Yliopiston matikan kertausta
Kerratessani yliopiston matikkaa törmäsin ongelmiin tilavuusintegraalia laskiessani. Tehtävänä on laskea (x^2)*y tilavuusintegraali yli tilavuuden jota rajoittaa tasot x=y=z=0 ja x+y+z=1 ja itse en osaa nyt siis laittaa integraaleille oikeita rajoja. Laskin tehtävän seuraavasti eli integraali
int(0->1)dx(int(0->(1-x))dy)(int(0->(x^2)*y)dz)=1/60
tai toisella lailla merkittynä
int(0->1)(int(0->(1-x))(int(0->(x^2)*y)dz)dy)dx=1/60
Oikea tulos kirjan mukaan on 1/360. Jotenkin ei nyt oikein aukea kuinka nuo integrointirajat pitäisi määritellä kyseisessä tapauksessa.
Jos puolestaan lasken tasojen x=y=z=0 ja x+y+z=1 muodostaman tilavuuden eli
int(0->1)dx(int(0->1-x)(1-x-y)dy)=1/6
ja vähennän tästä pinnan (x^2)*y ja tason x+y+z=1 välisen tilavuuden
int(0->1)dx(int(0->1-x)dy)(int((x^2)*y->(1-y-x))dz)=3/20
pitäisi käsittääkseni saada haluttu tilavuus mutta saan kuitenkin tulokseksi taas 1/60. Eli missä kohtaa menee pieleen ja osaisiko joku selitää kuinka nuo integrointirajat kannattaa valita? Yritin hahmotella kyseistä tilavuutta Mathematicalla (esim. komennolla ContourPlot3D[{x + y + z == 1, z == x^2 y}, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, {z, 0, 1}]) mutta silti ei vaan leikkaa.
Ja ennenkuin kukaan sanoo, niin kyseessä ei ole minkään sortin kotitehtävä.
Tehtävä löytyy kirjasta Mathematical Methods for physics and engineering, K.F.Riley ja numero 5.2, uudemmissa painoksissa 6.3.
Jos x=y=z=0, niin kyseessä ei ole taso vaan origo, joka on piste. En osaa sanoa, mitä haluat laskea.
Vielä useammin tekee mieli sanoa: Kopioi se tehtävä näkyviin! Älä yritä omin sanoin selittää, jos et ymmärrä tehtävää et osaa sitä selittääkään.
Alkuperäisessä viestissä vähän huonosti ja ajattelematta lyhennetty tasojen määritelmät.
Kuvaaja (josta jätetty tasot x=0, y=0 ja z=0 pois selvyyden vuoksi)
Yritin muistella opiskeluaikoja ja päädyin seuraavaan
z ja x vakioita: integroidaan y:n suhteen lauseke x^2*y. Rajat 0-->1-x-z:
Tulos x^2*(1-x-z)^2/2 joka integroidaan x:n suhteen (z vakio) . Rajat 0-->1-z.
Saatu lauseke integroidaan z:n suhteen. Rajat 0-->1.
En ole tarkistanut kun on pikkuisen kiire.
Laiskotti, joten pistin ratkaisun (tarkastamatta) osoitteeseen http://jaakkospage.comyr.com/ratk.jpg
Näköjään Maple antaa oikean tuloksen, mutta Wolfram Alpha laskee tämän väärin.
[code:18ea8y4a]int(int(int(x^2*y,{y,0,1-x-z}),{x,0,1-z}),{z,0,1})[/code:18ea8y4a]
Onko näin, että ette osaa enää itse integroida. Sen sijaan laitatte ohjelmat toisiaan vastaan.
Minä jopåa lievästi päihntyneeenä sain integroitua y:n suhteen ja sijoitettuani seuraavaksi integroitavaksi sain
1/60*(1-z)^5 ja kun tämän integroi sovitui9lla rajoilla niin ppdytään vastauksissa ilmo0itettuun eli 1/360.
Minun puolestani asia on loppuun käsitelty
Ei, vaan laiskuudesta. Yllättävää, että Wolfram Alpha ei osaa tuota, sillä kyseessä on alkeisfunktion integrointi, ja alkeisfunktioiden integraalit voidaan laskea Rischin algoritmilla. Ilmeisesti ei pidä luottaa liikaa apuvälineisiin matikkaa tehdessä.
Kyllä tässä on ihan yksinkertainen integroimistehtävä kyseessä.
