Simppeli fysiikantehtävä ... not?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Anteeksi että vaivainen abiturientinkuvatus tarjoaa pähkäiltäväksenne periaatteessa melko yksinkertaisen fysiikantehtävän, joka ei luultavasti teille tarjoa kovin ihmeellistä haastetta mutta on jo kuitenkin onnistunut hajottamaan aivoparkani.

Asiaan.

Kyseessä on Fysiikan YO-tehtävä nro 6 vuodelta 2009, ja se on seuraavan näköinen:


Pyörän hitausmomentin määrittämiseksi se pantiin levosta vierimään pitkin kaltavaa tasopintaa, jonka kaltevuuskulma vaakatasoon nähden on 27 astetta. Tällöin pyörä vieri 1,2 m matkan 0,87 sekunnissa. Pyörän massa on 1,3 kg ja säde 0,15 m. Kuinka suuri on pyörän hitausmomentti?



Pyörä tietenkin vierii täydellisesti liukumatta, liikekitkaa ei ole ja muita vastusvoimia ei oteta huomioon, kuten lukiofysiikassa on tapana. Näin ollen mekaaninen energia säilyy, ts.

E_p = E_k + E_r

(E_p potentiaalienergia levossa, E_k liike-energia ja E_r rotaatioenergia)

mgh = ½mv² + ½Jw²

(w merkkaa omegaa)

ja koska vierivälle kappaleelle pätee v=wr eli w=v/r

mgh = ½mv² + ½J(v/r)²

josta hitausmomentti J on helppo pyöritellä esiin:

J = (mgh - ½mv²) / (½(v/r)²)

Tähän asti kaikki selvää. Ongelmaksi on muodostunut loppunopeuden v ratkaisu, ja nimenomaisesti dynamiikan ja pyörimisen peruslakien avulla. Fysiikaan perehtyneet viisaat ja syvämietteiset herrat jotka ovat "Ylioppilastehtävät" -opukseni raapustelleet, nimittäin tarjoavat vain seuraavantapaisen ratkaisun:

Pyörän liike on tasaisesti kiihtyvää, joten keskinopeus v_k = (v_0+v)/2
koska v_0 = 0, v_k= v/2
v_k = s/t
ja siten v=2s/t

joka on sitten sijoitettu hitausmomentille saatuun kaavaan.

Huviksi ja harjoitukseksi päätin tutkia miten v:n saisi selville em. peruslakien avulla. Piirustelin siis asianmukaiset kaaviot ja totesin tukivoiman N (joka on kohtisuorassa kallellaan olevaa tasoa vastaan) ja painovoiman G samaista tasopintaa vastaan olevan komponentin summan olevan nolla. Näin painovoiman tason suuntainen komponentti antaisi kappaleelle kiihtyvyyden Newtonin II lain mukaan (F=ma), mistä ratkeasi siis myös nopeus (v=at)... paitsi ei ratkeakaan!

Mikäs siis nyt neuvoksi?

Sivut

Kommentit (21)

Zäp
Seuraa 
Viestejä2299
Liittynyt19.10.2009
Clarvin

Huviksi ja harjoitukseksi päätin tutkia miten v:n saisi selville em. peruslakien avulla. Piirustelin siis asianmukaiset kaaviot ja totesin tukivoiman N (joka on kohtisuorassa kallellaan olevaa tasoa vastaan) ja painovoiman G samaista tasopintaa vastaan olevan komponentin summan olevan nolla. Näin painovoiman tason suuntainen komponentti antaisi kappaleelle kiihtyvyyden Newtonin II lain mukaan (F=ma), mistä ratkeasi siis myös nopeus (v=at)... paitsi ei ratkeakaan!



Otitko huomioon sen että painovoima paitsi kiihdyttää kappaleen massakeskipistettä, myös antaa sille kulmakiihtyvyyttä? (tarkemmin sanottuna kulmakiihtyvyys tulee tukipinnan suuntaisesta kitkavoimasta) Eli kaltevan tason suunnassa vapaakappalekuvaan tulee yksi voimavektori lisää pyörän kehälle.

