Yhtälön ratkaiseminen

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Matematiikassa yhtälö tarkoittaa kahden lausekkeen yhtäsuuruutta. Yksinkertaisissa yhtälöissä on vain yksi muuttuja, jota usein merkitään noin suomalaisittain X:llä. Käytännössä yhtälöstä halutaan selvittää, mikä luku toteuttaa yhtälön väitteen. Kun tuntematonta ryhdytään ratkaisemaan, niin alkuperäistä yhtälöä tai lausekkeita muokataan sellaiseen muotoon, josta nähdään vastaus.

Miten on mahdollista, että yhtälöä muuttamalla löydetään oikea ratkaisu? Onko kyse vain siitä, että ihmiset ovat löytäneet työkalun nimeltä "yhtälö", ja sen jälkeen tutkineet, miten sitä käytetään, loppujen lopuksi ymmärtämättä miksi se tuottaa yksikäsitteisiä ja täsmällisiä oikeita ratkaisuja? Vai onko yhtälö ja laskutoimitukset määritelty niin, että niitä oikein käyttämällä löydetään oikea ratkaisu?

Jos meillä on vaikkapa yhtälö X+3=3, niin idioottikin näkee, että X=0 on yhtälön oikea ratkaisu . Käytännössä kuitenkin yhtälö ratkaistaisiin ajattelemalla, että "mihin lukuun täytyy lisätä kolme, että saadaan luku 3", ja tämä sitten kirjoitettaisiin vähentämällä puolittain luku 3; X=3-3. Saatiin alkuperäisestä yhtälöstä eroava yhtälö X=3-3, joka on kuitenkin ekvivalentti alkuperäisen yhtälön kanssa. Miten noin filosofisesti ajatellen on mahdollista, että molemmista yhtälöistä tulee vain yksi, täsmälleen yksi ja ainoa oikea ratkaisu?

Monet pitävät yhtälöitä ja niiden ratkaisua algebrallisesti itsestään selvinä, tosina asioina. Minua kuitenkin hämmentää suunnattomasti se, että miksi yhtölöä muokkaamalla löydetään aina täsmälleen oikea, ainut oikea ja sama ratkaisu, joka toteuttaa alkuperäisen yhtälön.

En kirjoittanut tätä teksitä siksi, että pitäisin matematiikka mitenkään "uskon asiana" . Siis periaatteessahan on aivan yhtä uskon asia se, että uskot, että yhtälöstä saadaan oikea ratkaisu ratkaisemalla se algebrallisesti, kuin että uskot jumalaan . Toivottavasti en suututtanut ketään fanaattista ateistia .

Sivut

Kommentit (52)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Oikeastaan yhtälön ratkaiseminen perustuu logiikkaan. Jos oletetaan että peruslaskutoimitukset ovat hyvin määriteltyjä esimerkiksi reaaliluvuille, niin voidaan luottaa loogisiin seurauksiin. Tuossa yhtälön ratkaisussa voidaan ajatella että yhtälön molemmilla puolilla täytyy olla sama luku. Yhtäsuuruuden täytyy säilyä kun siitä samasta luvusta vähennetään jokin luku molemmin puolin.

Päättelyssä kuitenkin olla huolellinen joidenkin laskutoimitusten suhteen, esimerkiksi x²=3². Tuosta voisi ajatella että yhtälön molemmin puolin luvuille x ja 3 on tehty sama operaatio, joten x=3. Tämä on yksi ratkaisu, mutta toinen ratkaisu on -3, jota huolimattomasti päätellessä ei huomaa. Monia muitakin kompatuskiviä löytyy ihan perusyhtälöiden ratkaisussa. Esim. nollalla jakamista pitää muistaa varoa.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
jonehanu
Matematiikassa yhtälö tarkoittaa kahden lausekkeen yhtäsuuruutta. Yksinkertaisissa yhtälöissä on vain yksi muuttuja, jota usein merkitään noin suomalaisittain X:llä. Käytännössä yhtälöstä halutaan selvittää, mikä luku toteuttaa yhtälön väitteen. Kun tuntematonta ryhdytään ratkaisemaan, niin alkuperäistä yhtälöä tai lausekkeita muokataan sellaiseen muotoon, josta nähdään vastaus.

Miten on mahdollista, että yhtälöä muuttamalla löydetään oikea ratkaisu? Onko kyse vain siitä, että ihmiset ovat löytäneet työkalun nimeltä "yhtälö", ja sen jälkeen tutkineet, miten sitä käytetään, loppujen lopuksi ymmärtämättä miksi se tuottaa yksikäsitteisiä ja täsmällisiä oikeita ratkaisuja? Vai onko yhtälö ja laskutoimitukset määritelty niin, että niitä oikein käyttämällä löydetään oikea ratkaisu?

Jos meillä on vaikkapa yhtälö X+3=3, niin idioottikin näkee, että X=0 on yhtälön oikea ratkaisu . Käytännössä kuitenkin yhtälö ratkaistaisiin ajattelemalla, että "mihin lukuun täytyy lisätä kolme, että saadaan luku 3", ja tämä sitten kirjoitettaisiin vähentämällä puolittain luku 3; X=3-3. Saatiin alkuperäisestä yhtälöstä eroava yhtälö X=3-3, joka on kuitenkin ekvivalentti alkuperäisen yhtälön kanssa. Miten noin filosofisesti ajatellen on mahdollista, että molemmista yhtälöistä tulee vain yksi, täsmälleen yksi ja ainoa oikea ratkaisu?

Monet pitävät yhtälöitä ja niiden ratkaisua algebrallisesti itsestään selvinä, tosina asioina. Minua kuitenkin hämmentää suunnattomasti se, että miksi yhtölöä muokkaamalla löydetään aina täsmälleen oikea, ainut oikea ja sama ratkaisu, joka toteuttaa alkuperäisen yhtälön.

En kirjoittanut tätä teksitä siksi, että pitäisin matematiikka mitenkään "uskon asiana" . Siis periaatteessahan on aivan yhtä uskon asia se, että uskot, että yhtälöstä saadaan oikea ratkaisu ratkaisemalla se algebrallisesti, kuin että uskot jumalaan . Toivottavasti en suututtanut ketään fanaattista ateistia .




No selittelenpä minäkin aikani kuluksi. Esimerkiksi 5+4 = 9
Jos vähennät yhtälön molemmista puolista saman luvun 2 saat yhtälön 3+4 = 7, joka pitää edelleen paikkansa. Tässä ei ollut tuntematonta. x+ 6 =13 (tietysti x = 7). Voit edelleen vähentää sen kakkosen ja saat x+4=11 Huomaat, että edelleen x=7 on oikein.
Jos taas vähennät alkuperäisen molemmista puolista 6 saat x+6- 6= 13 - 6 siis suoraan x =7.
Jos tämä tuntuu liian abstraktilta ajattele tasavartista vaakaa. Vasemmassa kupissa on punnus x ja 6 kilon punnusta, oikeassa 13 kilon punnusta. Otetaan molemmista 6 punnusta pois, jolloin toiseen kuppiin jää x ja toiseen 7 kilon punnusta.
Näin se sinulle on opetettu, mutta mitä teit sinä? Piirsit pistoolin kuvia kirjan laitaan, etkä kuunnellut mitään. Häpeä, että pyörryt!

Vierailija
bosoni
Näin se sinulle on opetettu, mutta mitä teit sinä? Piirsit pistoolin kuvia kirjan laitaan, etkä kuunnellut mitään. Häpeä, että pyörryt!



No löytyhän täältä se kiihkoateistikin .

bosoni
Jos tämä tuntuu liian abstraktilta ajattele tasavartista vaakaa.



Liian abstraktilta tuntuu tuo sinun logiikkasi, jonka mukaan henkilö, joka kyseenalaistaa asioita, oli pienenä laiska vätys, "joka raapusteli vihkoon pistooleja".(BTW todennäköisemmin ne olisivat olleet kirkkoveneitä )

PS. häpeästään pyörtyvä lukiolainen, jonka matikan keskiarvo on 9,6

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
jonehanu
bosoni
Näin se sinulle on opetettu, mutta mitä teit sinä? Piirsit pistoolin kuvia kirjan laitaan, etkä kuunnellut mitään. Häpeä, että pyörryt!



No löytyhän täältä se kiihkoateistikin .

bosoni
Jos tämä tuntuu liian abstraktilta ajattele tasavartista vaakaa.



Liian abstraktilta tuntuu tuo sinun logiikkasi, jonka mukaan henkilö, joka kyseenalaistaa asioita, oli pienenä laiska vätys, "joka raapusteli vihkoon pistooleja".(BTW todennäköisemmin ne olisivat olleet kirkkoveneitä )

PS. häpeästään pyörtyvä lukiolainen, jonka matikan keskiarvo on 9,6




Syytit väärää nimimerkkiä. Lisäksi olisit voinut kiittää niin bosonia kuin minuakin. Kirjoitinhan pitkän pätkän asiallista tekstiä. Loppuvitsi oli siitä pikkupalkkio.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26890
Liittynyt16.3.2005
jonehanu
Miten noin filosofisesti ajatellen on mahdollista, että molemmista yhtälöistä tulee vain yksi, täsmälleen yksi ja ainoa oikea ratkaisu?

Monet pitävät yhtälöitä ja niiden ratkaisua algebrallisesti itsestään selvinä, tosina asioina. Minua kuitenkin hämmentää suunnattomasti se, että miksi yhtölöä muokkaamalla löydetään aina täsmälleen oikea, ainut oikea ja sama ratkaisu, joka toteuttaa alkuperäisen yhtälön.

En kirjoittanut tätä teksitä siksi, että pitäisin matematiikka mitenkään "uskon asiana" . Siis periaatteessahan on aivan yhtä uskon asia se, että uskot, että yhtälöstä saadaan oikea ratkaisu ratkaisemalla se algebrallisesti, kuin että uskot jumalaan . Toivottavasti en suututtanut ketään fanaattista ateistia .





Lukiotasolla matematiikka edellyttää "uskoa jumalaan", koska asioita ei voida käsitellä perinpohjaisesti niiden laajuuden ja monimutkaisuuden takia. Jos haluat perehtyä algebran syvimpään olemukseen, sitä pitää opiskella paljon enemmän. Matematiikka ei vaadi uskonnollista uskoa. Lukujoukot, niissä pätevät laskutoimitukset, yhtäsuuruudet, mahdollinen suuruusjärjestys ym. seikat on määritelty huolellisesti valituin oletuksin. Koko algebra seuraa sitten vääjäämättömästi valituista oletuksista loogisen päättelyn avulla.

Se on hatarammalla pohjalla, millaisia todellisen maailman ilmiöitä valitut matemaattiset objektit kuvaavat ja millä tarkkuudella, mutta matematiikan sisällä voidaan johtaa asioita ilman käsienheiluttelua.

Vierailija

Mulle tulee vaan aina välillä matikan tunneilla sellainen fiilis, että kun matikassa kaikki asiat esitetään käytännössä absoluuttisina totuuksina ja faktoina, niin täytyyhän silloin sen perustankin olla käytännössä virheetön. Ymmärrän kyllä logiikkaa ja käytännön elämästä johtuvia ongelmia, jotka selvitetään logiikan avulla . Kuitenkin jos nyt vaikka otetaan ihan ruohonjuuritason esimerkki; X+2=3.

Tuollainen yhtälöhän ratkeaa vähentämällä puolittain luku 2. Tällöin saadaan ratkaisuksi yksikäsitteinen ja se ainoa täsmällinen ratkaisu, joka yhtälön ehdon toteuttaa. Algebrallinen ratkaisumenetelmä ei tässä kuitenkaan pois sulkenut mitään muita ratkaisuvaihtoehtoja. Yhtälön muokkaus ei kertonut meille, että esimerkiksi luku X=8 ei voi toteuttaa yhtälön ehtoa. Muutenhan seuraisi ristiriita 8+2=3, mikä ei meidän maailmankaikkeudessamme ole järkevä väittämä. Tätä, eikä mitään muutakaan muuttujan arvoa ei algebrallinen ratkaisumenetelmä poissulkenut. Käytännössä kuitenkin voidaan järkeillä, että kun lausekkeeseen X+2 sijoitellaan erilaisia X:n arvoja, niin voidaan todeta, että kun luku X pienenee luvusta 1, eli siirtyy lukusuoralla vasemmalle, niin summa X+2 tulee pienenemään ja on siis aina pienempi kuin 3. Toisaalta kun X on lukua 2 suurempi, niin em. summan arvo tulee aina olemaan suurempi kuin 3. Vasta tästä loogisesta päättelyketjusta voidaan mielestäni vetää se johtopäätös, että X=1 on yksi, ja ainoa ratkaisu yhtälölle X+2=3.

Käytännössähän esimerkiksi tuollaisia lineaarisia lausekkeita voitaisiin tutkia koordinaatistossa, ja sitä kautta todeta, miten lauseke käyttäytyy kun se saa erilaisia muuttujan arvoja. Vasta sitten voidaan vetää loogisia johtopäätöksia mahdollisten yhtälöiden ratkaisuista, kun kaikki muut ratkaisukandidaatit on poissuljettu.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26890
Liittynyt16.3.2005
jonehanu
Tuollainen yhtälöhän ratkeaa vähentämällä puolittain luku 2. Tällöin saadaan ratkaisuksi yksikäsitteinen ja se ainoa täsmällinen ratkaisu, joka yhtälön ehdon toteuttaa. Algebrallinen ratkaisumenetelmä ei tässä kuitenkaan pois sulkenut mitään muita ratkaisuvaihtoehtoja.



Sikäli kun edetään algebran sääntöjen mukaan, eivät nuo työvaiheet luo tai hävitä ratkaisuja (jos ne tekee oikein).

Muutenhan seuraisi ristiriita 8+2=3, mikä ei meidän maailmankaikkeudessamme ole järkevä väittämä. Tätä, eikä mitään muutakaan muuttujan arvoa ei algebrallinen ratkaisumenetelmä poissulkenut.



Nyt sotket matematiikan ja fysiikan, mikä on suuri virhe. Maailmankaikkeudesta ei välitetä matematiikassa, se ei ole matemaattinen objekti, vaan joku epämääräinen törkykasa.

Jos rajoitutaan kokonaislukujen joukkoon ja sen laskutoimituksiin, Peanon aksioomista (Google tietää) voidaan johtaa, että 8+2=3 on epätosi lause. Mutta matematiikassa voimme määritellä luku- ja laskujärjestelmiä (en tiedä oikeita termejä), joiden aksioomien ja sisäisen logiikan mukaan 8+2=3 on tosi lause.

Käytännössä kuitenkin voidaan järkeillä,



Järkeily ilman asianmukaista oppimateriaalia on perse edellä puuhun kiipeämistä. Oikeasti niidenkin tulosten saavuttaminen, joita lukioissa opetetaan annettuna totuutena, on vaatinut lukemattomilta matemaatikoilta vuosisatojen työn. Jos lähtee itse luomaan matematiikkaa uudelleen, huomaa kuolevansa ennen kuin ehtii puusta pitkään. Kannttaa ensin uhrata muutama vuosikymmen sen oppimiseksi, mitä muut ovat jo saaneet selville, ja sitten vasta viedä tiedettä oma askeleensa eteenpäin.

Käytännössähän esimerkiksi tuollaisia lineaarisia lausekkeita voitaisiin tutkia koordinaatistossa, ja sitä kautta todeta, miten lauseke käyttäytyy kun se saa erilaisia muuttujan arvoja. Vasta sitten voidaan vetää loogisia johtopäätöksia mahdollisten yhtälöiden ratkaisuista, kun kaikki muut ratkaisukandidaatit on poissuljettu.



Reaalimaailma vetää sinua taas puoleensa. Alkeisongelmia voidaan joskus hahmotella koordinaatistoissa, mutta syvällisemmin edetään toisin päin, ensin päätellään aksioomista lähtien miten asiat ovat ja sitten ehkä piirretään koordinaatistoja niiden havainnollistamiseksi, jos ne ovat yksinkertaisemmasta päästä ja koordinaatistossa esitettävissä (matematiikassa voi olla vaikka ääretönulotteinen "koordinaatisto", siinä onkin piirtämistä kynällä ja paperilla).

Tuo reaalimaailman ja matematiikan kytkentä on aivan ymmärrettävää. Lukiotasolla, ja luonnontieteiden opetuksessa korkeakoulutasollakin, matematiikkaa opetetaan luonnontieteiden aputieteenä, ja painotus on ymmärrettävistä syistä sovelluksissa. Varsinainen matematiikka on sitten aivan eri asia. Itse en ole sitä koskaan opiskellut, joten olen väärä mies kertomaan mitä se on. Luonnontieteiijöiden "voidaan osoittaa, että" tai "jaetaan nyt sillä äärettömällä ja saadaan nolla, matemaatikot itkevät mutta lentokone lentää" -pseudoperustelut ikäville vaiheille eivät mene läpi matemaatikoille.

