Täysin rationaalinen kolmio hukassa

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Hei.

Onkohan euklidisessa tasogeometriassa olemassa sellaista kolmiota, jonka kaikki sivut ja kulmien asteluvut ovat rationaalisia? Entä miten tällainen konstruoitaisiin? Googlailin asiaa tietenkin jo, mutta opin vain sen, että on kyllä olemassa sellaisia rationaalissivuisia kolmioita, joissa yhden kulman asteluku on rationaalinen.

Kommentit (15)

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
Samuli
Hei.

Onkohan euklidisessa tasogeometriassa olemassa sellaista kolmiota, jonka kaikki sivut ja kulmien asteluvut ovat rationaalisia? Entä miten tällainen konstruoitaisiin? Googlailin asiaa tietenkin jo, mutta opin vain sen, että on kyllä olemassa sellaisia rationaalissivuisia kolmioita, joissa yhden kulman asteluku on rationaalinen.


Tasasivuinen kolmio?

Vierailija
Jorma
Tasasivuinen kolmio?



No niin, sieltähän se tuli. Kiitos. Enpä tosiaan tullut ajatelleeksi tasasivuista kolmiota. Onkohan niitä sitten muita?

Vierailija
Samuli
Jorma
Tasasivuinen kolmio?



No niin, sieltähän se tuli. Kiitos. Enpä tosiaan tullut ajatelleeksi tasasivuista kolmiota. Onkohan niitä sitten muita?


visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
Samuli
Jorma
Tasasivuinen kolmio?



No niin, sieltähän se tuli. Kiitos. Enpä tosiaan tullut ajatelleeksi tasasivuista kolmiota. Onkohan niitä sitten muita?

Voipa olla, ettei ole. Kysymyksesi oli näppärä, mutta pikkuisen tökkii tämä aste, joka on mielivaltaisesti valittu yksikkö - päinvastoin kuin radiaani -, eikä siis matematiikan kannalta kovin mielenkiintoinen. Tietenkään kysymystä ei olisi voitu radiaanikulmille esittää a+b+c = PI, merkitsisi vähintään yhden tekijän irrationaalisuutta.

Vierailija

Ehdot:

x, y, z, arctan(x/y), arctan(z/x), arctan(y/z) on rationaalinen.
x, y, z, arctan(x/y), arctan(z/x), arctan(y/z) > 0
arctan(x/y) + arctan(z/x) + arctan(y/z) = 180 astetta.

Tätä yhtälöryhmää voi sitten ratkoa numeerisesti tai käsin.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005

Ainoastaan tasasivuinen kolmio sopivilla sivunpituudella toteuttaa ehdot. Jotta kolmion kulma x olisi rationaalinen, olisi kosinilauseen nojalla cos x rationaalinen. Toisaalta paperin http://www.yaroslavvb.com/papers/olmsted-rational.pdf mukaan x on 0, 60 tai 90 astetta. Siten kulmille saadaan epäyhtälö-yhtälöryhmä

0
x+y+z=180,
x,y,z kuuluu joukkoon {0,60 astetta, 90 astetta}

Tämän ainoa ratkaisu on x=y=z=60 astetta.

Vierailija
Puuhikki
Ainoastaan tasasivuinen kolmio sopivilla sivunpituudella toteuttaa ehdot.



Kiitos, nythän tuo selvisi. Kysymys tuli mieleen geometrian koetta laatiessa, kun yritin keksiä tehtävään mahdollisimman mukavaa kolmiota.

Vierailija
Samuli
Puuhikki
Ainoastaan tasasivuinen kolmio sopivilla sivunpituudella toteuttaa ehdot.



Kiitos, nythän tuo selvisi. Kysymys tuli mieleen geometrian koetta laatiessa, kun yritin keksiä tehtävään mahdollisimman mukavaa kolmiota.



Miten, et muka keksinyt tasasivuista kolmiota? Se oli ensimmäinen asia mikä minulle tuli mieleen aloitusviestistäsi, vaikka en oikein tajunnut mitä ajat takaa. Et varmaankaan mähnyt metsää puilta?