Vierailija

Vierimisessä on kolme yhtälöä, ja nyt ajatellaan pyörän keskiötä:

ma=(sin(27)*mg)+(Fu), Newtonin II, jossa Fu on kitkavoima, jonka suunta on liikkeen suunta

I*alfa=-Fu*r, jossa alfa on pyörän kulmakiihtyvyys

a=alfa*r

Noista saadaan: ma=(sin(27)*mg)-(I*a/r^2)=>a(m+(I/r^2))=sin(27)*mg, eli

a=r^2*sin(27)*mg/ ((mr^2)+I)= K

dv/dt=K=>dv=Kdt

v=K*t+C, v(0)=0=>C=0

s=K*t^2/2+D, s(0)=0=>D=0

s=K*t^2/2=r^2*sin(27)*mg/((mr^2)+I)*(t^2/2)

s(0,87)=1,2=> mr^2+I=0,04108=>I=0,01183

v=r^2*sin(27)*mg/((mr^2)+I)*t

v=3,171109*t

v(0,87)=2,758

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
Clarvin

Pyörän hitausmomentin määrittämiseksi se pantiin levosta vierimään pitkin kaltavaa tasopintaa, jonka kaltevuuskulma vaakatasoon nähden on 27 astetta. Tällöin pyörä vieri 1,2 m matkan 0,87 sekunnissa. Pyörän massa on 1,3 kg ja säde 0,15 m. Kuinka suuri on pyörän hitausmomentti?

Ihan vertailun vuoksi, kuinka vanha konepuolen mies se laskisi.

I=x*(m*r^2)

s=1/2*t^2*a
a=2*s/(t^2)
a=2.4/(t^2)

a=f/(m*(1+x))
a=g*sin27/(1+x)

9.81*sin(27)/(1+x)=2.4/.87^2
x=0.404569

I=0.404569*1.3*0.15^2 (kgm^2)
0.01183 kgm^2

Vierailija
Clarvin
Mikäs siis nyt neuvoksi?
Tarvitset lisäksi juuri kysyttyä hitausmomenttia, siksi et voi noilla voimakomponenteilla nopeutta ratkaista. Varmaan selvisi jo aiemmasta viestistä. Tuossa on käytettävä juuri tasaista kiihtyvyyttä ja keskinopeutta. Tai sitten tuo Jorman esittämä ratkaisu.

Vierailija
mölkhö
Vierimisessä on kolme yhtälöä, ja nyt ajatellaan pyörän keskiötä:

ma=(sin(27)*mg)+(Fu), Newtonin II, jossa Fu on kitkavoima, jonka suunta on liikkeen suunta

I*alfa=-Fu*r, jossa alfa on pyörän kulmakiihtyvyys

a=alfa*r

Noista saadaan: ma=(sin(27)*mg)-(I*a/r^2)=>a(m+(I/r^2))=sin(27)*mg, eli

a=r^2*sin(27)*mg/ ((mr^2)+I)= K

dv/dt=K=>dv=Kdt

v=K*t+C, v(0)=0=>C=0

s=K*t^2/2+D, s(0)=0=>D=0

s=K*t^2/2=r^2*sin(27)*mg/((mr^2)+I)*(t^2/2)

s(0,87)=1,2=> mr^2+I=0,04108=>I=0,01183

v=r^2*sin(27)*mg/((mr^2)+I)*t

v=3,171109*t

v(0,87)=2,758




Lasketaan tämä nyt loppuun asti, varsinkin kun kitkavoiman suunta on vielä hakusessa.

Fu=-I*a/r^2=-0,01183*3,171109/0,15^2=-1,667, suunta on siis tietysti liikkeen vastainen. (Kitkavoima ei siis suinkaan ole u*N, niinkuin voisi luulla)

Jotta pyörä yleensä lähtee vierimään, eikä liukumaan, niin vaadittava kitkakerroin u saadaan ehdosta: u*N > Fu, eli u*mg*cos(17) > 1,667=> u > 0,1366

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1557
Liittynyt12.4.2005

Kokeilin hieman toisenlaista lähestymistapaa. Merkitään pyörän alaspäin vierimää matkaa x:llä ja pyörän kiertokulmaa φ:llä. Pyörän massa on m, sen hitausmomentti J ja säde r, maan vetovoiman kiihtyvyys g ja tason kaltevuuskulma α.

Nyt pyörän potentiaalienergia U = -m⋅g⋅x⋅sinα ja liike-energia T = ½⋅m⋅(∂x/∂t)² + ½⋅J⋅(∂φ/∂t)².

Kun x:n ja φ:n välillä on yhteys x = φ⋅r, em. lausekkeet saadaan muotoon U = -m⋅g⋅φ⋅r⋅sinα ja T = ½⋅m⋅r²⋅(∂φ/∂t)² + ½⋅J⋅(∂φ/∂t)². Näistä voidaan pyörän liikkeelle esimerkiksi Lagrangen periaatteella johtaa differentiaaliyhtälö

(J + m⋅r²)⋅(∂²φ/∂t²) = m⋅g⋅φ⋅r⋅sinα,

jonka ratkaisuksi saadaan alkuehdoilla φ(0)=0 ja ∂φ(0)/∂t = 0

φ(t) = ½⋅m⋅g⋅r⋅sinα⋅t²/(J + m⋅r²).

