Vektoritehtävä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Moro, mulla oli tossa perjantaina matikan tentti vektoreista. Perusjutut handlasin ihan ookoo ja niissä ei mielestäni ollut mitään ongelmaa. Kaksi viimeistä tehtävää kyllä tuotti aivan liikaa hankaluuksia ja haluisin pientä opastusta näihin. Kaavakirjasta & meidän matikan kirjasta koitin ratkasuja etsiä tuloksetta. Meidän matikan kirja muutenkin on erittäin suppea esimerkeiltään ja täysi paska opiskelun kannalta.

Tehtävä meni jotakuinkin näin. On olemassa pisteet A ( 3; 5 ; 0 ), piste B ( 0; 3 ; 3 ), piste c ( 3; 2; 4 ), sekä piste P ( 4; 2; 1 ). Ratkaise kolmion ABC pinta- ala ja lyhin pisteen P etäisyys suorasta AC. sit oli vielä erillisenä kohtana, että anna ratkaisu normaalimuodossa ja vektorimuodossa. Olis kiva oppia tää homma, niin olis sitten statiikkaa varten nää vektorit enemmän hallussa. Kiitoksia jos joku jaksaa jelppiä

Kommentit (3)

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1557
Liittynyt12.4.2005

Kolmion pinta-ala sekä pisteen etäisyys suorasta vektorien avulla löytyvät esimerkiksi täältä.

Toisesta etäisyyden laskutavasta en osaa sanoa, koska olen aina suosinut vektoreita tällaisten tehtävien laskennassa.

Vanha jäärä

Vierailija

Lasketaan tuota pisteen etäisyyttä vielä kolmannellakin tavalla, vaikka tuossa linkissä olevat tavat ovatkin parempia.

Vektori AC= OC-OA=-3j+4k
Tämä on siis AC-suuntaisen suoran suuntavektori.
Paikkavektori pisteeseen A on OA=3i+5j

AC-suuntaisen suoran vektorimuotoinen yhtälö on 3i+5j+t(-3j+4k)

AC-suuntaisen suoran parametrimuotoinen yhtälö , jos sitä kysyttiin:

x=3
y=5-3t
z=4t

Paikkavektori mielivaltaiseen pisteeseen M suoralle AC on OM=3i+(5-3t)j+4t*k

Vektori pisteestä M pisteeseen P on MP=4i+2j+k-3i-(5-3t)-4t*k=i+(3t-3)j+(1-4t)k

Tässä kun haetaan pisteen ja suoran lyhintä etäisyyttä niin suoran suuntavektori ja vektori MP
ovat suorassa kulmassa toisiaan vastaan, eli niiden välinen pistetulo on nolla.

AC▪MP=0

(-3j+4k) ▪(i+(3t-3)j+(1-4t)k=0=>0-3(3t-3)+4(1-4t)=0=>t=13/25

MP vektori on tällöin i+j((39/25)-3))+k((1-(52/25))=1-(36/25)j-(27/25)k

Tämän vektorin pituus on SQRT(1+(36/25)^2+(27/25)^2)=sqrt(2650)/25=sqrt(106)/5
Tämä on se kysytty lyhin etäisyys.

Tarkistetaan se vielä tuolla linkissä olevalla menetelmällä:

Vektori CA=3j-4k, ja sen pituus on 5

Vektori CP=OP-OC=4i+2j+k-3i-2j-4k=i-3k, ja pituus on sqrt(10)

(CA▪CP)/5=12/5

Pisteen P etäisyys suorasta on SQRT(10-(12/5)^2)=sqrt(106)/5

Tai sitten sillä toisella tavalla etäisyys on: ( | CA X CP | ) / 5, siis tuon ristitulovektorin pituus jaettuna CA pituudella.

Ristitulovektori on 9i+4k+3j, ja sen pituus on sqrt(106), ja etäisyys siis tuo kahteen kertaan jo laskettu sqrt(106)/5

Tästä minun tekeleestä saadaan kuitenkin myös helposti se piste M suoralla AC, mihin se etäisyys lyhin on, eli: OM=3i+(5-3t)j+4tk=3i+( (86/25)j+(52/25)k

|

Vierailija
mölkhö
Lasketaan tuota pisteen etäisyyttä vielä kolmannellakin tavalla, vaikka tuossa linkissä olevat tavat ovatkin parempia.

Vektori AC= OC-OA=-3j+4k
Tämä on siis AC-suuntaisen suoran suuntavektori.
Paikkavektori pisteeseen A on OA=3i+5j

AC-suuntaisen suoran vektorimuotoinen yhtälö on 3i+5j+t(-3j+4k)

AC-suuntaisen suoran parametrimuotoinen yhtälö , jos sitä kysyttiin:

x=3
y=5-3t
z=4t

Paikkavektori mielivaltaiseen pisteeseen M suoralle AC on OM=3i+(5-3t)j+4t*k

Vektori pisteestä M pisteeseen P on MP=4i+2j+k-3i-(5-3t)-4t*k=i+(3t-3)j+(1-4t)k

Tässä kun haetaan pisteen ja suoran lyhintä etäisyyttä niin suoran suuntavektori ja vektori MP
ovat suorassa kulmassa toisiaan vastaan, eli niiden välinen pistetulo on nolla.

AC▪MP=0

(-3j+4k) ▪(i+(3t-3)j+(1-4t)k=0=>0-3(3t-3)+4(1-4t)=0=>t=13/25

MP vektori on tällöin i+j((39/25)-3))+k((1-(52/25))=1-(36/25)j-(27/25)k

Tämän vektorin pituus on SQRT(1+(36/25)^2+(27/25)^2)=sqrt(2650)/25=sqrt(106)/5
Tämä on se kysytty lyhin etäisyys.

Tarkistetaan se vielä tuolla linkissä olevalla menetelmällä:

Vektori CA=3j-4k, ja sen pituus on 5

Vektori CP=OP-OC=4i+2j+k-3i-2j-4k=i-3k, ja pituus on sqrt(10)

(CA▪CP)/5=12/5

Pisteen P etäisyys suorasta on SQRT(10-(12/5)^2)=sqrt(106)/5

Tai sitten sillä toisella tavalla etäisyys on: ( | CA X CP | ) / 5, siis tuon ristitulovektorin pituus jaettuna CA pituudella.

Ristitulovektori on 9i+4k+3j, ja sen pituus on sqrt(106), ja etäisyys siis tuo kahteen kertaan jo laskettu sqrt(106)/5

Tästä minun tekeleestä saadaan kuitenkin myös helposti se piste M suoralla AC, mihin se etäisyys lyhin on, eli: OM=3i+(5-3t)j+4tk=3i+( (86/25)j+(52/25)k

Jäi pois se suoran AC normaalimuoto, ja sehän saadaan ratkaisemalla t noista parametrimuodon yhtälöistä, eli

t=(5-y)/3=z/4, ja suoran AC normaalimuoto on:

x=3
(5-y)/3=z/4

|

Uusimmat

Suosituimmat