Trigonometrinen yhtälö ja tiedon häviäminen

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Trigonometrisissä yhtälöissä näyttää olevan hieman epäselvyyksiä mulla...

sin(2x) * cos(2x) = 0

Selkeyden vuoksi merkataan a = 2x, saadaan

sin(a) * cos(a) = 0

Tämähän on sama asia kuin

1/2 * sin (2a) = 0, koska sin(2a) = 2*sin(a)*cos(a)

Nyt jos tämän yhtälön ratkaisee kuitenkin loppuun, tulee

sin (2a) = 0

2a = 0 + n*2*Pi
tai
2a = Pi + n*2*Pi

a = 0 + n*Pi
tai
a = Pi/2 + n*Pi

Palautetaan a = 2x

2x = n*Pi
tai
2x = Pi/2 + n*Pi

x = Pi/2 * n
x = Pi/4 + Pi/2 * n

Vastaukset ovat siis 0, Pi/4, Pi/2, 3*Pi/4,.... eli yhdistettynä x = n*Pi/4

Tämä ei kuitenkaan ole sama tulos kuin jos laskisi erikseen, että koska

sin(2x) * cos(2x) = 0, niin
joko
(1) sin(2x) = 0 tai
(2) cos (2x) = 0, jolloin saadaan

(1)

2x = 0 + n*2*Pi tai 2x = Pi + n*2*Pi
x = n*Pi tai x = Pi/2 + n*Pi

Vastaukset ovat siis 0, Pi/2, Pi, 3*Pi/2,... eli yhdistettynä x = n*Pi/2

(2)

2x = Pi/2 + n*2*Pi tai 2x = 3*Pi/2 + n*2*Pi
x = Pi/4 + n*Pi tai x = 3*Pi/4 + n*Pi

Vastaukset ovat siis Pi/4, 3*Pi/4, 5*Pi/4, 7*Pi/4,... eli yhdistettynä x = Pi/4 + n*Pi/2

Miksi saan enemmän ja erilaisia vastauksia jälkimmäisellä tavalla? Se tuntuu vähän kummalliselta. Ikään kuin tietoa häviäisi johonkin, kun käytän kaavaa sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x).

Kommentit (4)

Vierailija
Ask4
Miksi saan enemmän ja erilaisia vastauksia jälkimmäisellä tavalla? Se tuntuu vähän kummalliselta. Ikään kuin tietoa häviäisi johonkin, kun käytän kaavaa sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x).



Tarkastelepa vielä eri tavoilla saamiasi ratkaisujoukkoja. Anna vaikkapa n:lle arvot -5:stä 5:een ja vertaile ratkaisujoukkoja toisiinsa. Huomaat, että mitään ei ole hävinnyt minnekään.

amandrai
Seuraa 
Viestejä205
Liittynyt26.4.2010

Moiks, laskit väärin.

sin(2x)=0 toteutuu kun x = pii*n/2, n on luonnollinen luku; cos(2x)=0 toteutuu kun x=pii*(n+1/2)/2 - siispä sin(2x) cos(2x) = 0 toteutuu kun x = pii*n/4, mikä tietysti vastaa ehtoa sin(4x) = 0.

Vierailija

Kiitos nopeista vastauksista!

teramut
sin(2x)=0 toteutuu kun x = pii*n/2, n on luonnollinen luku

Tähän saatiin samat vastaukset, ja...

teramut
cos(2x)=0 toteutuu kun x=pii*(n+1/2)/2

tähänkin saatiin samat vastaukset, tosin eri muodossa kirjoitettuna.

Mutta...

teramut
siispä sin(2x) cos(2x) = 0 toteutuu kun x = pii*n/4, mikä tietysti vastaa ehtoa sin(4x) = 0.

En seuraa tätä logiikkaa. Miten edellisistä kohdista seuraa tämä tulos?

Samuli
Tarkastelepa vielä eri tavoilla saamiasi ratkaisujoukkoja. Anna vaikkapa n:lle arvot -5:stä 5:een ja vertaile ratkaisujoukkoja toisiinsa. Huomaat, että mitään ei ole hävinnyt minnekään.

Kokeilin - ja olet ihan oikeassa! Jokainen yhtälön 1 vastaus löytyi joko yhtälön 2 tai 3 ratkaisujoukosta. Ainoastaan se, millä n:n arvolla kyseinen tulos saadaan, näyttää muuttuvan.

amandrai
Seuraa 
Viestejä205
Liittynyt26.4.2010
Ask4

En seuraa tätä logiikkaa. Miten edellisistä kohdista seuraa tämä tulos?



Olkoon x = pii*m/4. Jos m on pariton, niin on olemassa n, jolle x = pii*(n+1/2)/2 ja kosinifunktio on nolla. Jos m on parillinen, niin x = pii * (m/2) / 2, ja m/2 on luonnollinen luku, joten sinifunktio on nolla. Jätän harjoitustehtäväksi sen miettimisen, miten tämän näkee "suoraan".

Uusimmat

Suosituimmat