oleellinen ero. Fysikaalinen kiihtyvyys on kuitenkin eri kuin näennäiskiihtyvyys; fysikaalisen kiihtyvyyden voi mitata kiihtyvyysanturilla. B:n käynnistäessä rakettinsa hän siis tuntee G-voimia; A ei tunne koko B:n matkan aikana yhtään kiihtyvyyttä. Fysikaalinen kiihtyvyys on absoluuttista.

xork
Siten olisi yhtä pätevää sanoa, että A:n kello on jätättänyt heidän palatessa yhteen. Sama toisin sanoin: Molemmat vaihtavat inertiaalikoordinaatistoa riippuen, kumpaan se on kiinnitetty.



Ei. Se, kumpi on kiihtyvässä koordinaatistossa, kokee Lorentz-puskun ja on siten kiihtyvyyden jälkeen eri inertiaalikoordinaatistossa. A ei vaihda liiketilaansa missään vaiheessa B:n matkaa, eikä siten vaihda inertiaalikoordinaatistoakaan.

Tässä vielä havainneanimaatio Wikipediasta, jossa näkyy miten havaitsijan näkemys aika-avaruudesta "kiertyy" (transformoituu) havaitsijan kiihdyttäessä:

Edit: tuulle ehtikin jo tällä välin sanoa saman lyhyemmin.

Nagarjuna
Derzin pitäisi kirjoittaa Wikipediaa. Täällä kun hän puuhastelee keskinkertaisuuksien ja jutteleen kaiken maailman mitättömyyksien kanssa, hukkaa hän lahjansa.



Nono, ei kukaan ihminen sentään mitätön ole. Ehkä saatan jotain raapustella Wikipediaan esim. niihin artikkeleihin, joita minulle suosittelit, mutta tällä hetkellä ei aika eikä motivaatio riitä pidempien artikkelien väsäämiseen.

∞ = ω^(1/Ω)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
xork
http://fi.wikipedia.org/wiki/Metrinen_tensori
Onko jokin matemaattinen tai muu syy valita aika negatiiviseksi?



Syy on yksinkertaisempi kuin ensin arvaakaan: Näin valittuna saadaan invariantteja suureita. (lorenz-muunnoksen suhteen) Siihen se koko Minkowskin avaruuden ominaisuudet perustuu ja siksi sellainen on otettu käyttöön. Invariantit (koordinaatiston muutoksesta riippumattomat) suureet helpottavat elämää fysikaalisten ongelmien käsittelyssä.

xork

En täysin vielä ymmärtänyt. Samoin kuin B kiihdyttää A:sta pois päin, A näyttää kiihdyttävän B:n mielestä. (Ainoa ero on siinä, että jomman kumman moottori on käynnissä.) Siten olisi yhtä pätevää sanoa, että A:n kello on jätättänyt heidän palatessa yhteen. Sama toisin sanoin: Molemmat vaihtavat inertiaalikoordinaatistoa riippuen, kumpaan se on kiinnitetty.



Voit ajatella eroa tässä tapauksessa vaikka näin: Oletetaan, että toinen kaksosista käy matkan maapallon ja kuun välillä. Oletetaan että se tapahtuu niin nopeasti että kuun liikkeitä ei tarvitse miettiä.

Maassa oleva kaksonen näkee tapahtumat kuten näkee: Mikään ei muutu toisen kaksosen lähtiessä liikkeelle. Toisin on sen matkustavan kaksosen laita. Hän vaihtaa inertiaalikoordinaatistoa ja näkee maailman sen mukaisesti. Kiihdytyksen jälkeen Maa ja kuun näyttää liikkuvan niin että etäisyys ei muutu. Mutta Lorenz-muunnoksella voi todeta, että liikkuvan kaksosen koordinaatistossa maan ja kuun etäisyys on muuttunut lyhemmäksi! Vaikka Kuu näyttää tulevan kohti sillä nopeudella kun toinen kaksosista näkee hänen liikkuva, niin matkaan täytyy kulua eri aika, koska kuun ja maan välinen etäisyys ei ole sama kaksosten omissa koordinaatistoissa.

Tämän voi ajatella monella tapaa, mutta tämä on helppo lähtökohta, jos auttavasti osaa laskea etäisyyksien muutoksia eri koordinaatistoissa..

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
bosoni

Voit ajatella eroa tässä tapauksessa vaikka näin: Oletetaan, että toinen kaksosista käy matkan maapallon ja kuun välillä. Oletetaan että se tapahtuu niin nopeasti että kuun liikkeitä ei tarvitse miettiä.

Maassa oleva kaksonen näkee tapahtumat kuten näkee: Mikään ei muutu toisen kaksosen lähtiessä liikkeelle. Toisin on sen matkustavan kaksosen laita. Hän vaihtaa inertiaalikoordinaatistoa ja näkee maailman sen mukaisesti. Kiihdytyksen jälkeen Maa ja kuun näyttää liikkuvan niin että etäisyys ei muutu. Mutta Lorenz-muunnoksella voi todeta, että liikkuvan kaksosen koordinaatistossa maan ja kuun etäisyys on muuttunut lyhemmäksi! Vaikka Kuu näyttää tulevan kohti sillä nopeudella kun toinen kaksosista näkee hänen liikkuva, niin matkaan täytyy kulua eri aika, koska kuun ja maan välinen etäisyys ei ole sama kaksosten omissa koordinaatistoissa.

Tämän voi ajatella monella tapaa, mutta tämä on helppo lähtökohta, jos auttavasti osaa laskea etäisyyksien muutoksia eri koordinaatistoissa..





Näin minäkin olen joskus ajatellut, että jos joku tähti sijaitsee 50 valovuoden päässä ja toinen kaksosista lähtee sinne ja palaa takaisin lähes valonnopeudella. Aikaa edestakaiseen matkaan kuluu maan pinnalla ajatellen noin 100 vuotta. Matkustajan oma aika kuluu edelleen "vuoden vuodessa", mutta etäisyyksien kutistumisen takia välimatka saattaa olla esim. jotain 3 valovuotta. Ei matkustaja voi kuluttaa siihen 100 vuotta lähes valon nopeudella liikkuessaan. Tämän eron on pakko näkyä sitten vanhenemisessa, jos molemmat kaksoset ovat sitä mieltä, että määränpäässä on käyty.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat