Metrinen tensori - kaipaa selvitystä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Osaakohan teistä minua paljon viisaammista joku selittää metrisen tensorin? Olen lukenut aikanaan Michio Kakun kirjasta Hyperavaruus, että jos Einstein olisi huomannut metrisen tensorin ennen kuin vasta viimeisinä elin vuosinaan jonkin matemaatikko ystävänsä avulla, hän olisi luultavasti ratkaissut ne ongelmat, jotka häneltä "jäivät pöydälle" kun hän kuoli...

Ihan selkeää kuvaa ei minulla ole siitä miten Riemann littyy tähän metriseen tensoriin, eikä myöskään miten metrinen tensori liittyy niihin ongelmiin joita Einstein pohti kuolemansa aikoihin. Varmasti joku tietää tästä huomattavasti minua enemmin. On jäänyt mietityttämään parin vuoden takaa tämä asia niin jospa nyt saisin selkeän selityksen

Sivut

Kommentit (24)

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010

Kyllä Einstein tunsi metrisen perustensorin heti alusta alkaen (opittuaan differentiaaligeometriaa).

Tuo wikipedia-juttu on kyllä aika heppoinen.Jos et alunperin tiennyt asiasta mitään,tuskin tuosta tulit "hullua hurskaammaksi".Jos asia sinua todella kiinnostaa, opiskele differentiaaligeometriaa jostain hyvästä kirjasta.Jos tässä ryhtyisin selittämään asiaa juurta jaksaen,esityksestä tulisi kyllä aika pitkä. Ja sitten joku syyttäisi minua "leikkaa-liimaa"-rikoksesta!

Geometriaan ei ole "kuninkaan tietä".

Ohman

Vierailija
xork
Tensorilaskennan hallitseminen on ollut jo pitkään yksi toive, osaako joku suosittaa hyvää kirjaa sen saloista?



Haluatko lähestyä aihetta matikan vai fysiikan näkökulmasta.?
Olen itse perehtynyt asiaan Bishopin ja Goldbergin teoksen
"Tensor Analysis on Manifolds" avulla. Teos on saatavana
halpana Doverin painoksena, mutta vaatii mielestäni
matematiikan opintoja tuekseen.

xork
Seuraa 
Viestejä383
Liittynyt6.11.2010
ttyDread
xork
Tensorilaskennan hallitseminen on ollut jo pitkään yksi toive, osaako joku suosittaa hyvää kirjaa sen saloista?



Haluatko lähestyä aihetta matikan vai fysiikan näkökulmasta.?
Olen itse perehtynyt asiaan Bishopin ja Goldbergin teoksen
"Tensor Analysis on Manifolds" avulla. Teos on saatavana
halpana Doverin painoksena, mutta vaatii mielestäni
matematiikan opintoja tuekseen.



Mitä pitää tietää oppiakseen tensorit? Entä mitä pitää oppia oppiakseen ne asiat?

heskam
Seuraa 
Viestejä935
Liittynyt16.11.2006

Tutustu käyräviivaisiin koordinaatistoihin ja niiden metriikkaan.
ds^2 = summa gij dxidyj
Metrinen perustensori poimitaan tuosta metriikan lausekkeesta.
G= neliömatriisi(gij).

Esim suoraviivaiselle koordinaatistolle:
ds^2 = summa( dxi^2) => Gon neliömatrisi, jonka diagonaali on (1 1 ...1), muut 0.

Itse Tensorikäsite kuuluu multilineaarialgebran piiriin ja kumpuaa lineaarimuodoista ja niiden tensorituloista+summista.
Tensoreiden perusluonne on, että ne ovat ns. koordinaattivapaita olioita ja näin nostettavissa "luonnonlain asemaan", eli tensoreilla kirjoitettu yhtälö ei riipu koordinaattivalinnasta vrt gradientti, divergenssi, jolloin kaavat saavat kauniin muodon. kuten:
G=kT, joka itse asiassa sisältää monta differentiaaliyhtälöä yms.

Riemannin geometrian peruslause taas nostaa metrisen perustensorin G erityisasemaan.
(vrt. Metrinen konnektio).

G:llä voi suorittaa kaikennäköisiä hyödyllisiä operaatioita tensoreille, jotka myös takaavat, että tensorit pysyvät tensoreina. (Kaikki tensorin näköiset oliot eivät välttämättä ole tensoreita. Esim konnektio. Kuitenkin näillä voidaan muodostaa lausekkeita, jotka ovat tensoreita)

Riemannin geometrian konstruoimiseksi on välttämätöntä kehittää klassista analyysiä monistojen teoriaksi. Tähän sitten ympätään tensorikäsite.
Neliömuoto G taas voidaan rajoittaa monella tapaa esim positiividefiniitti(Riemann-geometria), indefiniitti.

Lorentz- avaruudessa neliömuoto voi olla negatiivinen:(Pseudo-Riemannilainen geometria)
ds^2= summa dxi^2 - dt^2, kun paikkavektori on 0, aikasellainen != 0.

sitten ovat nämä sisätulometriikat: , vrt symplektinen geometria, analyyttinen mekaniikka.

amandrai
Seuraa 
Viestejä205
Liittynyt26.4.2010

Metrinen perustensori siis määrittää etäisyydet avaruudessa. Esimerkiksi jos sulla on vektori V jonka pituuden haluat laskea, sen saa selville laskemalla |V|^2 = g . V . V, missä pisteet meinaa pistetulon tyylistä kertolaskua.

xork

Mitä pitää tietää oppiakseen tensorit? Entä mitä pitää oppia oppiakseen ne asiat?



No katsoppa vaikka pikaisesti Sean Carrollin luentomuistiinpanoja, jotka löytyy internetin syövereistä: http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019
Ei tensorilaskenta erityisen vaikea alue ole, mutta jos haluaa opetella kaiken matemaattisen rigoröösisti, on matematiikan perusteiden syytä olla kunnossa.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Olisiko esimerkkiä yksinkertaista tapauksesta joka on ratkaistu a) perinteisesti ja b) tensoreilla (niin että päädytään samaan lopputulokseen).

Yksi esimerkki kun kertoo enemmän kun tuhannen riviä "munkkilatinaa" ja auttaa samalla ymmärtämään sitten sitäkin.

heskam
Seuraa 
Viestejä935
Liittynyt16.11.2006

Käyräviivaisista koordinaatistoista
=========================

Tarkastellaan avaruuksia X = {(x,y,z)} U={(u,v,w)}
Niiden välillä vallitsee bijektiivinen (koordinaatistonmuutos-) kuvaus niin, että

x=x(u,v,w), y=y(u,v,w),z=z(uv,w)
ja
u=u(x,y,z), v=v(x,y,z,), w=w(x,y,z).

Kaikki kuvaukset monasti jatkuvasti derivoituvia.

Pisteen P koordinaatit (x0,y0,z0) ja vastaavasti (u0,v0,w0).

Nyt pintojen:
PU(v,w): u = u0 = {(u0,v,w)}
PV(u,w): v = v0 = {(u,v0,w)}
PW(u,v): w = w0 = {(u,v,w0)}

yhteinen leikkausjoukko on {u0,v0,w0} = {P}

parittaiset leikkausjoukot käyrät:

U = {(u,v0,w0)}
V ={(u0,v,w0)}
W = {(u0,v0,w)}

Näitä kutsutaan koordinaattiviivoiksi. Ne siis leikkaavat pisteessä P.

Jos r =xi + yj +zk on pisteen P paikkavektori niin se voidaan kirjoittaa muodossa r = r(u,v,w).

U-käyrän tangenttivektori on siten dr/du (osittaisderivaattoja).
Siitä saadaan yksikkövelktori e1 jakamalla itseisarvollaan, eli pituudellaan.
Vastaavast V- ja W käyrille e2 ja e3.

dr/du = |dr/du| e0 jne.

Vastaavasti saadaan toinen koordinaattijärjestelmä gradienteista, jotka ovat siis pintojen PU,PV,PW normaaleja pisteessä P.

grad PU(v,w), grad PV(u,w) grad PW(u,v) ja normittamalla (jakamalla pituudella) yksikkövektorit E1,E2,E3.

Eli: jokaisella pisteellä P käyräviivaisessa järjestelmässä on kaksi koordinaattisysteemiä koordinaattikäyrien tangenttivektorit e1,e,2,e3 sekä koordinaattipintojen normaalit E1,E2,E3

Systeemit ovat identtiset jos ja vain, jos käyräkoordinaatisto on ortogonaalinen.
Systeemit ovat muuten kuten i,j,k, mutta voivat vaihtaa suuntia pisteestä pisteeseen.

Systeemit dr/du ,dr/dv,dr/dw ja grad PU(v,w), grad PV(u,w) grad PW(u,v) muodostavat resiprookkisen koordinaattijärjestelmän eli

dr/dP pistetulo grad PQ = 1 jos P=Q, 0, jos P!=Q.

Vektori A voidaan siis esittää sekä e, että E koordinaatistoissa.

Koordinaatistoissa dr ja grad, jotka siis eivät yleensä ole ortogonaalisia:

A = C1dr/du + C2dr/dv + C3dr/dw
ja
A = c1 grad PU + c2 grad PV c3 grad PW.

Näissä C1,C2 ja C3 ovat A:n kontravariantit komponentit ja c1,c2 ja c3 kovariantit komponentit.

Käyräelementin pituus:
================

Saadaan pistetulosta:

Merkitään dr/du =a1, dr/dv=a2, dr/dw=a3.

ds^2 = dr piste dr =
a1.a1 du^2 + a1.a2 dudv + a1.a3 dudw +
a2.a1 dvdu + a2.a2 dv^2 + a2.a3 dvdw +
a3.a1 dwdu + a3.a2 dwdv + a3.a3 dw^2

merkitsemällä ai.aj = gij saadaan metriset kertoimet gij. Ne ovat siis funktioita.

Matriisimuodossa:
ds^2 = duGdut , jos du on vaakavektori t transpoosi.

Tällaisten käsitteiden yleistäminen johti sitten nykymuotoiseen differentiaaligeometriaan.

Esimerkiksi pallonpinnan kuvaaminen edellyttää moniston käsitteen jne.
Ohjelman käytännössä käynnistivät Gauss ja Riemann.

R-säteisen pallon pinnalla ds^2 = R^2 dtheeta^2 +R^2 sin^2(theeta) dfii^2

tästä g11=R^2 g22=R^2 sin^2(theeta), muut nollia.

Yleisemmässä tapauksessa metriikka "annetaan" tai johdetaan muilla periaatteilla, jolloin fysiikka ikäänkuin tiivistetään metriikkaan. Geometriset ominaisuudet määräytyvät sitten tästä. vrt Schwarzschildin metriikka.

heskam
Seuraa 
Viestejä935
Liittynyt16.11.2006
yhteinen leikkausjoukko on {u0,v0,w0} = {P}

p.o.
yhteinen leikkausjoukko on {(u0,v0,w0)} = {P}
dr/du = |dr/du| e0 jne.

p.o.
dr/du = |dr/du| e1 jne.
dr/dP pistetulo grad PQ = 1 jos P=Q, 0, jos P!=Q.

p.o.
dr/du pistetulo grad PQ =1 jos Q=U, =0, jos Q=V tai W. (vastaavasti v:lle ja w:lle).

heskam
Seuraa 
Viestejä935
Liittynyt16.11.2006
Ok, siis matemaattista kikkaa, kunhan sen kekkaa.



Ei nyt ihan noin voi sanoa.

Voit verrata matematiikan perustaa tuntemattomaan maahan ja esimerkiksi Riemannin geometrian peruslauseen löytöä tuon maan kartoitukseen. Siinä tarvitaan näkijää ja tekijää. ViidakkoJimiä.

Kikkailijat eivät yleensä pitkälle pääse. Juuttuvat johonkin keskipakoisuuteen. Ja jäävät sinne ihmettelemään loppuiäkseen.

Pääsemättä keskipakoon.

kiähkiäh.

heskam
Seuraa 
Viestejä935
Liittynyt16.11.2006

Niin sitten metrinen tensori määrittää Christoffelin symbolit, kovariantin derivaatan nämä ns. metrisen konnektion (g:n derivaatoista) ja tästä edelleen Riemann Christoffel tensori =Rijkl (jälleen derivointia).
g on 2-indeksinen tensori, gamma (konnektio) 3-indeksinen olio, R neli-indeksinen tensori.
Gammassa g on derivoitu kerran ja R:ssä kaksi kertaa.

Siksi juuri metrinen tensori on niin merkitsevä. Lisäksi sillä sopivasti kertomalla nostetaan ja lasketaan indeksejä (vrt. kontra ja kovarianttiominaisuus).

Abstrakti tensorirakennelma konstruoidaan duaalikuvauksen avulla ja siinä mielessä g:n merkitys on ymmärrettävä, kun g kumpuaa bilineaarimuodosta.
Tuo duaali liittyy tuohon kontraan ja ko:hon ollen osana mat-fys käsitesekamelskaa.
nuo kontrat ja kot tuntuvat olevan vaikeasti muistettavia, eli se mikä on mikä.

Einstein tensori muodostetaan sitten R:n ja g:n lausekkeena.
Gij = Rij -½Rgij, missä R on Rijkl pohjalle kontraktoituna* ja nimeltään kaarevuusskalaari.
*)
R= g (ylä)i(ylä)jRij =R(ylä)i i (tässä sitten Einsteinin summaussopimus:ylä-ala tuplaindeksin yli summataan).
Kontraktio tehdään g:n avulla ja sillä siis pudotetaan tensorin astelukua, kuten yllä.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
heskam
Ok, siis matemaattista kikkaa, kunhan sen kekkaa.



Ei nyt ihan noin voi sanoa.

Voit verrata matematiikan perustaa tuntemattomaan maahan ja esimerkiksi Riemannin geometrian peruslauseen löytöä tuon maan kartoitukseen. Siinä tarvitaan näkijää ja tekijää. ViidakkoJimiä.

Kikkailijat eivät yleensä pitkälle pääse. Juuttuvat johonkin keskipakoisuuteen. Ja jäävät sinne ihmettelemään loppuiäkseen.

Pääsemättä keskipakoon.

kiähkiäh.


Kyllä keskipakoisuus johtaa siihen että etääntyy keskiöstä, ei tosin radiaalisesti kuten joku voisi kuvitella vaan tangentin suuntaan, kun ulkoiset voimat lakkaavat vaikuttamasta.

Mutta se ei ollut tämän keskustelun aihe.

En muutenkaan tarkoittanut kikkailulla ihan tuota vaan sitä, että matemaattisin konseptein voidaan muodostaa nopeampia menetelmiä muutoin mutkikkaiden asioiden matemaattiseen käsittelyyn. Näiden menetelmien "järjellinen" hahmottaminen voi tosin osoittautua työlääksi, mm. juuri topologioiden ymv. osalta.

heskam
Seuraa 
Viestejä935
Liittynyt16.11.2006

Juu. Kaikissa selityksissä piilee aina implisiittistä roinaa mukana, joka tietenkin vaikeuttaa hahmottamista. On vaikeata löytää kultaista keskitietä. Liian tarkka kuvailu vie taas pääasian ikäänkuin horisontin taakse.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat