Planckin vakio = 0 ?

Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005

Missäs kohtaa tämä todistus mättää, ja miksi?

Väite: Planckin vakio = 0.

Todistus:

Olkoon Q paikkaoperaattori ja P liikemääräoperaattori. Näiden kanoninen kommutaatiorelaatio on

[Q,P] = i * h-viiva.

(i = imaginaariyksikkö, h-viiva = h/2pii, h = planckin vakio)

Lasketaan tämän kummankin puolen odotusarvo Q:n ominaistilassa |x> (ks. määritelmä esim. osoitteesta http://www.physics.sfsu.edu/~greensit/book.pdf ):

= = (i * h-viiva)

= (i * h-viiva)

- = (i * h-viiva) (koska sisätulo on lineaarinen toisen argumentin suhteen)

x( - ) = (i * h-viiva) (koska Q on itseadjungoitu, ja |x> sen ominaistila)

x * 0 = (i * h-viiva)

0 = i * h-viiva (koska =/= 0)

h = 0. M.O.T.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Kommentit (11)

Vierailija

Hei,
virhe tulee siinä, että sinulla on oletus =1 kun se pitäisi olla ääretön ainakin tietyssä mielessä. Tarkemmin sanoen paikan ominaistilat on normitettu Diracin deltafunktion/distribuution avulla, jolloin kahdelle paikan ominaistilalle pätee
=d(X-Y), missä d yrittää olla Diracin deltafunktio/distribuutio.

Tässä muunnelma todistuksestasi, jossa mulla on käytössä pelkkä h ja oletetaan että | x > ja | y > ovat operaattorin Q ominaistiloja. Muokataan lauseketta i h :

i h< y |x>=< y |(QP-PQ)| x > = < y |QP| x > - < y |PQ| x >
= y< y | P | x > - x< y |P| x >
=(y-x) < y | P| x > ( 1 )

Tähän viimeiseen yhtälöön täytyisi nyt käyttää liikemääräoperaattorin x-koordinaattiesitystä jonka matriisielementti on:

=-ihD(d(y-x))

, missä D on derivaattaoperaattori x:n suhteen ja d on Diracin delta. Kun tämän lausekkeen sijoittaa kaavaan (1 ) , saadaan:

i h = - i h (y - x ) D ( d( y-x ))

Tämän sievennyksessä tarttee Diracin deltan derivaatan perusominaisuutta x d'(x) = - d(x), jolloin saadaan:

i h < y| x > = ih d( y -x )

Tämä kaava siis sanoo että < y, x > = d(y,x ), kuten pitikin.

Muoks: korjattu P:n matriisielementin lauseketta ja eräs x-y korjattu muotoon y-x.

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005

Kiitoksia vastauksesta, S.I.
(I didn't expect the Spanish Inquisitor!)

Spanish Inquisitor
Hei,
virhe tulee siinä, että sinulla on oletus =1 kun se pitäisi olla ääretön ainakin tietyssä mielessä.



Viittaat tuolla varmaan "todistukseni" kohtaan

hmk
x * 0 = (i * h-viiva)

0 = i * h-viiva (koska =/= 0)




En itse asiassa olettanut tuossa, että = 1, vaan ainoastaan, että se on nollasta poikkeava. Jos 0 = jotain*ääretön, niin ei kai "jotain" voi olla muuta kuin nolla?

Vertaamalla omaani tuohon sinun tyylikkääseen esitykseesi en päässyt oikein selvyyteen siitä, mikä vaihe "todistuksessani" on virheellinen. Se, että otit käyttöön aputilan |y> (jolle voi sitten lopuksi tehdä rajankäynnin y --> x), näyttäisi johtavan järkevään lopputulokseen, mutta pelkän x:n kanssa pyörittely vie suohon? Noh, pähkäilen tuota vielä lisää. Kiitos vielä vastauksesta.

Edit: Virhe taitaa olla siinä, kun jaan kommutaattorin odotusarvon kahdeksi termiksi. Haiskahtaa pahasti "ääretön miinus ääretön"-tilanteelta.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
hmk
Missäs kohtaa tämä todistus mättää, ja miksi?

Väite: Planckin vakio = 0.

Todistus:

Olkoon Q paikkaoperaattori ja P liikemääräoperaattori. Näiden kanoninen kommutaatiorelaatio on

[Q,P] = i * h-viiva.

(i = imaginaariyksikkö, h-viiva = h/2pii, h = planckin vakio)

Lasketaan tämän kummankin puolen odotusarvo Q:n ominaistilassa |x> (ks. määritelmä esim. osoitteesta http://www.physics.sfsu.edu/~greensit/book.pdf ):

= = (i * h-viiva)

= (i * h-viiva)

- = (i * h-viiva) (koska sisätulo on lineaarinen toisen argumentin suhteen)

x( - ) = (i * h-viiva) (koska Q on itseadjungoitu, ja |x> sen ominaistila)

x * 0 = (i * h-viiva)

0 = i * h-viiva (koska =/= 0)

h = 0. M.O.T.




Minulle näkyy olevan helpompi käyttää vähän eri merkintätapaa: vektorien x ja y sisätulo on (x,y).

(x,QPx) = (Qx,Px) (Q itseadjungoitu) (itseadjumoitu?)

(x,PQx) = (Px,Qx) (P itseadjungoitu)

(Px,Qx) = (Qx,Px)*, missä * merkitsee kompleksiluvun konjugaatin ottamista.

(x,QPx) - (x,PQx) = (Qx,Px) - (Qx,Px)* = i h-viiva.Viimeisen yhtälön vasemman puolen arvo on siis puhtaasti imaginaarinen joten (Qx,Px) ei voi olla reaalinen eli vasenkin puoli on nollasta eroava.

Taisi tulla kehäpäätelmä:jos h-viiva =/= 0 niin h-viiva =/= 0.

Mutta voiko (Qx,Px) olla reaalinen?

Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Ohman
hmk
Missäs kohtaa tämä todistus mättää, ja miksi?

Väite: Planckin vakio = 0.

Todistus:

Olkoon Q paikkaoperaattori ja P liikemääräoperaattori. Näiden kanoninen kommutaatiorelaatio on

[Q,P] = i * h-viiva.

(i = imaginaariyksikkö, h-viiva = h/2pii, h = planckin vakio)

Lasketaan tämän kummankin puolen odotusarvo Q:n ominaistilassa |x> (ks. määritelmä esim. osoitteesta http://www.physics.sfsu.edu/~greensit/book.pdf ):

= = (i * h-viiva)

= (i * h-viiva)

- = (i * h-viiva) (koska sisätulo on lineaarinen toisen argumentin suhteen)

x( - ) = (i * h-viiva) (koska Q on itseadjungoitu, ja |x> sen ominaistila)

x * 0 = (i * h-viiva)

0 = i * h-viiva (koska =/= 0)

h = 0. M.O.T.




Minulle näkyy olevan helpompi käyttää vähän eri merkintätapaa: vektorien x ja y sisätulo on (x,y).

(x,QPx) = (Qx,Px) (Q itseadjungoitu) (itseadjumoitu?)

(x,PQx) = (Px,Qx) (P itseadjungoitu)

(Px,Qx) = (Qx,Px)*, missä * merkitsee kompleksiluvun konjugaatin ottamista.

(x,QPx) - (x,PQx) = (Qx,Px) - (Qx,Px)* = i h-viiva.Viimeisen yhtälön vasemman puolen arvo on siis puhtaasti imaginaarinen joten (Qx,Px) ei voi olla reaalinen eli vasenkin puoli on nollasta eroava.

Taisi tulla kehäpäätelmä:jos h-viiva =/= 0 niin h-viiva =/= 0.

Mutta voiko (Qx,Px) olla reaalinen?

Ohman




En nyt tiedä,ymmärränkö hmk:n bra,ket-merkintöjä oikein. Tarkoittaako se,että lx> on Q:n ominaisvektori sitä, että Qlx> = xlx> eili sama x tarkoittaa ominaisarvoa ja on myös tuon braketin sisällä.. Jos,niin kirjoittaisin mieluummin
Qx = a x, missä a on ominaisarvo.(Jos ominaisarvo olisi degeneroitunut,samaa ominaisarvoa vastaisi useampi ominaisvektori ja tuo xlx> - merkitä olisi vähän epäselvä.)
Lähdetään nyt (tällä minun merkintätavallani) kaavasta

(1) (x,QPx) - (x,PQx) = i h-viiva (x,x)

Koska Q on itseadjungoitu, on (x,QPx) = (Qx,Px) = a* (x,PX) missä * siis merkitsee kompleksiluvun konjugaatin ottamista.Kaavasta (1) tulee nyt

(2) a* (x,Px) - a (x,Px) = i h-viiva (x,x)

Mutta itseadjungoidun operaattorin ominaisarvot ovat reaalisia ja siis

a* = a ja siis todellakin täytyy olla h-viiva = 0, kuten hmk jo todisti!

Yllä oleva on tietenkin ihan sama juttu kuin minkä hmk jo kirjoitti, merkintätapa vain on toinen.hmk on tehnyt ovelan todistuksen. Enpä nyt heti huomaa,mikä siinä on vialla.

Ohman

Vastaus löytynee esim. teoksesta Chris J. Isham : Lectures on Quantum Theory, ss.118-119.
Isham lähtee kommutaatiorelaatiosta AB - BA = ih ja todistaa samaan tapaan kuin hmk että AB - BA = 0. Hän lisää,että siis ih = 0 ja olettaa, että h ei ole nolla jolloin saadaan ih:lla jakamalla huomattava tulos

0 = 1.

Selitys tähän "apparenttiin paradoksiin" on se, että esim. operaattoreiden Q ja P ominaisarvospektrit ovat jatkuvia jolloin "generalised eigenvectors are not normalisable and then the scalar products have no meaning. This is a salutary example of how careful one needs to be when handling operators whose spectra are continuous!" Nuo skalaaritulot, joihin Isham viitta ovat juuri ne, mitä tuossa hmk-todistuksessa käytettiin.

Ohman

Vierailija
hmk
(I didn't expect the Spanish Inquisitor!
Nobody expects the Spanish Inquisition!
hmk
Edit: Virhe taitaa olla siinä, kun jaan kommutaattorin odotusarvon kahdeksi termiksi. Haiskahtaa pahasti "ääretön miinus ääretön"-tilanteelta.

Juuri näin, tässä on ongelman ydin.

Ohman
Vastaus löytynee esim. teoksesta Chris J. Isham : Lectures on Quantum Theory, ss.118-119.
Isham lähtee kommutaatiorelaatiosta AB - BA = ih ja todistaa samaan tapaan kuin hmk että AB - BA = 0. Hän lisää,että siis ih = 0 ja olettaa, että h ei ole nolla jolloin saadaan ih:lla jakamalla huomattava tulos 0 = 1.




Ohman
a* = a ja siis todellakin täytyy olla h-viiva = 0, kuten hmk jo todisti!
Yllä oleva on tietenkin ihan sama juttu kuin minkä hmk jo kirjoitti, merkintätapa vain on toinen.hmk on tehnyt ovelan todistuksen. Enpä nyt heti huomaa,mikä siinä on vialla.

Ei siinä vikaa olekkaan, jos ollaan äärellisulotteisessa avaruudessa. Ongelmia syntyy silloin kun ollaan ääretönulotteisessa avaruudessa, koska esimerkiksi yhtälösi

a* (x,Px) - a (x,Px)

ei ole määritelty, koska (x,Px) ei ole äärellinen luku. Syynä siihen on se miten operaattori P on kvanttimekaniikassa määritelty. (Itseasiassa tulos on voimassa ilman yhteyttä kvanttimekaniikkaan)

Kun käsitelläään yhtälöä QP-PQ=ih matriisialgebran menetelmin,ikäänkuin Q ja P ovat nxn-matriiseja saadaan todellakin tulos i h = < x| [Q,P] | x >=x< x |P| x >-x< x |P| x > = 0, koska suure on matriisien tapauksessa äärellinen reaaliluku, saadaan virheelliseltä näyttävä tulos h=0. Tulos ei ole virheellinen matriisien tapauksessa, sillä on voimassa tulos, että ei ole olemassa hermiittisiä nxn-matriiseja Q ja P, joille pätisi QP-PQ=cI, missä c on vakio ja I identtinen kuvaus, todistus on juurikin hmk&Ohmanin esittämä todistus.

Tällä tuloksella on ääretönulotteisia avaruuksia koskeva vastine, joka sanoo että ei ole olemassa rajoitettuja / jatkuvia operaattoreita P ja Q, joille QP-PQ=cI, eli jos QP-PQ=cI, niin tällöin jomman kumman operaattorin spektri ei ole rajoitettu, joka likimääräisesti tarkoittaa sitä, että ainakin toiselle operaattorille löytyy itseisarvoltaan mielivaltaisen isoja ominaisarvoja.

Ohman
Selitys tähän "apparenttiin paradoksiin" on se, että esim. operaattoreiden Q ja P ominaisarvospektrit ovat jatkuvia jolloin "generalised eigenvectors are not normalisable and then the scalar products have no meaning. This is a salutary example of how careful one needs to be when handling operators whose spectra are continuous!" Nuo skalaaritulot, joihin Isham viitta ovat juuri ne, mitä tuossa hmk-todistuksessa käytettiin.

Joo näin on, sen takia mun aikaisemmassa viestissä esittämäni laskelma käytti d-funktioita. Todellakin kvanttimekaniikka käyttää tälläistä "yleistettyä normituista", jossa < x |y >=d(x-y), joka on ihan kvanttimekaniikan standardimenetelmiä. Metodi on toimiva, mutta tietysti voi vaikuttaa hieman "epämääräiseltä" ainakin matemaatikon näkökulmasta.

Jos haluaa määritellä matemaattisen pitävästi operaattorit P ja Q sekä avaruuden, missä ne operoivat, alkaa todellinen urakka. Ääretöulotteiset avaruudet ovat ominaisuuksiltaan usein hyvinkin monimutkaisia, vaikka näennäisesti siirtyminen n-ulotteisesta ääretönulotteiseen vaikuttaa ongelmattomalta. Operaattoriteoriassa tulee paljon vastaan tilanteita, jotka matriisien tapauksessa ovat "helppoja",mutta ääretönulotteisessa äärimmäisen hankalia käsitellä.

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005

Paljon kiitoksia vastauksista, Spanish Inquisitor ja Ohman! Tämä asia tuli tällä selväksi. Noiden Diracin merkintöjen kanssa pitää näköjään olla todella tarkkana; vaikka merkinnät ovat samat kuin rajoitettujen operaattorien ja diskreettien ominaisvektorien/-arvojen tapauksessa, niin niillä ei saakaan laskea ihan yhtä huolettomasti (ne eivät välttämättä ole tyypillisen sisätuloavaruuden / Hilbertin avaruuden alkioita).

Ohman: Käytin merkintää |x> paikan "ominaisvektorille", koska se tuntuu olevan käytössä monissa kvanttifysiikan kirjoissa. Tuota kutsutaan Diracin merkintätavaksi: operaattorin A ominaisarvoon a liittyvää vektoria merkitään symbolilla |a>. Kuten huomautit, merkintä on ongelmallinen degeneroituneen ominaisarvon tapauksessa. Kyseessä lienee jälleen yksi fyysikkojen tapa, jolle matemaatikot kurtistavat kulmiaan.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Vierailija
hmk
Missäs kohtaa tämä todistus mättää, ja miksi?

Väite: Planckin vakio = 0.

Todistus:

Olkoon Q paikkaoperaattori ja P liikemääräoperaattori. Näiden kanoninen kommutaatiorelaatio on

[Q,P] = i * h-viiva.

(i = imaginaariyksikkö, h-viiva = h/2pii, h = planckin vakio)

Lasketaan tämän kummankin puolen odotusarvo Q:n ominaistilassa |x> (ks. määritelmä esim. osoitteesta http://www.physics.sfsu.edu/~greensit/book.pdf ):

= = (i * h-viiva)

= (i * h-viiva)

- = (i * h-viiva) (koska sisätulo on lineaarinen toisen argumentin suhteen)

x( - ) = (i * h-viiva) (koska Q on itseadjungoitu, ja |x> sen ominaistila)

x * 0 = (i * h-viiva)

0 = i * h-viiva (koska =/= 0)

h = 0. M.O.T.




Se "klassinen" pähkäily Planckin vakiosta oli esim. HARMOONISTEN VÄRÄHTELIJÖIDEN yhteydessä:

[p,x] = h'/i = px- xp

H = p^2/(2*m) + m*w^2/2*x^2 - i*w/2*(p*x - x*p)

Tässä alkuosa siis on "harmoonisesti klassinen värähtelijä" ja se loppuosa:
=> i*w/2* (p*x -x*p) EI OLE NOLLA vaan
=> -1/2*h' *w

Syy MIXI ei ole, en muista, on aikaa, kun kokeilin sitä kurssia:-)

Idea oli jotenkin se, että px - xp juuri Dirackin merkinnöillkin [p,x] = h'/i eli p*x - x* p, mutta MIKSEI se ole nolla, en valittavasti muista, voisiko joku kertoa?

Muistaankseni siinä jäi niinkuin pulssi alkamaan juuri, ja se pulssin suuruus oli juurikin tuo [p,x]...
h' on siis tässä h-viiva... Eli ei 2*piitä siinä...

Jaahas, nyt taisin muistaakin, se johtui derivaatasta, ja siitä, että tuossa derivoitiin eri muuttujan suhteen p(liikemäärä) ja x, ja sitten toisinpäin,ja ne tuottivat tuon lopputuloksen, jonka nopasti katsoneesti olsit tulkinnut NOLLAKSI, niinkuin se toisaalta onkin, esim. sini-ja kosini kehitelmissä on jatkuvasti sinissä kosini ja kosinissa sin, mutta ne ovat silloin IMAGINÄÄRISIÄ vain toisilleen...

Vierailija

Idea oli jotenkin se, että px - xp juuri Dirackin merkinnöillkin [p,x] = h'/i eli p*x - x* p, mutta MIKSEI se ole nolla, en valittavasti muista, voisiko joku kertoa?

Muistaakseni siinä jäi niinkuin KOHTISUORA pulssi alkamaan juuri, ja se pulssin suuruus oli juurikin tuo [p,x]...
h' on siis tässä h-viiva... Eli ei 2*piitä siinä...

Jaahas, nyt taisin muistaakin, se johtui derivaatasta, ja siitä, että tuossa derivoitiin eri muuttujan suhteen p(liikemäärä) ja x, ja sitten toisinpäin,ja ne tuottivat tuon lopputuloksen, jonka nopeasti katsoneesti olisi tulkinnut NOLLAKSI, niinkuin se toisaalta onkin, esim. sini-ja kosini kehitelmissä on jatkuvasti sinissä kosini ja kosinissa sin, mutta ne ovat silloin IMAGINÄÄRISIÄ vain toisilleen..

Piti ihan kaivaa Stephen Gasiorowicz-kirja esiin, katsoa MIX:

p = h' /i delta/delta x
x = i*h' * delta/delta p

Eli osittaisidiffis osuu eri temiin ja lupputulos oli [p,x] = px - xp = h'/i...
15-3 = 12... ulottuvuuksien avulla Planckista liikemääräksi...

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007
hmk

= x



Mikäs tollanen laskusääntö on?

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
Cargo
hmk

= x



Mikäs tollanen laskusääntö on?



Itseadjungoidulle operaattorille pätee:

Lisäksi itseadjungoidun operaattorin ominaisarvot ovat reaalisia.

Jos siis A = A* ja Av = av (missä ominaisarvo a on siis reaalinen), ja B on rajoitettu lineaarioperaattori, niin

= = = a.

Lainaamassasi laskusäännössä ei siis ole muuta vikaa kuin tuo jo aiemmin todettu seikka, että liikemääräoperaattori ei ole rajoitettu. Olen siis merkinnyt |x>:llä (jatkuvaan) ominaisarvoon x liittyvää (yleistettyä) ominaisvektoria.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Uusimmat

Suosituimmat