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
kabus

Miten, et muka keksinyt tasasivuista kolmiota? Se oli ensimmäinen asia mikä minulle tuli mieleen aloitusviestistäsi, vaikka en oikein tajunnut mitä ajat takaa. Et varmaankaan mähnyt metsää puilta?

Tasasivuinen kolmio ei varmaankaan sopinut muuten tarkoitukseen, ja sen takia jäi huomiotta.

Vierailija
kabus
Miten, et muka keksinyt tasasivuista kolmiota?



Alkujaan halusin kokeeseen sellaisen tehtävän, jossa tunnetaan vinokulmaisesta kolmiosta kaksi kulmaa ja sivu. Sinilauseella tms. olisi sitten pitänyt ratkaista loput sivut. Arvelin, että olisi hauskaa keksiä sellainen kolmio, jossa jokainen osa olisi rationaalinen -- tehtävä olisi sillä tavalla elegantein mahdollinen. Tietenkään en olisi kelpuuttanut tasasivuista tai -kylkistä kolmiota enkä mitään suorakulmaista kolmiota, sillä tehtävästä olisi tullut silloin liian helppo.

Täällä yritin esittää kysymyksen mahdollisimman ytimekkäästi sen taustoista kummemmin jaarittelematta. Siinä se tasasivuinen kolmio varmaankin unohtui.

Koetehtävässä päädyin sitten johonkin epäeleganttiin tylppäkulmaiseen kolmioon.

Jorma
Seuraa 
Viestejä2350
Liittynyt27.12.2008
visti

Voipa olla, ettei ole. Kysymyksesi oli näppärä, mutta pikkuisen tökkii tämä aste, joka on mielivaltaisesti valittu yksikkö - päinvastoin kuin radiaani -, eikä siis matematiikan kannalta kovin mielenkiintoinen. Tietenkään kysymystä ei olisi voitu radiaanikulmille esittää a+b+c = PI, merkitsisi vähintään yhden tekijän irrationaalisuutta.

Itse kysymykseen liittyen ei lisättävää. Mutta tämä näennäisen korrekti väite, että radiaani olisi jotenkin luonnollisempi yksikkö kuin aste. Sehän ei pidä mielestäni paikkaansa. Radiaani perustuu siihen että otetaan yppyränkehältä ympyrän säteen mittainen pala ja valitaan se yksiköksi. Asteen kohdalla taas valitaan koko ympyrän kehä ja pilkotaan se sopiviksi osiksi. Onko nyt säde luonnollisempi lähtökohta kuin kehä? Joskus on radiaani kätevämpi käyttää joskus taas aste.

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
Jorma
visti

Voipa olla, ettei ole. Kysymyksesi oli näppärä, mutta pikkuisen tökkii tämä aste, joka on mielivaltaisesti valittu yksikkö - päinvastoin kuin radiaani -, eikä siis matematiikan kannalta kovin mielenkiintoinen. Tietenkään kysymystä ei olisi voitu radiaanikulmille esittää a+b+c = PI, merkitsisi vähintään yhden tekijän irrationaalisuutta.

Itse kysymykseen liittyen ei lisättävää. Mutta tämä näennäisen korrekti väite, että radiaani olisi jotenkin luonnollisempi yksikkö kuin aste. Sehän ei pidä mielestäni paikkaansa. Radiaani perustuu siihen että otetaan yppyränkehältä ympyrän säteen mittainen pala ja valitaan se yksiköksi. Asteen kohdalla taas valitaan koko ympyrän kehä ja pilkotaan se sopiviksi osiksi. Onko nyt säde luonnollisempi lähtökohta kuin kehä? Joskus on radiaani kätevämpi käyttää joskus taas aste.



Aste voi olla mukava, mutta matematiikka tuottaa radiaanin. Esimerkiksi sinin sarjakehitelmä tarvitsisi ylimääräisen kertoimen, jota korotettaisiin eri potensseihin koko ajan. Eipä taitaisi sinin derivaattakaan olla pelkkä cosini, jos yksikkö muu kuin radiaani.

Uusimmat

Suosituimmat