I(0->1)dx((I(0->1-x)dy(I(0->1-x-y) x^2*y dz))
Sisimmän integraalin arvo on sijoitus(z käy (0->1-x-y))( x^2 * y * z) = x^2 * y * (1-x-y) =
x^2 * y - x^3 * y - x^2 * y^2. Tämä pitää nyt intgroida y:n suhteen, kun y käy (0-> 1-x).
Kun intgraali lasketaan ja tehdään sijoitus saadaan lauseke (1/6) x^2 - (1/2) x^3 + (1/2) x^4 - (1/6) x^5.
Kun tämä integroidaan kun x käy (0->1) saadaan sijoitus (0->1) ((1/18) x^3 - (1/8) x^4 +
(1/10) x^5 - (1/36) x^6 = 1/18 - 1/8 + 1/10 - 1/36 = (20 - 45 + 36 - 10) / 360 = 1/ 360.
Jokohan ymmärsit kuinka lasketaan, JosefK? Jos jutusta jotain kompastuskiveä etsii niin se on se, että intgroitava funktio ei riipu ollenkaan muuttujasta z.Kuitenkin integraali dz on z kuten tämän jutun ensimmäisessä integraalissa on.
Ohman
Jostain syystä yksi pätkä putosi ainakin minulla näkyvästä tekstistä pois. Pitää olla - (1/6) x^5 siellä yhden rivin lopussa.
Ohman
P.S. Piti myös lukea "kuten tämän jutun ensimmäisessä integraalissa on" ja "integroitava funktio ei riipu.."
Ohman
En tiedä onko niin yllättävää, mielestäni Wolfram Alpha ei osaa laskea yksinkertaisen yksikköaskelfunktion fourier muunnostakaan tai sitten en osaa asetella sille kysymystä oikein.
EDIT: Jaa, kylläpä se fourieriin unit stepeillä taipuu kun käskyttää oikein:
fouriertransform(Piecewise[{{t+1, -1<= t <= 0}, {-t+1, 0<=t<=1}}])
http://www.wolframalpha.com/input/?i=fouriertransform%28Piecewise%5B%7B%...
Kohta näyttää siltä, että esim. funktion sin(x) määritelmä on:
Kun painat laskimen näppylää sin , sen jälkeen annat numeroarvon x
ja sitten painat näppylää = niin vastaus on sin(x).
Ohman
Vielä pitää varmistaa, että eikö se integraali
laske sen tilavuuden mikä jää tuon tasojen z+x+y=1, x=0,y=0, z=0 ja funktion (x^2)*y väliin eli tuossa aikaisemmassa postaamassani kuvaajassa juuri tuo pienempi tilavuus?
Mitenkäs lasketaan tuossa kuvassa tuo suurempi tilavuus mikä jää tuon funktion ja noiden tasojen väliin? Itse kokeilin sitä niin, että laskee
josta tulee tulokseksi 3/20. Jos kuitenkin vähentää tämän tasojen z+x+y=1, x=0,y=0 ja z=0 väliin jäävästä tilavuudesta (joka on 1/6) saadaan tuon pienemmän tilavuuden arvoksi 1/60 mikä ei siis ole sama kuin alussa (ja oikein) laskettu tilavuus. Missähän kohtaa menee tässä päätelmäni pieleen?
Lisäksi jäin miettimään seuraavaa tehtävää:
a-kohdan osasin laskea sillä nythän massa M on vain M=int dM=int tiheys*dV eli
ja tulokseksi tulee juuri tehtävässä annettu tilavuus. b-kohdasta en saa kuitenkaan oikeaa tulosta. Eikö hitausmomentti ole I=int (r^2) dM =int (r^2)*tiheys dV? Eli tässä tapauksessa vaan yksinkertaisesti
Tämän integraalin tulokseksi tulee kuitenkin (91/25)*M*a^2 eli jossain kohtaa menee pieleen taas?
Kiitoksia jo etukäteen.
r on etäisyys origosta mutta etäisyys pyörimisakselista on r*sin(theta) joten joten eikö sinun pidä ottaa integroitavaksi
dI = (r*sin(theta))^2dM
PS. Luulen, että ensimmäisellä integraalillasi ei ole mitään tilavuudellista tulkintaa.
Ei laske, vaan integroi tuon funktion arvoa tuossa oktaedrin kahdeksasosan muotoisessa tilavuudessa. Jos lasketaan tilavuutta, integroidaan ykköstä kyseisen alueen yli.