Vierailija
Neutroni
Sikäli kun edetään algebran sääntöjen mukaan, eivät nuo työvaiheet luo tai hävitä ratkaisuja (jos ne tekee oikein).



Pysytään samassa yksinkertaisessa esimerkissa; X+2=3, ja lähdetään liikkeelle siitä, että yhtälön ratkaisuja ei vielä tunneta. Algebrallisesti ratkaisemalla yhtälö näyttää lopulta seuraavalta: X=1. Missä on lause sille, että X ei voi olla muuta kuin 1? Ei missään, ennen kuin on tutkittu jokainen reaalinen luku, ja todettu, että mikään muu luku ei toteuta yhtälöä, kuin luku X=1. Tai sitten "järkeilemällä", että kun X etääntyy luvusta 1 suuntaan tai toiseen, niin X+2 ei ole kolme.

Neutroni
Nyt sotket matematiikan ja fysiikan, mikä on suuri virhe. Maailmankaikkeudesta ei välitetä matematiikassa, se ei ole matemaattinen objekti, vaan joku epämääräinen törkykasa.



Ei matematiikkaa, ilman maailmankaikkeutta. Ainakaan ihmisten tietoisuudessa. Toisin sanoen kyllä se matikkakin ihan havainnoista koostuu, vaikkei välttämättä fysikaalisista.

Neutroni
Järkeily ilman asianmukaista oppimateriaalia on perse edellä puuhun kiipeämistä. Oikeasti niidenkin tulosten saavuttaminen, joita lukioissa opetetaan annettuna totuutena, on vaatinut lukemattomilta matemaatikoilta vuosisatojen työn. Jos lähtee itse luomaan matematiikkaa uudelleen, huomaa kuolevansa ennen kuin ehtii puusta pitkään. Kannttaa ensin uhrata muutama vuosikymmen sen oppimiseksi, mitä muut ovat jo saaneet selville, ja sitten vasta viedä tiedettä oma askeleensa eteenpäin.



Ei tässä nyt sentään kyse matematiikan romuttamisesta tieteenä ole. Ei myöskään minkään uuden luomisesta, vaan ihan tutkimisen ilosta ja mielenkiinnosta ollaan liikkeellä . Jos kukaan ei koskaan kyseenalaista tai tutki vuosisatoja pitkien prosessien lopputulosta, niin lopulta tullaan siihen, että kaikki maailman ihmiset ovat helvetin taitavia calculuksessa, mutta kukaan ei tiedä, miksi 1+1=2 , noin kärjistettynä .

Teekkari
Seuraa 
Viestejä2347
Liittynyt27.4.2008
jonehanu
Neutroni
Sikäli kun edetään algebran sääntöjen mukaan, eivät nuo työvaiheet luo tai hävitä ratkaisuja (jos ne tekee oikein).



Pysytään samassa yksinkertaisessa esimerkissa; X+2=3, ja lähdetään liikkeelle siitä, että yhtälön ratkaisuja ei vielä tunneta. Algebrallisesti ratkaisemalla yhtälö näyttää lopulta seuraavalta: X=1. Missä on lause sille, että X ei voi olla muuta kuin 1?
Se lause löytyy Neutronin mainitsemista oppimateriaaleista. Kaikkea ei voida olettaa ja määritellä uudelleen jokaisen ongelman edessä.

Everything you know, is about to change.

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
jonehanu
Mulle tulee vaan aina välillä matikan tunneilla sellainen fiilis, että kun matikassa kaikki asiat esitetään käytännössä absoluuttisina totuuksina ja faktoina, niin täytyyhän silloin sen perustankin olla käytännössä virheetön. Ymmärrän kyllä logiikkaa ja käytännön elämästä johtuvia ongelmia, jotka selvitetään logiikan avulla . Kuitenkin jos nyt vaikka otetaan ihan ruohonjuuritason esimerkki; X+2=3.

Tuollainen yhtälöhän ratkeaa vähentämällä puolittain luku 2. Tällöin saadaan ratkaisuksi yksikäsitteinen ja se ainoa täsmällinen ratkaisu, joka yhtälön ehdon toteuttaa. Algebrallinen ratkaisumenetelmä ei tässä kuitenkaan pois sulkenut mitään muita ratkaisuvaihtoehtoja. Yhtälön muokkaus ei kertonut meille, että esimerkiksi luku X=8 ei voi toteuttaa yhtälön ehtoa. Muutenhan seuraisi ristiriita 8+2=3, mikä ei meidän maailmankaikkeudessamme ole järkevä väittämä. Tätä, eikä mitään muutakaan muuttujan arvoa ei algebrallinen ratkaisumenetelmä poissulkenut. Käytännössä kuitenkin voidaan järkeillä, että kun lausekkeeseen X+2 sijoitellaan erilaisia X:n arvoja, niin voidaan todeta, että kun luku X pienenee luvusta 1, eli siirtyy lukusuoralla vasemmalle, niin summa X+2 tulee pienenemään ja on siis aina pienempi kuin 3. Toisaalta kun X on lukua 2 suurempi, niin em. summan arvo tulee aina olemaan suurempi kuin 3. Vasta tästä loogisesta päättelyketjusta voidaan mielestäni vetää se johtopäätös, että X=1 on yksi, ja ainoa ratkaisu yhtälölle X+2=3.

Käytännössähän esimerkiksi tuollaisia lineaarisia lausekkeita voitaisiin tutkia koordinaatistossa, ja sitä kautta todeta, miten lauseke käyttäytyy kun se saa erilaisia muuttujan arvoja. Vasta sitten voidaan vetää loogisia johtopäätöksia mahdollisten yhtälöiden ratkaisuista, kun kaikki muut ratkaisukandidaatit on poissuljettu.




Hae Wikipediasta reaaliluvut. Se tapa jolla meidät on opetettu laskemaan (siellä siis 2+2 =4 eikä esimerkiksi 5) merkitsee, että reaalilukujen joukko muodostaa ns. järjestetyn kunnan.
Yksi ominaisuus on tällainen: jos a = < b, niin a+c = < b+c Tällöin pätee myös: jos a = b niin a+c = b+c.
Nyt taas jos a+c = b+c niin a+c+(-c) = b+c+(-c) Joten voimme kirjoittaa lauseet ekvivalenteiksi.
Siis a = b <=> a+c = b+c
Tällöin siis x+2 = 3 on tosi silloin ja vain silloin, kun x+2+(-2) = 3+(-2)
Ratkaisu on siis yksikäsitteinen eikä mikään muu luku voi yhtälöä toteuttaa.
Tällainen pyöritys motivoi huonosti oppilaita, eivätkä he oikein tahdo pysyä temppuilussa mukana.
Kun korkeakouluopinnoissa piti alkajaisiksi todistaa, että 0 on eri asia kuin 1, eikä oikein sujunut, niin sitä vähän kiroili, että mihin perkeleen paikkaan sitä on joutunut.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
visti
Kun korkeakouluopinnoissa piti alkajaisiksi todistaa, että 0 on eri asia kuin 1, eikä oikein sujunut, niin sitä vähän kiroili, että mihin perkeleen paikkaan sitä on joutunut.

Helsingin yliopistossa tuo 0!=1 annetttiin aksioomana syksyllä 2002. Tuskinpa tuota voi edes todistaa, sillä voidaan osoittaa, että kaikille reaaliluvuille x pätee 0x=0. Jos olisi 1=0, niin kaikilla reaaliluvuilla x on voimassa x=1x=0x=0. Ja kyllähän kunta-aksioomat ovat voimassa myös yhden alkion joukossa lukuun ottamatta ehtoa 1!=0. Meillä todistettiin että 1>0, ja siinä käytettiin juuri tuota aksioomaa 0!=1.

Vierailija
visti
Hae Wikipediasta reaaliluvut. Se tapa jolla meidät on opetettu laskemaan (siellä siis 2+2 =4 eikä esimerkiksi 5) merkitsee, että reaalilukujen joukko muodostaa ns. järjestetyn kunnan.
Yksi ominaisuus on tällainen: jos a = < b, niin a+c = < b+c Tällöin pätee myös: jos a = b niin a+c = b+c.
Nyt taas jos a+c = b+c niin a+c+(-c) = b+c+(-c) Joten voimme kirjoittaa lauseet ekvivalenteiksi.
Siis a = b <=> a+c = b+c
Tällöin siis x+2 = 3 on tosi silloin ja vain silloin, kun x+2+(-2) = 3+(-2)
Ratkaisu on siis yksikäsitteinen eikä mikään muu luku voi yhtälöä toteuttaa.



En oo varma tajusinko juttua kokonaan, mutta siis opetetaanko esim. korkeakoulumatikassa tällasia algebrallisten menetelmien todistuksia tai muuten vaan paljon perinpohjaisemmin ja syvällisemmin nää kaikki ihan perusasiat matematiikassa. Lukio matematiikassa ja peruskoulumatikassa nämä asiat käydään tavallaan ylimalkaisesti "järkeen vedoten", eikä tuollaisia aksioomiin perustuvia matematiikan rakenteita tutkita ollenkaan. Korkeintaan oppikirjassa sanotaan esimerkiksi "yhtälö on tosi jos, ja vain jos". Toisinsanoen peliin heitetään "<=>" ja sillä selvä. Ei esimerkiksi mitään puhetta siitä, mihin tuo ekvivalenssi nuoli oikeasti perustuu, ja miksi. Toisaalta ymmärrettävää, koska suurinta osaa oppilaista ei matikka kiinnosta hevonpaskaakaa .

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
Puuhikki
visti
Kun korkeakouluopinnoissa piti alkajaisiksi todistaa, että 0 on eri asia kuin 1, eikä oikein sujunut, niin sitä vähän kiroili, että mihin perkeleen paikkaan sitä on joutunut.

Helsingin yliopistossa tuo 0!=1 annetttiin aksioomana syksyllä 2002. Tuskinpa tuota voi edes todistaa, sillä voidaan osoittaa, että kaikille reaaliluvuille x pätee 0x=0. Jos olisi 1=0, niin kaikilla reaaliluvuilla x on voimassa x=1x=0x=0. Ja kyllähän kunta-aksioomat ovat voimassa myös yhden alkion joukossa lukuun ottamatta ehtoa 1!=0. Meillä todistettiin että 1>0, ja siinä käytettiin juuri tuota aksioomaa 0!=1.

No siitä on niin kauan, että todistettava juttu saattoi olla 1 <>2. Perkele siinä oli varmasti mukana.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005

Yliopistomatikassa todistetaan hyvin paljon asioita. Mulla meni aikanaan kaksi pistettä algebran tentissä, kun en todistanut jotain triviaalia asiaa, muistaakseni, että x-y|x^n-y^n kun n on positiivinen kokonaisluku ja x sekä y ovat erisuuria kokonaislukuja. Joskus joitain asioita voi olettaa tunnetuksi, esimerkiksi joidenkin aksioomien ristiriidattomuus. Toisinaan taas todistus voi olla niin pitkä, että lauseen voi laittaa suoraan työkalupakkiin. Esimerkkinä Feitin–Thompsonin lause.

PPo
Seuraa 
Viestejä11618
Liittynyt10.12.2008
Puuhikki

Helsingin yliopistossa tuo[size=150:aox0boe5] 0!=1 annetttiin aksioomana [/size:aox0boe5]syksyllä 2002. Tuskinpa tuota voi edes todistaa, sillä voidaan osoittaa, että kaikille reaaliluvuille x pätee 0x=0. Jos olisi 1=0, niin kaikilla reaaliluvuilla x on voimassa x=1x=0x=0. Ja kyllähän kunta-aksioomat ovat voimassa myös yhden alkion joukossa lukuun ottamatta ehtoa 1!=0. Meillä todistettiin että 1>0, ja siinä käytettiin juuri tuota aksioomaa 0!=1.

Se, että 0!=1 (ja 1!=1) ei suinkaan ole aksiooma, vaan sopimus, joka on tehty, jotta tietyt kombinatoriset kaavat voidaan esittää suljetussa muodossa.
Esim binomikerroin = n!/(k!(n-k)) pitää paikkansa myös k:n arvoilla 0, 1, n ja n-1.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat