Trigonometrinen epäyhtälö

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Laskin vanhoja DIA-pääsykokeita ja tuli vastaan asia, josta en kunnolla tiedä.

(1) |a| > Pii/4
(2) k = tan(a)

Yhtälöstä (2) saadaan a = arctan(k). Sijoitetaan yhtälöön (1).

|arctan(k)| > Pii/4

Kun epäyhtälö pitää ratkaista, otetaan molemmilta puolilta niiden tangentit. Epäyhtälön suunta säilyy, koska tan(x) on kasvava (paitsi kohdassa x = Pii/2).

|k| > tan (Pii/4) = 1

Ymmärrän tämän, mutta... mitä jos epäyhtälö olisi ollut

|arcsin(x)| > Pii/4?

Millä ehdoilla seuraava rivi on:

|x| > sin(Pii/4) ja milloin

|x| < sin(Pii/4)?

Kommentit (11)

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
Ask4
Laskin vanhoja DIA-pääsykokeita ja tuli vastaan asia, josta en kunnolla tiedä.

(1) |a| > Pii/4
(2) k = tan(a)

Yhtälöstä (2) saadaan a = arctan(k). Sijoitetaan yhtälöön (1).

|arctan(k)| > Pii/4

Kun epäyhtälö pitää ratkaista, otetaan molemmilta puolilta niiden tangentit. Epäyhtälön suunta säilyy, koska tan(x) on kasvava (paitsi kohdassa x = Pii/2).

|k| > tan (Pii/4) = 1

Ymmärrän tämän, mutta... mitä jos epäyhtälö olisi ollut

Tarkastele vain arcus-funktion päähaaraa, jossa -Pi/2=< x =< Pi/2.

|arcsin(x)| > Pii/4?

Millä ehdoilla seuraava rivi on:

|x| > sin(Pii/4) ja milloin

|x| < sin(Pii/4)?

PPo
Seuraa 
Viestejä11620
Liittynyt10.12.2008
Ask4
Laskin vanhoja DIA-pääsykokeita ja tuli vastaan asia, josta en kunnolla tiedä.

(1) |a| > Pii/4
(2) k = tan(a)

Yhtälöstä (2) saadaan a = arctan(k). Sijoitetaan yhtälöön (1).

|arctan(k)| > Pii/4

Kun epäyhtälö pitää ratkaista, otetaan molemmilta puolilta niiden tangentit. Epäyhtälön suunta säilyy, koska tan(x) on kasvava (paitsi kohdassa x = Pii/2).

|k| > tan (Pii/4) = 1

Ymmärrän tämän, mutta... mitä jos epäyhtälö olisi ollut

|arcsin(x)| > Pii/4?

Millä ehdoilla seuraava rivi on:

|x| > sin(Pii/4) ja milloin

|x| < sin(Pii/4)?


Piirrä y=arcsin(x) ja suorat y=+-Pii/4 samaan koordinaatistoon. Kuvasta voit päätellä, millä x:n arvoilla y=arcsin(x):n kuvaajan pisteet ovat suorien ylä- tai alapuolella

Vierailija

Kiitos vastauksista. Jäin miettimään tätä eilen vielä ja keksin nyt, miten homma menee.

Tämän jo tiesin...

Esim. 1:

e^(2x) > 6

ratkaistaessa otetaan molempien puolien luonnolliset logaritmit, saadaan

2x > ln 6

eli epäyhtälön suunta säilyy, koska funktio ln x on aidosti kasvava.

Seuraavat noudattavat samaa järkeä, kun niitä vaan vähän pilkkoi pienemmiksi.

Esim. 2:

arcsin(x) > Pi/4

arcsin(x) on määritelty välillä [-1,1]
sin(x) on aidosti kasvava tällä välillä

Otetaan molemmilta puolelta sinit. Epäyhtälön suunta säilyy koska sin(x) on aidosti kasvava määrittelyjoukossa. Saadaan

sin(arcsin(x)) > sin(Pi/4)
x > sin(Pi/4)

Näyttää toimivan, sillä graafinen laskin piirtää saman tuloksen.

Esim. 3:

arccos(x) > Pi/4

arccos on määritelty välillä [-1,1]
cos(x) ei ole aidosti kasvava koko välillä [-1,1]

Välillä [-Pi,0] cos(x) on aidosti kasvava --> cos(x) on aidosti kasvava välillä [-1,0].
Välillä [0,Pi] cos(x) on aidosti vähenevä --> cos(x) on aidosti vähenevä välillä [0,1].

Tapaus A: -1 <= x <= 0

Koska cos(x) on määrittelyjoukossa aidosti kasvava, epäyhtälön suunta säilyy. Saadaan
x > cos(Pi/4) = 0.707... > 0 --> Ei kuulu määrittelyjoukkoon.

Tapaus B: 0 <= x <= 1

Koska cos(x) on määrittelyjoukossa aidosti vähenevä, epäyhtälön suunta muuttuu. Saadaan

x < cos(Pi/4) = 0.707... Kuuluu määrittelyjoukkoon.

Vastaus siis x < cos (Pi/4)

ja laskin näyttää samaa...

PPo
Seuraa 
Viestejä11620
Liittynyt10.12.2008
Ask4
Kiitos vastauksista. Jäin miettimään tätä eilen vielä ja keksin nyt, miten homma menee.

Tämän jo tiesin...

Esim. 1:

e^(2x) > 6

ratkaistaessa otetaan molempien puolien luonnolliset logaritmit, saadaan

2x > ln 6

eli epäyhtälön suunta säilyy, koska funktio ln x on aidosti kasvava.

Seuraavat noudattavat samaa järkeä, kun niitä vaan vähän pilkkoi pienemmiksi.

Esim. 2:

arcsin(x) > Pi/4

arcsin(x) on määritelty välillä [-1,1]
sin(x) on aidosti kasvava tällä välillä

Otetaan molemmilta puolelta sinit. Epäyhtälön suunta säilyy koska sin(x) on aidosti kasvava määrittelyjoukossa. Saadaan

sin(arcsin(x)) > sin(Pi/4)
x > sin(Pi/4)

Näyttää toimivan, sillä graafinen laskin piirtää saman tuloksen.

Esim. 3:

arccos(x) > Pi/4

arccos on määritelty välillä [-1,1]
cos(x) ei ole aidosti kasvava koko välillä [-1,1]

Välillä [-Pi,0] cos(x) on aidosti kasvava --> cos(x) on aidosti kasvava välillä [-1,0].
Välillä [0,Pi] cos(x) on aidosti vähenevä --> cos(x) on aidosti vähenevä välillä [0,1].

Tapaus A: -1 <= x <= 0

Koska cos(x) on määrittelyjoukossa aidosti kasvava, epäyhtälön suunta säilyy. Saadaan
x > cos(Pi/4) = 0.707... > 0 --> Ei kuulu määrittelyjoukkoon.

Tapaus B: 0 <= x <= 1

Koska cos(x) on määrittelyjoukossa aidosti vähenevä, epäyhtälön suunta muuttuu. Saadaan

x < cos(Pi/4) = 0.707... Kuuluu määrittelyjoukkoon.

Vastaus siis x < cos (Pi/4)

ja laskin näyttää samaa...


Päädyit kohtuullisen oikeaan tulokseen, mutta yo- kokeissa olisit saanut suorituksestasi korkeintaan 4p. Määrittely- ja arvojoukoissa jonkin asteista sekoilua. Muuten ihan hyvä

Vierailija
PPo
Päädyit kohtuullisen oikeaan tulokseen, mutta yo- kokeissa olisit saanut suorituksestasi korkeintaan 4p. Määrittely- ja arvojoukoissa jonkin asteista sekoilua. Muuten ihan hyvä

Kiinnostaisi tietää, että missä meni vikaan? Kävin äsken tehtävän läpi uudestaan enkä löytänyt virheitä.

PPo
Seuraa 
Viestejä11620
Liittynyt10.12.2008
Ask4
PPo
Päädyit kohtuullisen oikeaan tulokseen, mutta yo- kokeissa olisit saanut suorituksestasi korkeintaan 4p. Määrittely- ja arvojoukoissa jonkin asteista sekoilua. Muuten ihan hyvä

Kiinnostaisi tietää, että missä meni vikaan? Kävin äsken tehtävän läpi uudestaan enkä löytänyt virheitä.

Kuten kirjotin , vastauksesi oli oikein, mutta...
Kun muodostetaan kosinin käänteisfunktio , niin määrittelyjoukoksi on valittava väli. jossa kosini on joko kasvava tai vähenevä, jotta käänteisfunktio on olemassa, Jos valitaan määrittelyjoukoksi väli [0,Pii] , niin koska kosini on vähenevä , niin myös käänteisfunktio arkuskosini on vähenevä. Jos piirrät edellisestä kuvan, niin havaitset , että päädytään samaan ratkaisuun kuin sinä mutta tämän kaltainen tehtävän käsittely antaisi yo-tutkintolautakunnalta ne halutut 6p.

Vierailija
PPo
Ask4
PPo
Päädyit kohtuullisen oikeaan tulokseen, mutta yo- kokeissa olisit saanut suorituksestasi korkeintaan 4p. Määrittely- ja arvojoukoissa jonkin asteista sekoilua. Muuten ihan hyvä

Kiinnostaisi tietää, että missä meni vikaan? Kävin äsken tehtävän läpi uudestaan enkä löytänyt virheitä.

Kuten kirjotin , vastauksesi oli oikein, mutta...
Kun muodostetaan kosinin käänteisfunktio , niin määrittelyjoukoksi on valittava väli. jossa kosini on joko kasvava tai vähenevä, jotta käänteisfunktio on olemassa, Jos valitaan määrittelyjoukoksi väli [0,Pii] , niin koska kosini on vähenevä , niin myös käänteisfunktio arkuskosini on vähenevä. Jos piirrät edellisestä kuvan, niin havaitset , että päädytään samaan ratkaisuun kuin sinä mutta tämän kaltainen tehtävän käsittely antaisi yo-tutkintolautakunnalta ne halutut 6p.

Mutta enhän mä muodostanut cos(x):n käänteisfunktiota, vaan nimenomaan arccos(x):n käänteisfunktion cos(x), joka on vähenevä arccos(x):n määrittelyjoukossa [-1,1]. Näin ollen käänteisfunktio cos(x) on tällä välillä olemassa.

Mitä mä en nyt ymmärrä?

PPo
Seuraa 
Viestejä11620
Liittynyt10.12.2008
Ask4

arccos(x) > Pi/4

arccos on määritelty välillä [-1,1]
cos(x) ei ole aidosti kasvava koko välillä [-1,1]

Välillä [-Pi,0] cos(x) on aidosti kasvava --> cos(x) on aidosti kasvava välillä [-1,0].
Välillä [0,Pi] cos(x) on aidosti vähenevä --> cos(x) on aidosti vähenevä välillä [0,1].


Mieti yllä olevien väitteiden sisältöä.
Toki väli [-1,0] sisältyy väliin [-Pi,0] ja väli [0,1] sisältyy väliin [0,Pi] mutta...
Kun tarkastellaan kosinia arccos:n käänteisfunktiona, niin määrittelyjoukkona on väli [0, Pi]

Vierailija

Haa, älysinpäs!

arccos(x) > Pi/4

x:n määrittelyjoukko on [-1,1] ja arvojoukko [0, Pi].

Kun molemmilta puolelta otetaan kosinit eli kun käytetään arccos(x):n käänteisfunktiota, x:n määrittelyjoukosta tulee sen uusi arvojoukko ja vanhasta arvojoukosta uusi määrittelyjoukko. Tämän muistan lukeneeni aiemmin liittyen käänteisfunktioihin, nyt en vain tajunnut soveltaa sitä tässä.

Otetaan molemmilta puolelta kosinit. Määrittelyjoukoksi x:lle tulee siis [0, Pi] ja arvojoukoksi [-1,1]. Välillä [0,Pi] cos(x) on vähenevä. Niinpä epäyhtälön suunta muuttuu...

x < cos(Pi/4) = 0.707...

PPo
Seuraa 
Viestejä11620
Liittynyt10.12.2008
Ask4
Haa, älysinpäs!

arccos(x) > Pi/4

x:n määrittelyjoukko on [-1,1] ja arvojoukko [0, Pi].

Kun molemmilta puolelta otetaan kosinit eli kun käytetään arccos(x):n käänteisfunktiota, x:n määrittelyjoukosta tulee sen uusi arvojoukko ja vanhasta arvojoukosta uusi määrittelyjoukko. Tämän muistan lukeneeni aiemmin liittyen käänteisfunktioihin, nyt en vain tajunnut soveltaa sitä tässä.

Otetaan molemmilta puolelta kosinit. Määrittelyjoukoksi x:lle tulee siis [0, Pi] ja arvojoukoksi [-1,1]. Välillä [0,Pi] cos(x) on vähenevä. Niinpä epäyhtälön suunta muuttuu...

x < cos(Pi/4) = 0.707...


Hienoa. Kun vielä kirjoitat lopulliseksi vastaukseksi, että
-1<=x

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
Ask4

Mutta enhän mä muodostanut cos(x):n käänteisfunktiota, vaan nimenomaan arccos(x):n käänteisfunktion cos(x)

Tässä kohtaa on oltava tarkkana notaation kanssa. Jos arccos tarkoittaa funktiota, on sen päälle piirettävä viiva kuten linkissä http://wiki.helsinki.fi/download/attach ... 4238826755 sivulla 91. Ehkäpä tiesitkin tämän, sillä ASCII-tekstiin ei saa viivaa. Ainakin itse opin tuon vasta yliopiston 1. vuoden syksyllä.

Uusimmat

Suosituimmat