Kun nyt tiedetään, että ajassa τ pyörä on kierinyt matkan s, niin saadaan yhtälö J:n määrittämiseksi

½⋅m⋅g⋅r⋅sinα⋅τ²/(J + m⋅r²) = s/r.

Näin ratkaisten ei pyörän nopeuden muutoksista tarvitse olettaa yhtään mitään. Tietysti tuo tehty oletus oli aivan oikein.

Vanha jäärä

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Clarvin
Anteeksi että vaivainen abiturientinkuvatus tarjoaa pähkäiltäväksenne periaatteessa melko yksinkertaisen fysiikantehtävän, joka ei luultavasti teille tarjoa kovin ihmeellistä haastetta mutta on jo kuitenkin onnistunut hajottamaan aivoparkani.

Asiaan.

Kyseessä on Fysiikan YO-tehtävä nro 6 vuodelta 2009, ja se on seuraavan näköinen:


Pyörän hitausmomentin määrittämiseksi se pantiin levosta vierimään pitkin kaltavaa tasopintaa, jonka kaltevuuskulma vaakatasoon nähden on 27 astetta. Tällöin pyörä vieri 1,2 m matkan 0,87 sekunnissa. Pyörän massa on 1,3 kg ja säde 0,15 m. Kuinka suuri on pyörän hitausmomentti?



Pyörä tietenkin vierii täydellisesti liukumatta, liikekitkaa ei ole ja muita vastusvoimia ei oteta huomioon, kuten lukiofysiikassa on tapana. Näin ollen mekaaninen energia säilyy, ts.

E_p = E_k + E_r

(E_p potentiaalienergia levossa, E_k liike-energia ja E_r rotaatioenergia)

mgh = ½mv² + ½Jw²

(w merkkaa omegaa)

ja koska vierivälle kappaleelle pätee v=wr eli w=v/r

mgh = ½mv² + ½J(v/r)²

josta hitausmomentti J on helppo pyöritellä esiin:

J = (mgh - ½mv²) / (½(v/r)²)

Tähän asti kaikki selvää. Ongelmaksi on muodostunut loppunopeuden v ratkaisu, ja nimenomaisesti dynamiikan ja pyörimisen peruslakien avulla. Fysiikaan perehtyneet viisaat ja syvämietteiset herrat jotka ovat "Ylioppilastehtävät" -opukseni raapustelleet, nimittäin tarjoavat vain seuraavantapaisen ratkaisun:

Pyörän liike on tasaisesti kiihtyvää, joten keskinopeus v_k = (v_0+v)/2
koska v_0 = 0, v_k= v/2
v_k = s/t
ja siten v=2s/t

joka on sitten sijoitettu hitausmomentille saatuun kaavaan.

Huviksi ja harjoitukseksi päätin tutkia miten v:n saisi selville em. peruslakien avulla. Piirustelin siis asianmukaiset kaaviot ja totesin tukivoiman N (joka on kohtisuorassa kallellaan olevaa tasoa vastaan) ja painovoiman G samaista tasopintaa vastaan olevan komponentin summan olevan nolla. Näin painovoiman tason suuntainen komponentti antaisi kappaleelle kiihtyvyyden Newtonin II lain mukaan (F=ma), mistä ratkeasi siis myös nopeus (v=at)... paitsi ei ratkeakaan!

Mikäs siis nyt neuvoksi?




Pyörän kulmakiihtyvyys voidaan olettaa vakioksi,olkoon se c. Olkoon u(t)kiertymiskulma ajassa t.Siis u´´ (t) = c, u´(t) = ct ja u(t) = (1/2)ct^2.

Pyörä liikkuu ajassa t matkan l(t) = u(t) r eli u(t) = l(t) / r.

c= 2u(t) / t^2 = (2l(t)) / (rt^2) ja u´(t) = ct = (2l(t)) / (rt).

Etsimäsi nopeus v(t) = ru´(t) = (2l(t)) / t = 2,4 / 0,87 m/s = 2,7586 m/s.

Ohman

Vierailija

Aivan turhaa noita derivaattoja pyöritellä kun kysymyksen asettaja jo antoi oikean ratkaisun loppunopeudelle. Kun tiedetään, että liike on tasaisesti kiihtyvää ja annettujen lähtöarvojen perusteella saadaan suoraan keskinopeus vk on loppunopeus v = 2·vk.

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1557
Liittynyt12.4.2005
Vanha jäärä

(J + m⋅r²)⋅(∂²φ/∂t²) = m⋅g⋅φ⋅r⋅sinα,

Kukaan ei näköjään ole katsellut tarkkaan esittämiäni tuloksia, sillä tuossa on selvä virhe. Yhtälön pitää tietysti olla

(J + m⋅r²)⋅(∂²φ/∂t²) = m⋅g⋅r⋅sinα.

Nyt siitä saa jäljempänä olevan polynomimuotoisen ratkaisun.

Yritän vastaisuudessa olla tarkempi.

Vanha jäärä

Vierailija
Vanha jäärä
½⋅m⋅g⋅r⋅sinα⋅τ²/(J + m⋅r²) = s/r.
Näin ratkaisten ei pyörän nopeuden muutoksista tarvitse olettaa yhtään mitään. Tietysti tuo tehty oletus oli aivan oikein.
Ratkaisu on hieno mutta kun tiedetään, että kiihdyttävä voima on vakio on myös kiihtyvyys vakio. Siis ei tarvitse olettaa vaan tiedetään.

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1557
Liittynyt12.4.2005
korant
Ratkaisu on hieno mutta kun tiedetään, että kiihdyttävä voima on vakio on myös kiihtyvyys vakio. Siis ei tarvitse olettaa vaan tiedetään.

Ei se ole hieno, vaan systemaattinen. Aikoinani kyllästyin voimien sekä niiden suuntien miettimiseen ja siirryin kokonaan energiayhtälöiden käyttöön. Nyt tiedän, että kun kirjoitan energiayhtälöt ja kohdistan niihin vakiotemput, niin saan liikettä kuvaavat differentiaaliyhtälöt. Kun ratkaisen ne annetuilla reunaehdoilla, tuloksena ovat systeemin liikeyhtälöt.

Saattaa tietysti olla, että jos fiksu kaveri tekee kaiken oikein, niin hän saa voimayhtälöt vähemmin toimenpitein. Mutta minun ei tarvitse ajatella yhtälöitä johtaessani mitään. Itse asiassa symbolimatematiikkaohjelmiston makro tekee kaiken, kun kirjoitan ensin energiayhtälöt.

Vanha jäärä

Vierailija

Energiaperiaatteella minäkin tuon ratkaisisin. Differentiaaliyhtälössähän olet juuri merkinnyt kulmakiihtyvyyden vakioksi ja se voidaan ratkaista yksinkertaisesti annettujen reunaehtojen avulla. Sen jälkeen voi suoraan ratkaista hitausmomentin ilman diff-yhtälön ratkaisua.

Vierailija

Kysyjälle ja muillekin abeille neuvoksi, että jos haluatte opetella ratkaisemaan vierimistehtäviä, niin opetelkaa ratkaisu nimenomaan voimien kautta, siis Newton II sekä pyörivälle, että etenevälle liikkeelle. Näissä tehtävissä kysytään nimittäin joskus myös sitä tarvittavaa kitkakerrointa, että vieriminen yleensä alkaa, ja sitä en energiaperiaatteella ainakaan heti löydä. Noiden voimayhtälöiden avulla se sensijaan löytyy kivuttomasti kunhan ensin ratkaisee kitkavoiman.
Tuossa kemia-fysiikka-ja-matematiikka-f3/apua-lukiofysiikan-laskuun-t30528.html on eräs vanhakin tehtävä, jossa myös näitä voimayhtälöitä olen vääntänyt. (Senkin ratkaisussa olen ensin olettanut kitkavoiman liikkeen (väärään) suuntaan, jos sitä nyt joku yrittää pähkäillä.)

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1557
Liittynyt12.4.2005
mölkhö
Kysyjälle ja muillekin abeille neuvoksi, että jos haluatte opetella ratkaisemaan vierimistehtäviä, niin opetelkaa ratkaisu nimenomaan voimien kautta, siis Newton II sekä pyörivälle, että etenevälle liikkeelle. Näissä tehtävissä kysytään nimittäin joskus myös sitä tarvittavaa kitkakerrointa, että vieriminen yleensä alkaa, ja sitä en energiaperiaatteella ainakaan heti löydä. Noiden voimayhtälöiden avulla se sensijaan löytyy kivuttomasti kunhan ensin ratkaisee kitkavoiman,

Tuo on kyllä totta. Hamiltonin periaatteen mukaisesti nuokin menisivät energiayhtälöillä, mutta silloin ollaan jo melko kaukana lukiofysiikasta, enkä itsekään ole tätä aluetta niin kovin tarkkaan koskaan kolunnut. Yllättävää kyllä, olen kaikkein eniten laskeskellut kitkattomia (?) systeemejä painottomuudessa. Tosin tähän ikään mennessä on jo ehtinyt unohtamaan hyvin suuren osan laskemistaan systeemeistä.

Vanha jäärä

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat